关注归纳推理所隐藏的思想、能力和本质

吉智深

（南通师范高等专科学校，江苏 南通 226500）

归纳推理是人们间接认识事物和事物本质属性的一种重要思想方法，也是一种人人应掌握的科学方法，归纳推理在培养学生创新意识和创新能力方面起着很大的作用。其实，归纳推理中还隐藏着一些思想、方法与本质，需要我们关注，否则归纳推理在教学中的作用就会大打折扣。下面就这些话题，谈谈笔者的见解与认识。

一、关注归纳推理前涉及的：无影的数学思想

归纳推理是一种重要的思想方法，如果没有其他所需思想的支持与配合，那么学生对归纳推理可能只知其然，而不知其所以然。

如三角形的面积推导时，教材通过插图（苏教版五年级上册第12页，参见图1）提出问题：如何求涂色三角形的面积？（每个小方格表示1平方厘米）

图1

教材编写的意图很明显，就是引导学生通过归纳发现：两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形。但在教学时，我们还要关注插图中所给的三角形分别是：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。为什么在归纳前，把归纳的对象先分类呢？这是因为归纳推理时，对特例有两个方面的要求：一是量的要求，需要足够多的特例，范围要足够广；二是质的要求，需要特例有典型性和代表性，这两条基本要求是互为依存、缺一不可的。如果只注重量的方面而忽视质的方面，会让归纳推理得到的规律不具有一般性。事实上，归纳前先分类，再通过具有代表性的特例归纳出一般的规律，这样的情形不仅出现在三角形面积公式推导的教学过程中，也出现在分数乘法和分数除法算法的归纳推理教学过程中，将来还会出现在其他归纳推理或数学证明中，如正弦定理和余弦定理的公式推导等。

又如钉子板上的多边形（苏教版五年级上册第111页，参见图2），求多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的钉子各有多少枚？先数一数、算一算，将结果填入表中，再与同学说说你的想法。

填好表以后，教材提问：

（1）多边形内只有1枚钉子，它的面积与它边上的钉子数有什么关系？用字母表示出它们函数关系后，教材继续提问：

（2）如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关系？

（3）如果多边形内有3枚、4枚……钉子，它的面积与它边上钉子数的关系会怎样变化？如果多边形内没有钉子呢？

图2

从上面的归纳推理，我们可以发现多边形的面积既与它边上的钉子数有关，也与多边形内的钉子数有关，这是一个二元函数问题。事实上，小学数学有不少多元函数的例子，如：矩形面积等于长乘宽是二元函数；梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2是三元函数。对于涉及多元函数的归纳推理时，教师首先要意识到这是个多元函数问题，虽然我们不能和学生说这是二元函数、那是三元函数，但要做好这种多元函数思想的渗透，也要认识到如何处理涉及多个变量的归纳推理问题。如钉子板上的多边形这节课渗透这样的思想：先使其中一个变量固定，即固定多边形内部的钉子数，当多边形内部的钉子数为0枚时，1枚时，2枚时，……多边形面积与多边形边上钉子数的关系，再通过归纳推理得到多边形的面积与多边形内部的钉子数和多边形边上钉子数之间的关系。虽然教材对此没有做明确的要求，但教师在归纳推理教学前，要意识到这种多元函数，做好这方面的渗透，并且要渗透处理这类多元函数的方法。

我们要在归纳推理前，发现蕴含其中的数学思想，并且深化这些思想，这将会给归纳推理教学乃至整个数学教学带来积极的影响。

二、关注归纳推理中所需的：无形的概括能力

在归纳推理教学中，教师有时只关注具体的东西，如概念、规律、关系等，而忽视了概括能力的培养，面对一些简单的规律，学生也无法发现。有趣的乘法计算（苏教版第三册第22页）：

这几题的乘积会有什么特点？先算一算、填一填，再和同学交流。

积的末两位是怎样算出来的？末两位前面的数呢？

第一个问题，不少学生通过归纳推理顺利找到规律，但第二个问题，能发现规律的学生就很少了。为什么？原因可能有二：一是这个规律因为没有数学表征支持与帮助，单从数字计算中学生很难发现规律；二是学生归纳概括能力不强，对数字的变化不够敏感。我们可以指责这样的“简易算法”对学生来说没有任何的价值可言，但学生的概括能力不强也是不争的事实。对于课程标准中的例题，观察：

15×15=225 25×25=625

35×35=1225 45×45=2025

测试统计表明：能正确地总结“个位是5的两位数自乘规律”的学生不足9%，在测试现场也观察到，相当多的学生对已有特例看不出规律。对于这样的实验结果，我们不能一味地去找客观原因，而应该反思归纳教学的目的，归纳推理不能仅仅停留在“简易算法”，而应该有更高的追求与理想，我们也要反思教学中概括能力的培养与发展问题。事实上，概括能力是重要的能力，蔡金法老师曾指出：“数学概括能力是数学能力的核心。”[1]这种无形的能力不是通过教师“教”出来的，而是学生参与学习活动“悟”出来的，那么怎样才能提高学生的概括能力呢？

1.归纳推理包括求同法、存异法、同异并用法、剩余法、共变法等，教师要引导学生在理解的基础上学会这些方法，从而提升他们的概括意识。求同法是指在被研究现象发生变化的若干场合中，若只有一个情况在这些场合中共同具有的，那么这个唯一的共同情况就是被研究现象的原因（或结果），如倒数概念的归纳采用的方法就是求同法，虽然每几组数字各不相同，但它们的乘积都等于1。共变法是指被研究现象发生变化的各个场合中，如果只有一个情况变化着，其他情况保持不变，那么这个唯一变化的情况就是被研究现象的原因（或结果）。如在钉子板上的多边形中，多边形内的钉子数是保持不变的，唯一变化的就是多边形边上的钉子数，它的数量变多，是多边形面积变大的原因。

2.概括能力往往来自于各种数学表征的理解与表达。小学数学应该给学生呈现恰当的数学表征，让他们学会从中主动归纳出数学规律或者公式，这是教学的需要，也是学习的需求。问题：下图（参见图3）所示的乘法表中偶数积多还是奇数积多?[2]

在解决“偶数积多还是奇数积多？”这个问题后，学生还注意到：一个偶数乘一个偶数总是一个偶数时，教师应该鼓励学生用数学的方法记录该规律：偶数×偶数=偶数。这会让他们学会用数学的方法归纳出规律或者公式，也会促使学生寻找同样类型的其他概括。

图3

3.养成设置标志、符号、字母对数量和数量关系进行抽象概括的习惯。数学概括的进行和最终结果的表达都必须借助于数学语言，归纳推理要通过数学特例与表征找到归纳对象的共性，并且通过数学语言抽象概括来揭示其本质。乘对加的分配律，先观察特例：（3+4）×5=3×5+4×5，（6+12）×4=6×4+12×4，（4+7）×7=4×7+7×7，先引导学生用自己的方法概括该等式，（□+○）×△=□×△+○×△，不要小瞧这一步，它是从具体到抽象的中间环节，接着引导学生要字母表示出该等式，最后再要求学生将字母表示的定律“翻译”成文字表达。

数学概括能力是数学能力的核心，是看不见的数学素养，归纳推理教学要抓住机会，培养学生的数学概括能力，进而促进学生数学能力的发展。

三、关注归纳推理所体现的：无言的数学本质

不同的人从不同的角度对数学本质有不同的理解，数学家们认为，数学证明是数学的本质，因为发现真理、追求真理永远是数学发展的最终目标，但对归纳在推动数学发展过程中的作用也是一致认可的，因为数学发展史证明，推动数学发展的主要动力是归纳而不是演绎。正如波利亚所说：“用欧几里得方法提出来的数学看来却像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学。”归纳推理除了体现这一本质之外，还可以体现“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”。除此之外，归纳推理还体现数学的另一本质，即：数学是研究模式的科学。教师虽然不能和小学生做这方面的介绍，但应该通过具体的归纳推理渗透这方面的内容。

“数学是研究模式的科学”这一关于数学本质的定义得到了众多数学家和哲学家的认可，不同的数学分支研究不同的模式，如算术与数论研究数字与计算模式，几何学研究形状模式，逻辑学研究推理模式和概率论研究机会模式等。模式也是学生认识规律并整合自己世界的方法，小学阶段的数学教育目标应该对学生理解模式提出具体要求与目标。《美国学校数学教育的原则和标准》一书提出：在学前至二年级，所有学生应该能够“识别、描述并扩展（例如声音、形状或简单的数字模式等），并能够把一种表现形式的模式转化为另外一种表现形式；分析重复型和增长型的模式是如何”。在三至五年级，所有学生应该能够“描述、扩充与概括有关几何和数方面的模式；应用文字、表和图示表征与分析模式和函数”[3]。虽然我国义务阶段数学课程标准对这方面的内容没有明确提出要求，但通过归纳推理教学可以体现与完成这些目标。

1.数数模式

数数模式是数学史上最早的数学模式，它促使自然数的产生。当然我们可以借助数数模式，归纳出自然数更多的性质，如通过使用各种间隔数数在百数图上使用不同的模式，使学生从视觉上认识到这些数字的特征。如5的倍数有哪些特征,我们就可以发现，5、10、15、20、25、30……，教师引导学生观察百数图（参见图4）上着色的数字构成的视觉模式与5的倍数之间构成一种对应，从而顺利地归纳出能被5整除数的特征。

如果以9为间隔，9的倍数在百数图的排列不是竖条型的，而是斜条型的，但它们的数字和都等于9，从而归纳出100以内的数，如果一个数各数位之和等于9，则它一定能被9整除。

2.重复模式

图4

学前的孩子已经意识到一个“红、白、红、白、红、白”颜色模式在形式上与一个“站起、蹲下、站起、蹲下、站起、蹲下”动作模式是相同的，到了小学阶段学生要了解到这两种非常不同的情境具备相同的数学性质，并且知道两种模式都可以被描述为：ABABAB，这样也有助于了解代数的作用。如果对这种重复模式进一步研究，通过“一一间隔”的物体，归纳出两边的物体比中间的物体多一。也可以扩展这种模式，如“红旗、红旗、黄旗、黄旗、红旗、红旗、黄旗、黄旗……”，通过归纳推理算出第19面旗帜是什么颜色？第20面旗帜是什么颜色？从而把这种重复模式与带余除法建立起联系。

3.关系模式

有人说，数学是一门“关系学”，这很有道理。这种关系模式集中体现在函数关系，它是寻求两种变量之间的依赖关系。这种依赖关系大多数都是通过归纳推理得到的，如多边形的内角和=(n-2)×180°，这种函数关系给出明确的解析式，当然小学数学有不少没有明确解析式的函数，也是通过归纳推理得到的，如通过教材所给的图片（参见图5）。

归纳出：几个9就等于几十减几个。小学数学中常常有这种没有解析式的函数关系，需要通过归纳推理发现并且找到这种关系，这一点在教学时也应加以重视。

这种关系模式不仅仅存在于数与代数领域，也存在于图形与几何领域。如两个图形之间的关系，两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形。教材通过一系列问题引导学生思考几何图形之间的关系：拼成平行四边形的两个梯形有什么关系？拼成的平行四边形的底与梯形的上底、下底有什么关系？平行四边形的高与梯形的高有什么关系？每个梯形的面积与拼成的平行四边形的面积呢？

图5

4.机会模式

小学阶段的概率主要研究机会模式，从把事件描述成肯定发生、可能发生和不可能发生，再到发生可能性的大小定性研究，最后到可能性的大小定量研究。举个例子，口袋中有5个白球和1个红球,那么摸出白球的可能性大呢？还是摸出红球的可能性大呢？让学生摸20次、30次甚至更多次,他们发现摸出白球次数多，而摸出红球的次数少，归纳出从口袋里摸一个球，摸出白球的可能性大，而摸出红球的可能性小。反过来，如果学生能根据摸出白球与红球的频率，就可以猜出袋子里的白球比红球多的结论，更可以通过红球出现的频率判断口袋中红球所占的比例，学生们也会根据抽奖盘上不同颜色区域的大小，归纳出中一等奖的机会很小，这些都是归纳推理，都体现了概率是研究机会的模式。

归纳推理教学给教师和学生提供了宝贵的机会，促使学生积极参与“描述、扩充与概括有关模式”，渗透“数学是研究模式的科学”这一数学本质。

总之，数学教学要善于挖掘归纳推理所隐藏的教育价值，借助归纳推理，研究其中蕴含的数学思想——分类与多元函数；提升学生的数学核心能力——概括能力；渗透归纳推理所体现的数学本质——数学是研究模式的科学，从而促进学生对数学的理解，提高他们的数学素养。▲