浅析高中数学小题中有关构造函数问题

宋英军

【摘 要】为同学们总结有关函数导数中小题的部分题型的解题思路，帮助其摆脱对函数导数的阴影，特对函数导数中的部分小题做出一些个人的总结，希望对同学们有些许帮助。

【关键词】高中数学；构造函数；由条件推导新函数

根据各种有关函数构造小题，本人将其分为两大类：⑴有关函数奇偶性的简单函数构造问题。⑵单纯的复杂函数构造问题。由于例题过于繁杂，本人便不一一列举。不过，在讲述解题方法之前，本人先对其所用的基本公式进行一下说明，以便于之后的总结。

由于目前高中对函数介绍较少，对于函数导数的运算主要应用以下几个公式：

1.函数导数的加减法运算公式；

2.函数导数的乘法运算公式；

3.复合函数的求导公式。

为了便于做出总结，特在此将函数导数的除法运算公式做一些改动。改动并证明如下：fxgx′=f′xgx-fxg′xgx2fx

gx-1′=f′xgx-1+fxg′xgx2=f′xgx-1+fxgx-1′可知，函数导数的乘法运算公式与除法运算公式实质性等同。

类型一：有关函数奇偶性的简单函数构造问题；

1.（高考）奇函数中的构造函数问题的显性应用

常见条件：①fx在R上可导；②fx+f-x=2Ax2在R上恒成立；③f′x-2Ax在0，+∞或-∞，0为正或为负。

构造过程：fx+f-x=2Ax2fx-Ax2=-f-x-A-x2。所以，fx在R上为奇函数。令gx=fx-Ax2，则g′x=f′x-2Ax，即得新函数gx为所求函数。

2.（拓展）偶函数中的构造函数问题的显性应用

常见条件：①fx在R上可导；②fx-f-x=2Ax在R上恒成立；③f′x-2A在0，+∞为正或为负。

构造过程：fx-f-x=2Axfx-Ax=f-x-Ax。所以，fx在R上为偶函数。令gx=fx-Ax，则g′x=f′x-2Ax，即得新函数gx为所求函数。

3.（拓展）隐性应用

众所周知，两个奇函数相加仍为奇函数，偶函数亦然。而x的奇次方为奇函数，x的偶次方为偶函数。如果上述的奇函数与x的奇次方相加，偶函数与x的偶次方相加，即可构造出更加復杂的函数。但因其难度太大，在此便不做具体说明。

类型二：单纯的复杂函数构造问题

1.（高考）幂函数与未知函数的乘法问题

常见条件：①fx在R上可导；②xf′x+Afx在0，+∞或-∞，0或R上为正或为负。

构造过程：令gx=xAfx，得g′x=xAf′x+AxA-1fx=xA-1xf′x+Afx。即得新函数gx为所求函数。

2.（高考）指数函数与未知函数的乘法问题

常见条件：①fx在R上可导；②f′x+Afx在0，+∞或-∞，0或R上为正或为负。

构造过程：令gx=eAxfx，得g′x=eAxf′x+AeAxfx=eAxf′x+Afx。即得新函数gx为所求函数。

3.（高考）正余弦函数与未知函数的乘法问题

由于此类问题形式简单而种类繁多，我将以表格形式列出。表格如下：

4.（高考）三项式问题

常见条件：①fx在R上可导；②Ax+Bfx+xf′x在0，+∞或-∞，0或R上为正或为负。

构造过程：因为Ax+Bfx+xf′x=xf′x+Afx+Bfx=xf′x+Bfx+Axfx，所以猜测新函数gx=eAxxBfx，得g′x=eAxxB-1Ax+Bfx+xf′x。故新函数gx为所求函数。

以上便是本人对小题中函数构造的全部见解，希望对同学们有些许帮助。

【参考文献】

[1]五年高考，三年模拟.组卷网