变形构造、动态分析

刘杭岭

“含参函数方程有解取值范围問题”历来是高考的热点与难点。此类问题通常将函数、方程、不等式、解析几何等多个知识点融合在一起，需要综合运用多种解题技巧与思想方法。因此，学生遇到此类问题时往往无从下手，望而生畏。那么此类问题的该如何解决呢？

一、直接构造函数，转化为零点分布

例1 设关于x的方程和得实根分别为和，若，则的取值范围是__________

解析：此题涉及到两个含参数的方程根之间的关系，如果直接利用解方程的思想很难找到题目的突破口。如果把方程转化为函数，把根的关系看出零点的分布或者图像的交点，那么，问题的解决可能就会容易的多。一般情况下，方程根的问题往往转化为函数零点的问题，因为根是对方程的 “静态”表述，而零点是对函数的“动态”刻画，借助运动变化的观点往往更容易找到问题的突破口。

设，画出两个函数的图像，如图1所示。容易得到，要满足，

则

二、分离参数构造新函数，转化为图像交点

通过构造新的函数，零点往往又可以转化为图像的交点。在构造新的函数时，往往遵循“一动一定，一直一曲”的原则，这样有助于复杂的问题简单化、直观化。对于上述例题，我们还可以这样解：

因为;

设，

于是函数与图像的交点的横坐标就是，。如图2所示，要满足，则直线只能在A、B之间移动，容易求得。

交点比零点更具灵活性，因为不同的函数视角，就会产生不同的交点。对于，上述例题，还有另外一种构造方法：

。

令，问题就转化为抛物线与两条直线的交点问题。由于a的不确定性，所以要对a进行分类讨论，如图3所示。

（1）当时，，

则;

（2）当时，显然成立;

（3）当时，要满足，则直线只能在与的交点A、B之间滑动。不妨设交点为，

则有，

解得，所以。综上，。

三、注变化规律，动态分析临界状态

例2 若关于x的方程对任意均有实数解，则实数a的取值范围是_______

解析：此题包含两个参数，两个参数相互制约，共同影响整个问题的结论。因此，在解题时要关注参数的变化规律，从运动的视角分析临界状态下图像相交的特点，从而找到问题的突破口。

。

设，可得的图像表示的是恒过定点，斜率在之间变化的直线束，其中点在直线上运动。

因此，原问题就转化为与有交点，如图4所示，考虑临界状态时的相交情况。

当的直线过点时，

将代入，得临界点;

当的直线过点时，

将代入，得临界点;

所以。

本题难点在于有两个参数，如果能够事先估计除参数的取值范围，那么问题的解答过程就会简洁的多。本题的解法还可以进一步优化：

因为方程对任意的都成立，则当与1时方程也成立，即有解，

得;有解，

得，

所以。

上面是当与1时得到的取值范围，还需要验证

当时，

对任意的，方程都有解。

令，直线恒过定点，

而点在线段上运动

如图5所示，对任意的斜率，直线与半圆恒有交点。

综上所述：。

“含参函数方程有解取值范围问题”往往比较抽象，直接运用代数计算很容易陷入“山重水复疑无路”的困境，而采用数形结合就会迎来“柳暗花明又一村”的曙光。运用数形结合思想的关键是通过变形，构造函数，把方程根的问题转化为函数零点或者图像交点来处理，然后立足运动变化的视角动态分析图像的变化规律，最终找到问题的突破口。