数学“运算能力”的内涵、要求及提升路径

王强国

（宝应县实验小学，江苏 扬州 225800）

我国《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标2011年版”）明确把“运算能力”作为数学教学中应特别重视的10个重要能力之一。在小学各个年级都包括不同层次的计算教学，这些内容占据着小学数学教学的大部分时间。运算不仅仅是“数与代数”领域的重要内容，其他部分的数学内容也都与运算有着密切的联系。尽管如此，广大教师对“运算能力”的理解还是不够深入，以至于在实施过程中出现异化现象，对此必须引起重视，反思教学中存在的问题，提高这部分内容的教学质量。

一、“运算能力”的内涵解读

（一）课标中的“运算能力”

“课标2011年版”中指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”[1]

课标给出的解释简明扼要，便于教师理解与记忆，且耐人寻味。第一句话，采用“行为条件+行为表现”的句法结构表述运算能力的内涵，“根据法则和运算律”是行为条件，“正确地进行运算”是行为表现。第二句话，是对前句的补充与强化。一方面是对运算能力的价值定位，从“行为程度”的视角提出期望。同时，也为一线教师具体实践，提供方法论的指引。这两句话，有力地刻画出运算能力的三个主要表现特征：正确运算、理解算理、方法合理（运算途径简洁，是方法合理的自然结果）。从字面意思可以解读为：运算能力主要是有根有据地正确运算的能力，它的作用是促进理解与应用。[2]言下之意：运算能力的培养，主要依靠根据法则和运算律提高正确性，通过理解算理与灵活运用运算解决问题，发展能力。不妨做这样的区分：运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。能够按照一定的程序与步骤进行运算，类属运算技能。不仅会根据法则和运算律正确计算，而且理解算理，能够根据题目条件寻求合理简洁的运算途径，方为高层次的运算能力。

（二）研讨中的“运算能力”

1.综合能力说

即认为运算能力是一种综合能力。如“运算能力是运算技能与逻辑思维能力等的一种独特的结合”[3]。也有学者这样描述：“运算能力不是简单的加、减、乘、除的计算，而是与观察能力、记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力及想象能力等有关的由低级到高级的综合能力。”[4]

苏联教育心理学家克鲁捷茨基的研究，给出了数学能力的九种成分：（1）对于数学材料的形式化知觉的能力，掌握题目的形式结构的能力。（2）在数量关系和空间关系方面，以及在数和字母符号方面进行逻辑思维的能力；用数学符号进行思维的能力。（3）对数学对象、关系和运算的迅速而广泛掌握的能力。（4）简缩数学推理过程和相应的运算系统的能力；以减缩的结构进行思维的能力。（5）数学活动中心理过程的灵活性。（6）力求解法的简洁、清楚、经济和合理。（7）迅速和随意地改变心理过程的方向，从正向思维序列转到逆向思维序列的能力（数学推理中心理过程的可逆性）。（8）数学记忆（对数学关系、类型特征、论证或证明的模式、解题的方法以及探索的原则等的概括记忆）。（9）数学气质。[5]

2.主要表现说

主要表现说，采用描述性的定义方式，即如果某学生有怎样的行为程度，那么该学生就具有相对应的运算能力。如“运算能力主要表现为：根据中学数学的法则、公式等进行数学运算中表现出来的正确、合理、灵活、熟练程度上；还表现在理解运算的算理，根据题目条件寻求最合理、最简捷运算途径的水平上”[6]。

也有学者认为学生运算能力表现在数学解题活动的几个方面：（1）迅速、正确地感知数学题目的形式结构（关系及其特点）的概括化能力（对数学材料的形式化知觉能力）。（2）根据题目类型（运算和关系的特点），正确地定出解法模式，根据运算法则、运算律或关系及其性质，定出化归的方向、解算的程序和变换的方法。（3）心理过程的灵活性，即心理活动迅速重组的能力。打破原有的解法模式而代之以一个新的模式的能力。多方面去试探题目的解法，摆脱思维定式的影响。（4）力求解法简洁、清楚、经济与合理。（5）对题目类型、解法模式和原则等的概括化记忆（这种记忆特别有利于数学知识和方法的迁移）。”[7]

上述研究的共同点在于，主要针对中学数学，侧重于应用运算解决问题的过程。[8]基于上述研究成果，我们可以得到这样一些有益的启示：首先，“运算能力”具有一定的层次性和发展性。从运算的内容看，由非负数到有理数，再到实数；由整数运算，到分式、根式运算。运算能力随着知识面的不断拓展，抽象程度的逐渐提高而不断发展。其次，运算能力并非一种单纯的、孤立的数学能力，它需要正确理解相关知识，辨识分清运算条件，合理选择运算方法，有效设计运算步骤，还要使运算符合算律、算理，最终尽可能简洁地获得运算结果，它是算和思的结合、操作和思辨的融合。第三，正确是运算的基本要求，有据是正确运算的前提，合理是运算得以进行的条件，简洁是运算的质量刻画。第四，“运算能力”的培养是目标与过程的有机统一体，不可能一蹴而就，其提升需要学生个体内部积极主动的自我建构过程。这些认知有助于我们寻求科学有效的教学策略。

二、“运算能力”的内容要求

小学数学中“数的运算”教学内容，主要包括非负整数的运算，非负分数、小数的运算。对于这部分内容，“课标2011年版”提出了具体要求[9]，参见表1。

与过去相比，“数的运算”内容要求突出体现以下两方面特点：一是突出培养运算能力的要求。在继承课程改革实验积累的成功经验的同时，提出了运算能力培养的要求。口算方面，把一位数乘、除两位数的口算学习从第二学段下移到第一学段；笔算方面，第一学段增加整数两步四则混合运算学习要求；估算方面，要求更明确具体。二是突出发展学科素养的要求。课堂教学不仅要重视让学生获取知识，更要重视发展学生的学科素养，培养学生智慧。智慧表现在思考的过程中，是隐性知识的内化与升华。“课标2011年版”内容要求中增加“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”[10]，突出学生探究的过程、思考的过程、反思的过程，以帮助学生从中积累数学活动经验，发展数学智慧。

三、“运算能力”的提升路径

小学数学从它的前身“小学堂算术”诞生之日起，就将计算列为首要的学习任务。[11]“课标2011年版”将核心词从六个增加至十个，“计算能力”改为“运算能力”。回顾总结关于它的教学研究，我们不难发现存在的最大问题是一线教师对之理解的简单粗浅化，认为“运算能力”的培养就是让学生会计算，要让学生会计算，途径就是练，机械地讲解、反复的练习现象严重。运算能力的提升，既要教“术”又要教“理”；既要关注“正确求解”又要关注背后的“思想方法”；既要依托“智力因素”又要发挥“非智力因素”的作用。

表1 “课标2011年版”对“运算能力”的具体要求

（一）强化对计算原理的理解

算理即计算的原理，是指四则运算的理论依据，它是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。算理为算法提供理论依据，是对算法的构建与解释。[12]算理的厘清是向学生呈现知识形成的过程。没有算理的算法是机械的，不讲算理的教学是低效的。

1.重视基本概念的教学

概念反映着客观事物的本质属性以及事物之间的联系。计算教学中重视基本概念的教学，有助于学生感悟算理，推导算法，为学生计算能力的提升提供有力的支撑。[13]

“9加几”教学（苏教版小学数学教材一年级上册第十单元）。教材创设情境：一个盒子可以装10个苹果，盒子里已经放了9个红苹果，盒子外有4个绿苹果。要求“一共有多少个苹果？”应该将红苹果与绿苹果合起来，所以用加法计算，这依赖于学生对“加法意义”的理解与掌握。“9+4”的计算，学生可以从加数的基数意义角度思考：1、2、3……12、13，依次数完所有的苹果；也可以结合加数的序数意义建构，红苹果有9个，绿苹果有4个，可以在9的后面接着数四个数。数数的过程与加法的意义、算理的明晰融为一体。“凑十法”是对上述数数过程的提炼与优化。教师引导学生观察，盒子里有10格，放了9的苹果，再放入一个苹果，正好10个，盒子外还剩下3个苹果，一共13个苹果，接着尝试用算式来表达算理，对“凑十法”进一步感知，这其中需要数的组成中“分”与“合”等基本概念的支撑。[14]

2.完善算理的提升过程

“计算教学既需要让学生在直观中理解算理，也要让学生掌握抽象的法则，更需要让学生充分体验由直观算理到抽象算法的过渡和演变过程。”实践中，对于算理的教学应当经历“直观操作——表象操作——抽象分析”的提升过程。

“十几减九”教学（苏教版小学数学教材一年级下册第一单元）。教材以“13-9”为例，呈现如下的情境：盒子里有10个桃，盒子外有3个桃，小猴买9个桃。还剩多少个桃？列式为：13-9=（）。第一步，安排学生直观操作，要求学生取出1捆（10根）和3根小棒，从中取走9根。可以先取走3根，再拆开1捆，取走6根，剩下4根；也可以直接从1捆中取走9根，将剩下的1根和3根加起来；还可以先拆开整捆与3根合并，从13根里取走9根。第二步，让学生在同桌交流的基础上说一说自己的操作方法，学生通常会看着自己的小棒进行复述，虽有直观，但成分在减少。第三步，对操作方法的比较分析，让学生讨论思考，这三种操作方法之间有什么不同的地方？又有什么相同之处？哪种方法更简便？在这样的教学中，直观与抽象相互促进，有助于学生真正地理解算理，掌握算法。

3.加强算理的多向沟通

北京师范大学周玉仁教授对小学生的数学学习过程曾这样阐述：小学生数学学习是一个经验激活、利用、调整、积累、提升的过程，是“对生活中的数学现象的解读”，是“建立在经验基础之上的一个主动建构的过程”。[15]计算教学中，算理的理解也符合上述特征。

首先是纵向的沟通。以“分数除法”为例。教材分多课时，分别教学分数除以整数、整数除以分数、分数除以分数等。其基本的原理都是除法的意义，把一个数平均分成几份或者一个数里面有多少个另一个数。教学中适时的比较与沟通，有利于学生分数除法的统一算法：甲数除以乙数（不为0），等于甲数乘以乙数的倒数。

其次是横向的沟通。以“加减法”为例。纵观加、减法运算内容编排，无论是整数加减法“相同数位对齐”，小数加、减法“小数点对齐”，还是分数加、减法“先通分”，其本质都是为了相同计数单位的数相加减，不仅突出了算法的本质，而且沟通了知识间内在联系，实现知识“互联”。

（二）突出对基本数学思想的感悟

史宁中教授认为，“数学思想需要满足两个条件：一是数学产生、发展过程中所必须依赖的那些思想；二是学习过数学的人所具有的思维特征。可以归纳为三种基本思想：抽象、推理和模型。”[16]计算教学对数学基本思想的感悟有其自身的优势。

1.在算例的比较中感悟抽象的思想

从具体的例子中抽象出相应的数学规律，完成算法的归纳，实现方法的优化，是计算教学的任务之一。这里的抽象要重点关注现象中隐含的特征和变化中不变的共性。经历这样的学习过程，有助于学生进一步感悟抽象的思想，提高抽象的水平。

“有趣的乘法计算”教学（苏教版小学数学教材三年级上册第一单元）。探索“同头尾合十”的两位数乘两位数的计算规律时，教材首先呈现了三道竖式：“22×28”“35×35”“56×54”。教学时，可以先要求学生仔细观察、比较这几个算式，说说它们有什么共同的特点，在讨论和交流中逐步进行抽象，明确：这些算式都是两位数乘两位数，每个算式中两个乘数十位上的数是相同的，个位上的数相加正好等于10。在此基础上，要求学生算出每个算式的乘积，继续观察、比较得到的几个乘积，并适当启发：每题积的末两位各是多少？积的末两位的数各是由哪两个数相乘得到的？每题积里末两位前面的数各是多少？它们又可看作哪两个数的乘积？由此，完成抽象：积的末两位是两个乘数个位上的数相乘的积，而末两位前面则是两个乘数十位上的数与比它大1的数相乘的积。

2.在猜想的验证中感悟推理的思想

小学数学教学中，对于结论的得出多以不完全归纳的得出。基于不完全归纳法得出的结论真假不能确定，因此需要通过证明进一步确认其可靠性。根据小学生的年龄特点和认知水平，对经由不完全归纳所得到的结论一般不要求进行严格意义的证明，只要求他们采用合适的方式进行验证。这里所说的验证，一般是指举例验证。

“和与积的奇偶性”教学（苏教版小学数学教材五年级下册第三单元）。例如，学生依据列出的若干个具体算式归纳出“当两个加数都是偶数时，和一定是偶数；当两个加数都是奇数时，和一定也是偶数；当两个加数中，一个是奇数，另一个是偶数时，和一定是奇数”等结论之后，可以告诉他们：这些结论都是通过对几个具体例子的观察得到的，是否一定正确还不好说，所以只是一些猜想。由此，进一步启发：你能再举一些例子验证上面的猜想吗？你能找到不符合上面这些猜想的反例吗？通过这样的活动，一方面可以使相关猜想的可靠性得到增强，另一方面也有助于学生初步感受数学推理的严谨性。

3.在有序的表达中感悟模型思想

数学是思维的体操，语言是思维的外壳。计算教学中，让学生有序地表达，不仅有助于算法的理解，还能促进算法模型的迁移与新建！

“两位数乘两位数”笔算教学（苏教版小学数学教材三年级下册第一单元）。学生已有的算法模型是两位数乘一位数的“乘、乘、加”，与本课内容的学习高度关联。教学中，我们可以激活学生已有的经验，结合具体竖式，表述两位数乘一位数的计算方法，“乘、乘、加”的模型得以明晰。在此基础上，出示例题：每箱迷你南瓜24个，53箱一共有多少个？竖式计算中，一方面，可以让学生将前两步算式标注在竖式旁边；另一方面，在学生完成计算后，要让学生说一说每一步是怎么算的？求出的是什么量？如图1引导。

图1

同时，为了避免无关数字的相互干扰，竖式过程中可采用“遮挡法”，例题中，当计算“24”乘“3”时，可以将“53”中的“5”遮挡住，当计算“24”乘“5”时，可以将“53”中的“3”遮挡住，这样的遮挡将两位数乘两位“转化”为类似两位数乘一位数，算法模型在迁移中得以重组！

（三）注重对计算心理的分析

对于计算中学生的错误，我们通常用“粗心大意”这个词来笼统地概括，背后的心理层面的原因思考甚少，因而，对于错误的对策不多——重复讲解、反复练习；效果不佳——一讲再讲、一错再错。如果我们从心理层面去分析学生计算时的状态，可能会给计算教学带来新的启发。

1.感知粗略：区分不精细

计算技能的熟练需要一定量的反复练习，这种练习还常常处于同一个思维层面。因而，计算教学往往会给师生留下机械、重复的印象。小学生笼统、随意的感知特点导致计算时出现看错数字、抄错运算符号等现象。如把“35”写成“53”，把“-”写成“+”，等等。

学生进行计算，必然要通过自己的感觉器官与数据、符号建立联系。[17]在计算教学中，教师要发挥“先入为主”心理定式的积极作用，重视学生先前的学习，重视学生的首次感知，给学生留下正确、深刻的表象；其次，要重视学生感知的监督，即要养成检查、比对的习惯，达到强化感知、建立清晰表象的目的。

2.注意分散：动作不同步

小学生，尤其是小学低年级学生，无意注意占据主导地位，到了中高年级，开始向有意注意转换，这也从一个角度解释了随着年级的升高，学生计算层面的低级错误减少的原因。小学数学中的计算教学，多安排在低中年级，这符合数学教学的逻辑顺序，但与学生注意力的现状存在冲突。

小学生的注意持续时间短还具有明显的情绪特点，往往被鲜艳的色彩、富有趣味的故事等所吸引。计算中单调乏味的数字与符号，机械呆板的讲解与练习难以吸引学生的注意。因此，教学中要运用生动活泼的教学方式激发学生兴趣，如在新授环节，我们可以借助学生喜闻乐见的生活情境、故事情境展开；在探究中，让学生成为主人，小组交流、相互批改等方式进行；在练习环节，可以适当“小比赛”等形式激励。

3.思维定式：应用不清晰

思维定式也称“惯性思维”，是指按照已有的思维活动经验，定型化了的思维路线、方式、程序或模型。[18]对于学习而言，思维定式犹如一把双刃剑，对类似内容的学习产生正向的推动力，而遇到“形似神非”的问题时，思维定式会造成学生不假思索的套用，干扰新知的学习。

打破思维定式，教学中，较为有效的方法是对比练习与变式练习。对比练习在现行的各版本的数学教材中均有安排，教者应该为学生的观察、比较、辨析提供足够的时空；变式练习即一题多变式练习，有助于学生提高思维的深刻性与警惕性，呈现知识的形成过程。比如“）”，在学生简便计算后，可以将原题稍作改变为：“，引导学生思考探究。

4.记忆较弱：提取不顺畅

记忆时间在几秒左右的记忆称之为短时记忆，这种记忆方法在计算时经常用。如将题目中的数据提取，列成算式，将第一步的结果代入下一步等等。在简单的计算中，学生应对自如。但随着计算的复杂程度加深，对学生的记忆提出了更高的要求，比如两位数乘两位数（连续进位），其中，既有记忆的成分，也有运算的成分，学生错误较多。

正确计算需要学生及时、准确、完整地提取储存的信息，提髙学生的记忆力应该是计算教学的一个分支。教学中，一方面可以进行针对性的训练，如从200开始，让学生连续减去8，或者出示一个数9，学生连续加9等，这种“接力”式的训练，需要学生记住前一步口算后的得数，有助于记忆力的提升；另一方面，计算过程中的辅助环节，也有助于学生记忆，以“48×17”为例，在计算7×48时，七八五十六，可以让学生将进位的5写在相应的位置，四七二十八，可以让学生将“28”写在草稿纸上，算出28加5后再按第一步的程序进行，事实上，对于一些后进生28加5都达不到脱口而出。

“运算能力”对于学生数学的学习具有十分重要的作用。我们应该从更高层次理解“运算能力”，准确把握其内容要求，并在教学中，不断探寻有效的教学策略，为提升学生的“运算能力”而不懈追求。▲