数学写作：让数学不仅意会更可言传

张志勇

（常州市第五中学，江苏 常州 213001）

在数学教学中，如何培育学生核心素养？吕传汉先生提出的“教思考、教体验、教表达”的教育理念，为我们的实践指明了方向：“教思考”重在培养学生的数学思维，在“想数学”中学会用数学的思维分析世界；“教体验”重在促进学生的数学领悟，在“做数学”中学会用数学的眼光观察世界；而“教表达”则是强化学生的数学交流，在“说数学”中学会用数学的语言表达世界。[1]表达既是数学理解的重要标志，也是从理解到创新的关键一步，因思考和体验而有准确的表达，在表达中产生新的思考和体验。作为一种表达方式，数学写作可以帮助学生用自己的语言从不同的角度、有条理地阐述问题解决的思路、发表自己的数学见解，无疑是践行“三教”理念的重要途径。

一、数学写作的界定分类

什么是数学写作？小到一道数学题的解答分享、数学活动中的故事叙写，大到发现数学结论、构建数学模型解决现实问题等，都属于数学写作的范畴。从20世纪80年代起，我国就有一线教师开展学生小论文的写作研究，包括数学日志、数学周记、数学诗歌、数学作文、数学小论文等形式。与教师等数学工作者的写作不同，数学写作是学生在教师指导下按照特定要求用书面语言创造的文本，以锤炼思维、拓宽视域为目标的数学学习活动；数学写作关注的是“通过写作来学习”（Writing-to-learn），为学生对自己的数学学习提供反省、探究、巩固和发展的机会，使学生对知识的理解得到升华，获得更好的数学认知结构，同时在数学思想、解题策略等方面也得到系统化；数学写作，强调有感而发，有话则长、无话则短，更关注的是学生写了什么，而不是怎么去写，也就是不过于追求学生作品的形式或者语法。

数学写作是指学生将自己对数学概念的理解、解题方法的体悟、学习方法的总结等关于数学的思考和体验整理成文的活动。与口头表达相区别，数学写作重在用笔说话、用文字交流，强调的是学生自身的内省审视，通过条分缕析的书面表达为深度学习交流提供载体；数学写作，反映的是数学的规律性知识，表达的是数学学习故事，传递的是数学所感所惑，其中不仅有通俗易懂的文字，还有直观生动的图像、言简意赅的符号等。

不同“写作角度”下，有着不同的数学写作分类：如按素材来源，可包括记录课堂、究错优化、“故事”启发、发现发明、数学欣赏、应试策略等[2]；按内容性质，可分为学习感悟、数学文化与科普、数学建模与应用、解题欣赏四类[3]。考虑到数学写作重在表达数学，本文依据于数学对象的不同，将数学写作分为概念辨析、探究发现、解题赏析、阅读分享、学习感悟五类，前三者侧重于数学思考，其中概念辨析指向数学概念，探究发现意在数学定理公式，解题赏析则是数学应用；后两者多是体验感悟，阅读分享是他人经验的分享，学习感悟是自身学习心得的总结。

二、数学写作的价值认识

在教学实践中，我们发现很多看起来勤奋刻苦的学生并没有取得应有的成绩，穷其原因，重结果轻过程、重模仿轻理解……让这些学生的学习停留在浅层次上，埋首于题海中刷题而没有深度的思考只会导致机械的学习，对数学的理解和解题中“得到正确答案”之间不完全是一回事，于是数学写作的价值便在于帮助学生反思正在学习的内容：为什么要这样做？解决问题的逻辑过程是怎样的？是否存在问题？……当然数学写作不仅在于提高解题中的“元认知”水平，还在于发展数学知识、成就问题解决、培养反思行为、促进情感流露、加强对话交流等。[4]

1.显化认知，理解数学

数学写作首先是学生自己与自己沟通对话的过程，通过写作将思考和体验的过程显性化。学生解题得到问题的正确答案后，可以撰写解题赏析类文章，阐述解决数学问题的“心路历程”（包括审题立意、策略选择、过程组织、错误剖析等），对自我的解题活动进行分析评估，可以使学生对知识的理解得到升华，获得更好的数学认知结构，同时在数学思想方法、解题策略等方面也能得到系统提炼。如有学生总结道，“有时候解完题后再多问几个为什么，或许会‘别有滋味’，在我们沉浸于‘原来如此’的喜悦同时，可以在解题的思路更新和能力创新方面得到真实的历练……‘失’的是宝贵的时间（过程很费周章），‘得’的却是对数学解题满满的体验。”[5]与纯粹的数学解题相比，数学写作关注的是思维过程，通过写作对原有的思考和体验过程进行具象化呈现，并在重新审视中产生新的数学思考，正如教学心理学中常提到的“学习如何学习”，这是一个积极主动的元认知策略的监控过程。

2.探寻规律，领悟方法

我们知道，理想的学习状态应该是举一反三、触类旁通，正如苏霍姆林斯基所言，“教学就是教给学生借助自己已有的知识去获取新知识的能力”。探究发现类文章的写作，可以探寻知识本质和数学规律，如动态变化中的不变性；概念辨析类文章的写作，则帮助学生解释他们不熟悉的内容；而解题赏析类文章的写作，则可探索问题的新解法，总结数学研究方法（观察分析数学事实→提出有意义的数学问题→猜测、探求适当的数学结论或规律→给出解释或证明）。事实上，写在纸上的思维可以提供独特的反馈信息，在分析、比较事实中可以持续深入思考并内化某个重要概念，碎片化的学习感悟在不断的梳理概括中得以提升，既可熟能生巧亦可形成问题解决范式，从而构建他们自己的学习知识。

3.反思学习，完善评价

每个学生有着自己的数学现实，他们对数学的理解水平，往往很难通过传统方式（如解题等）进行完整的呈现。通过数学写作，学生的思考过程、对所学内容的理解、误解或情感都可以比较清楚地向我们展示。一方面，对于学生而言，数学写作的过程本身就是一个数学学习的过程，如阅读分享类写作，既需要感知阅读材料的内在逻辑关系，也需要同化顺应到自己的知识结构中，还需要以自己的语言解读概括其中的数学观念和方法，这本身就是一种高层次的数学学习。反之，作为教师，可以通过学生的写作了解和评价他们的数学学习水平，包括他们的误解或者困惑，从而为改善教学提供极大的可能。

4.拓宽视野，激发兴趣

学习感悟类写作，可以为学生分享学习喜悦或者挫折、焦虑创设渠道，通过数学写作，不良的情绪和学习的压力得以宣泄，学习的愉悦与成就感、良好的学习情绪得以强化。如当我们读到王渊超的歌词，“如果我是双曲线/你就是那渐近线/虽然我们有缘/能够生在同一个平面/然而我们又无缘/漫漫长路无交点/为何看不见/等式成立要条件/难到正如书上说的/无限接近不能达到”,《悲伤的双曲线》跃然纸上，数学的概念在发人深思的意境中得到共鸣。通过写作，将抽象难懂的数学道理寓于身边简单而自然的例子之中，让精辟的数学思想“随风潜入夜”、强大的数学方法“润物细无声”，而当学生们的优秀作品得以发表或在同伴中交流时，其优秀的叙事能力、数学方法、解法路径对其他学生的示范作用往往比教师的说教更有影响力和亲和力，对被展示的学生来说更是一次极大的激励。

三、数学写作的操作路径

学生不善于写作是在实践中碰到的最大问题，数学写作也不可能是空中楼阁，必须与具体的行动相结合才能真正落地，如组织学生反思总结、讨论交流，开展数学阅读、数学探究活动等，这些都是学生进行数学写作的源头活水。事实上，学生写作能力的培养是一个循序渐进的过程，需要构建机制创设氛围，让学生愿意写；需要寻求路径提升技术，让学生写得出；更需要深入思考锤炼思维，让学生写得好。

1.激发表达欲望，让数学写作言之有“机”

数学写作的关键在于充分调动学生的写作热情，如果在数学课堂中产生了精彩的对话生成，尤其是教师围绕某个问题的深度点评或学生思维的精准诊断，那么课后就有可能生成很多记录“课堂故事”、阐述收获感悟的优秀习作。事实上，讨论会点燃学生们思维的火花，对于多数学生而言，口头交流要比纸笔板演要来得容易些，于是让学生走上讲台，通过“说题”“课堂表演”等形式阐述解题思路、辨析数学概念就是一种行之有效的教学组织形式。

激发表达欲望以教学民主为前提，让“学”走上前台、让“教”退居其后，以此倒逼学生思考，并通过精彩的链接式点评或是精准的诊断评价，促成学生对数学知识的“深刻理解”。学生的写作能力的培养是一个循序渐进的过程，同样“知无不言，言无不尽”的讨论氛围也需要慢慢培育，往往对教师驾驭课堂教学提出了更高的要求，我们应该首先厘清学生的学习过程，设身处地弄清学生在这一过程中的起承转合，何处山重水复，何处柳暗花明，不愤不启，不悱不发。让学生投入写作还需要一定的机制保障，如布置每周一次的数学周记、学习反思等写作任务（可课堂进行，也可作为课后的替代性作业），以及时记录“对话教学”下的精彩生成、数学问题探讨中的“心路历程”；挑选优秀数学写作定期展评，发挥作品的激励引领作用；课堂教学适当留白，结合案例指导写作，在切磋过程中获得真正的提高；组织数学阅读活动，与大家对话以开阔视野，批判性阅读以启迪思维。当然这些机制需要有动态的平衡，以保护学生的写作兴趣和不加重学生负担为前提。

2.练习写作技巧，让数学写作言之有“径”

如果学生已经具有一定的写作技巧并且善于表达自己的数学感受，那么数学概念的理解认识、数学思想方法的领悟应用、数学问题解决的思路阐述（包括解决问题过程中所走的弯路、错误的方法）等，都可以成为学生写作的内容。于是有必要练习写作技巧，不断积累数学表达经验，促进学生用简洁、准确的语言来表达解决问题思考过程的习惯养成。

练习写作技巧，行之有效的路径包括：带有提示语的写作，用自己的语言解释抽象的数学概念，梳理总结公式的意义及应用，阐述解题过程、解题思路或数学思想方法等。[6]除了这些方法外，考虑到数学写作离不开知识联想和思维发散，为帮助学生有效提取记忆中的知识储存，我们在写作培训中常采取“断章取义、表征交流”和“自由回忆、结点连线”的教学策略。

“断章取义、表征交流”策略主要用于命题研究中，如面对问题“直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2x-2y-7=0相交于A、B两点，当点M在弦AB上运动时，总存在满足PC=3且PM=2的点P，求实数k的取值范围？”时，首先“断章取义”，核心条件为“两变化一存在”（题中下划线所示）；继而结合语法分析将条件表征，考察主句“存·在·满足PC=3且PM=2的点P”，可表征为图像（如图1，圆M与圆C有交点P），这样主句可简化为“圆M与圆C始终有交点”，加载从句“点M在弦AB上运动”后，问题可转换为“点C到弦AB的距离不大于1”（如图2），这样便可将条件“直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2x-2y-7=0相交”表征为“d=学生从不同的理解角度进行多维表征，这为学生思路受阻时能够“主动变换表征形式，调整思维方向”创设提供思维通道，通过交流使数学表达具有条理性和逻辑性。

图1

图2

“自由回忆、结点连线”则多见于概念理解时，如在学习函数概念后，可组织学生自由回忆“请你尽量多地归纳出求函数定义域的原则”，也可尝试在一组概念或命题间按抽象关系或推出关系连线，如在“y=f(x)、y=f(-x)、y=-f(x)、y=-f(-x)、y=f(x-a)、y=A+f(x-a)、y=f(2x)、y=f(kx+b)及其图像”间连线，学生给出的结论越多说明其知识结构越完善、思维越发散，也更有利于数学表达能力的发展。

当然，培养学生数学写作能力需要注意依循由易到难、由简到繁的基本方向。

3.深化数学思维，让数学写作言之有“理”

深入思考、言之有物是数学写作的基础，我们不仅要关注学生怎么写，更要关注学生写什么。没有深入的思考，就难以真正理解问题，就无法认识学习对象的本质，更感悟不到学科的精神和思想方法；因为对于一个事物没有完整的、深刻的体验，要想通过语言、文字加以说明和解释，其结果就是盲人摸象、管中窥豹。

让数学写作言之有“理”，一方面需要摈弃以往教学中过于强调形式化的逻辑推导和形式化结果的弊端，重视数学直观性背景的创设，在抽象的数学与生动的现实间构建联系通道，突破数学因高度抽象概括特性而带来的“难以意会、无法言传”之障碍；同时重视数学发现过程的展示、数学学习活动的亲身体验，在问题的发现、方法的形成、知识体系的构建过程中，引导学生从“知其然”到“知其所以然”，更有机会思考“何以知其所以然”，从而让学生感悟蕴含其中的数学思想和数学方法，进而认识数学本质。

图3

所谓“教之道在于度，学之道在于悟”，我们需要揣着明白装糊涂，通过不断的追问，让学生发现题目的条件、结论中没有出现的关键性质，正确、顺畅地表述自己分析和解决问题的思维过程，简洁、清晰地厘清和表述思路。而当我们的课堂“灵光一闪、猛然醒悟、脑洞大开”成为常见风景时，学生们的表达自会欲罢不能，而优秀写作也自会跃然纸上。

总之，作为新课程落实提升数学核心素养的有力抓手，数学写作在数学教学中的应用和学生数学写作能力的培养还是一个新的课题，许多问题还需要在实践中去发现和解决。唯有让我们的课堂真正互动起来，为学生提供深度对话的机会，让他们有机会充分展示思维的形成和发展过程，数学写作才能真正言之有“机”、言之有“径”、言之有“理”！▲