注重整体关联，促进深度学习

吕同林

摘 要：

数学教师应该注重整体关联，基于数学的整体结构，利用知识、方法以及探索路径之间的联系开展教学活动，

让学生从已有经验出发，在自主探索中自然建构，层层深入，“既见木又见林”

。以《探索三角形相似的条件》一课为例，说明：基于关联，让“数学化”自然而清楚；整体建构，让“结构链”完整而坚固；经历过程，让数学本质明晰而透彻；开放探索，让数学思考深化而灵动。

关键词：数学教学 整体性 关联性 三角形相似的条件

数学知识、方法之间具有较强的关联性、相似性，数学结构又有一定的整体性、逻辑性。而当前数学教学一般按照教材编写的章节和课时顺序逐一推进，知识的呈现碎片化和单一化，习题的应用也具有明显的指向性，教学内容的关联性和整体性显得不足。这导致学生解决问题的思路、方法单一，知识、方法之间的有效迁移能力不足，整体感知、理解问题和综合把握、运用知识的能力有所欠缺。不少教师虽然会在课时小结以及单元总结环节花费一定的时间和精力，但是能力提升的效果事倍功半。

很多专家学者认识到现有教学方式的不足，普遍倡导数学教学的“整体性”和“联系性”。章建跃博士指出：“数学教学必须注重数学的整体性。从教的角度说，把握好整体性，才能有准确的教学目标，才能把数学教得本质而自然，教学行为才能‘准‘精‘简，才能充分发挥数学的育人功能；从学的角度看，注重整体性，才能了解知识的源头、发展和去向，才能掌握不同内容的联系性，既学到‘好数学，又学得兴趣盎然。”

笔者在教学实践中认识到：注重整体关联，基于数学的整体结构，利用知识、方法以及探索路径之间的联系开展教学活动，让学生从已有经验出发，在自主探索中自然建构，层层深入，“既见木又见林”，符合数学的学科特性以及学生的认知规律，能够帮助学生厘清数学脉络，明晰数学本质，促进深度理解，获得有效迁移，进而发展数学品质，提升数学能力。下面以《探索三角形相似的条件》一课为例，进行说明。

一、教学案例

（一）教学思考

苏科版初中数学教材将“相似三角形”内容安排在九年级下册。其编排结构与八年级上册的“全等三角形”内容相同：定义—判定—性质—应用。其中“探索三角形相似的条件”一节共安排了5个课时的教学内容：第1课时“平行线分线段成比例”、第2～4课时“三角形相似的判定”（三个判定逐一展开）、第5课时“重心概念等”。

学习本节内容之前，学生已经学习了三角形、四边形以及圆的相关知识，积累了图形性质和判定的探究经验，同时也具备了一定的观察、分析以及猜想、论证数学现象和规律的能力。学生之前具备的“一般→特殊”“特殊→一般”的图形探究活动经验，为三角形相似条件的探索和整体建构提供了可能：三角形全等是三角形相似的特殊形式，三角形相似是三角形全等的一般形式，全等三角形的判定自然就是相似三角形判定的探索之源。因此，立足“全等”探索“相似”，是由“特殊”走向“一般”的思维活动，是贴近学生“最近发展区”的数学探究学习。

基于以上思考，笔者按照“注重整体关联，自主探索，建构三角形相似条件”的教学思路，将“三角形相似的三个判定”的教学放在一节课内完成：设计“问题串”，引导学生自主思考、交流汇报，并适时对学生进行点拨。

（二）教学（问题）设计

1.回忆联想——关联奠基。

问题1 目前为止，你有哪些判定三角形相似的方法？

问题2 探索三角形相似的条件可与学过的哪些内容建立联系？

问题3 从三角形全等的条件到三角形相似的条件是加强还是弱化？你能说说道理吗？

设计意图：问题1意在引导学生回顾三角形相似的定义和预备定理，激活学生的已有经验，为探究和证明三角形相似的判定奠定基础。问题2意在引导学生建立与

三角形全等的联系，分析其一般性和特殊性，感悟三角形相似判定的必要性和可能性。问题3意在引导学生联想四边形、三角形中“一般与特殊”的关系，感受条件的加强与弱化的一般化思考经验，形成全等到相似（特殊到一般）条件的弱化意识和探究的欲望。

2.整体推进——关联探究。

问题4 三角形全等条件（“ASA”“AAS”“SAS”“SSS”）如何弱化？

问题5 基于上述弱化条件的思路，将“ASA”“AAS”“SAS”“SSS”逐一弱化，并將你的结论用语言表达出来。

问题6 根据弱化后的条件探究其能否判定三角形相似？说说你探究问题的方法和依据。

问题7 结合图形用符号语言总结归纳三角形相似的判定方法，并与同伴交流。

设计意图：四个问题不断深入，引导学生关注三角形全等条件的弱化方向，比如条件数量的减少以及对应边关系的一般化；经历弱化过程，感受三角形相似需要两个条件来判定；通过特殊三角形、一般三角形画图验证猜想，然后利用推理论证的方式得出结论：“ASA”和“AAS”转化为“两角分别相等的两个三角形相似”，“SAS”转化为“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，“SSS”转化为“三边成比例的两个三角形相似”。

这里，要注意探究视角和方法的多样性；还要结合图形用文字语言和符号语言陈述定理内容，通过图形、文字语言、符号语言的转换，进一步提升学生的数学表达和推理能力。通过这样的“从特殊到一般”的探究活动，帮助学生整体认识和建构

三角形相似的三种判定，深化数学理解，提升数学思维。

3.开放应用——关联优化。

问题8 判断下列三角形是否相似。

（1）两个等边三角形；

（2）两个等腰三角形；

（3）顶角相等的两个等腰三角形；

（4）有一个角为40°两个等腰三角形；

（5）△ABC与△DEF中，∠A=40°，AB=1，AC=3，∠D=40°，DE=2，EF=6；

（6）△ABC与△DEF中，∠A=30°，∠B=70°，∠D=30°，∠E=80°。

问题9 如图1，添加适当的条件使△ACD与△ABC相似。说说你的方案和依据。

问题10 如图2，你能根据图形编拟一道利用相似三角形解决的问题吗？

设计意图：本环节主要探索三个判定的选择和使用。问题8直接运用相似条件进行判定。问题9、10具有开放性，充分调动学生主体参与数学活动的积极性和思考力，发掘知识之间的联系性。问题9可以借助图中隐藏的元素——公共角相等，添加另一组角相等或夹公共角的两边成比例的条件。问题10编拟的问题源于相似，可以先给定判定相似的条件，再利用相似的对应边、对应角的性质研究边或角的关系。通过这样的条件增补和问题设计，调动学生的数学思维活动经验，深化其对相似条件的理解，优化学生的数学智能结构，提升其应用数学的能力。

4.小结思考——关联深化。

问题11 本节课研究问题的路径是什么？你有哪些收获和困惑？

问题12 如何选择适当的条件判定两个三角形相似？

设计意图：问题11回顾本节课的研究路径，形成

“由特殊到一般”以及“由一般到特殊”的研究思路，突出数学知识的“纵向数学化”，引领学生感悟和经历条件弱化和加强的过程以及思维视角，促进对数学的深刻理解。问题12相似条件的选择，是基于数学思考的角度，优化学生的数学思考方式，提升其整体理解和运用相似判定的能力，促进其数学活动经验的积累和升华。

二、教学启示

基于整体关联的数学探究学习活动，紧扣数学学习内容的关键要素，整体把握数学知识之间的本质联系，从而使学生获得稳定而牢固的数学知识，感受新的思想和方法。这样的学习高于一般意义的记忆和理解层面，能使学生的思维方法不断优化，思维品质不断提升，思辨能力不断加强，高阶思维得以发展。

（一）基于关联，让“数学化”自然而清楚

弗赖登塔尔指出：“数学学习主要是进行‘再创造‘数学化。在数学教育中，应当特别注意这个数学化的过程，培养学生自己获得数学的态度，构造他们自己的数学。数学学习活动是一个螺旋生长的过程。学生数学学习之前，经历过生活中的一些数学现象以及脑海中已有的数学知识和方法，在学习展开的过程中，及时分析生活现象中的数学特征进行横向数学化，将已有的数学知识和方法等进行纵向数学化，并经过比较、推演等活动建构和生长新的数学知识。”突出知识之间的联系，可以促进数学理解的深入，形成稳定且牢固的数学结构。

在本节课探索三角形相似的条件之前，学生已经拥有了三角形全等的判定知识和探究经验，对于“由特殊到一般”关系的研究也具有一定的探索经历，如“四边形→平行四边形→矩形（菱形）→正方形”“三角形→等腰三角形（直角三角形）→等边三角形（等腰直角三角形）”，条件之间的加强或弱化关系明晰。基于这些数学活动经验，通过弱化三角形全等条件的过程来探索三角形相似的条件，自然而清楚。

关注新、旧知识之间的联系，让新知识的生成有依有据、有情有理，这样的学习是灵动而深刻的。

（二）整体建构，让“

结构链”完整而坚固

布鲁纳说过：“知识如果没有完美的结构把它连接在一起，那是一种多半会遗忘的知识。”整体把握数学学习内容，可以形成结构化的数学知识和方法链，洞悉数学脉络，深度理解数学。

“探索三角形相似的条件”一节，苏科版教材分多个课时编排，一是基于知识逐步呈现的方式，二是基于难点分散的需要。但是这样的教学易形成知识的碎片化，使知识的系统性和连贯性有所缺失。笔者采用“从特殊走向一般”的教学设计，将全等的四个判定（“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）弱化为相似的三个判定（两角分别相等，两边成比例且夹角相等，三边成比例）。这样的整体推进和建构，让推演过程精炼简约、一气呵成，让知识“结构链”

完整而坚固。此外，作图感知、推理论证互相关联，让学生的数学理解甚为透彻。

基于数学知识整体建构活动，让学生对新知识的理解有层次、有厚度，这样的学习是生动而深入的。

（三）经历过程，让数学本质明晰而透彻

数学的深度学习离不开数学概念、定理、法则的探索过程。概念的内涵、外延，定理、法则的适用条件、结论等揭示了数学对象的本质。教师要让学生在规律探索的活动中，疑、思、表达、完善，积累观察、猜想、分析、比较、归纳、演绎等数学活动经验，不断深化数学理解。

本节课中，三角形相似的条件从三角形全等的条件推演而来，经历“从特殊到一般”的条件弱化过程：从全等图形边、角对应相等到相似图形边成比例、角对应相等，或从所需条件的数量等方面不断减弱。如对全等条件“ASA”，一方面弱化边得到“AA”，另一方面减少角得到“A”，分析是否相似。学生依据弱化条件分别举例，得出一角相等的两个三角形不一定相似。对于两角对应相等的两个三角形可通过特殊（如三角板）初步感知相似性，再研讨一般（如两角分别为40°、70°的两个三角形，两角分别为α、β的两个三角形），接着通过作图以及同桌相互比对活动，进一步感受图形的相似性，最后思考并完成推理论证，得出“两角分别相等”的相似条件。接着再用同样的方法变换：“AAS”→两角分别相等，“SAS”→两边成比例且夹角相等，“SSS”→三边成比例，并逐一论证。

学生亲身经历数学规律的探索活動，自主思考、探究、整合、加工，形成知识；在数学探索活动中感受数学家般的创造过程，品尝“酸甜苦辣”滋味，乐此不疲。这样的学习关注数学活动，聚焦数学本质，突出数学理解。

（四）开放探索，让数学思考深化而灵动

深度学习尤其关注知识、方法的有效迁移和问题解决，这是高阶思维发展的重要标志。学生能否在理解的基础上将习得的数学思想方法真正融入自己的知识结构和体系中，其对新问题的解决是最好的考量。

本节课中，三角形相似条件的探索活动结束后，笔者设置了具有开放特征的两个问题：问题9意在让学生利用所学和所知选择合适的条件判定三角形相似；问题10意在让学生利用三角形相似的判定自主编拟所欲解决的问题，把学生的思考引向深入。在问题9中，学生可以利用隐含的公共角相等的条件，增补一个合适的条件，如另外的一组角相等或夹公共角的两边成比例来确定三角形相似。这样的活动有助于学生深入理解判定条件，整体认识和优化判定方法，提升判定的选择和应用能力。在问题10中，学生可以利用图形关系，设定相关的条件，建构相似，再利用相似解决边、角的关系，问题的设置可以是判定、计算、说理。学生在探索活动中，进一步提升思维力，增强知识应用的灵活性。

在开放的情境里，学生能够自由思想，自主内化、整合数学知识，优化数学方法，进而形成创新素养。

参考文献：

[1] 章建跃.注重整体性才是好数学教学[J].中小学数学（高中版），2012（4）.

[2] 【荷兰】弗赖登塔尔.数学教育再探——在中国的讲学[M].刘意竹，杨刚等译.上海：上海教育出版社，1999.

[3] 安富海.促进深度学习的课堂教学策略研究[J].课程·教材·教法，2014（11）.