基于思维发展的数学开放题教学与评价研究

李海东，杨传冈

（1.泰兴市南沙小学，江苏 泰兴 225464；2.盐城市第二小学，江苏 盐城 224005）

所谓数学开放题，就是“答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的数学问题”[1]。“对问题指向只有原则性要求”和“一题多解”是数学开放题的本质特征。前者为后者提供了可能，后者是前者的体现。[2]苏教版小学数学教科书在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四个领域的教学内容中都设计了一些开放题，以便“不同水平层次的学生能给出适合自己现实水平的解答”，并从中“体验数学的学习方法和研究方法，获取数学知识，培养学生对数学的积极态度”[3]。学生解决开放题综合运用数学知识的情况能有效反映他们的数学思维水平。因此，教师要精心组织数学开放题的教学和评价活动。

一、小学数学开放题教学

每个领域数学开放题的教学都应体现过程性，以便培养学生的探索精神和创造力。教师要根据学情、教科书和知识背景，精心设计恰当的数学活动，引导学生在观察、实验、猜测、推理、交流和反思中感悟开放题知识的形成和应用过程。让学生经历这样的教学过程，不但有助于他们理解和掌握数学知识与方法，而且有助于他们形成良好的数学思维习惯和应用意识，还能有效提高他们解决问题的能力。

1.引导学生经历开放题知识形成过程

开放题能有效培养学生思维的创造性，但这只能建立在学生理解并掌握知识的基础上，否则，学生思维发展就是无源之水、无本之木。教师进行开放题教学活动时，可以根据“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程引导学生经历数学知识的形成过程，激发他们的学习兴趣，帮助他们厘清知识之间的联系，促进他们理解知识本质，发展他们的思维能力。

探索“和与积的奇偶性”（苏教版五下P50）时，教科书中有这样一道开放题：

两个非0自然数的和是奇数还是偶数？这道开放题的知识背景是学过了奇数和偶数概念，学生知道自然数分奇数和偶数，掌握了奇数和偶数的意义。教师出示开放题后，学生经过思考，认为两个非0自然数相加包括“奇数+偶数”“奇数+奇数”和“偶数+偶数”三种情况。根据这三种情况，学生提出了6个不同的数学问题，即：（1）奇数与偶数的和是奇数吗？（2）奇数与偶数的和是偶数吗？（3）奇数与奇数的和是奇数吗？（4）奇数与奇数的和是偶数吗？（5）偶数与偶数的和是奇数吗？（6）偶数与偶数的和是偶数吗？

这样，开放题变成了学生容易理解和解决的问题了。这些问题其实是学生的猜想，需要进行验证。验证猜想时，学生先举出一些奇数与偶数相加的例子，发现它们的和都是奇数，而不是偶数，从而初步验证了“奇数与偶数相加的和是奇数”。在此基础上，教师引导学生从奇、偶数的概念进行验证：奇数除以2后余数是1，偶数除以2后余数是0，它们的和除以2后余数是1，1是奇数，因此，奇数与偶数的和是奇数而不是偶数。学生随后用类似方法验证了“奇数与奇数的和是偶数”以及“偶数与偶数的和是偶数”，从而得出了结论：两个非0自然数的和可能是奇数，也可能是偶数。这样，他们就经历了开放题的问题解决过程，也就经历了数学知识的形成过程，还沟通了奇数、偶数、余数之间的联系。他们对开放式问题的认识逐渐从感性上升到理性，数学思维得到了顺利发展。

2.引导学生经历开放题知识应用过程

知识的应用依赖于知识的有效迁移，而知识的顺利应用反过来能促进知识迁移的发生与加强。恰当应用开放题知识不仅能帮助学生巩固所学知识，而且能帮助学生实现个体知识库或知识结构的存储与重构，从而促进开放题知识掌握、能力提升和智力激活。数学开放题的应用过程是学生检验知识理解和巩固情况的过程，也是加深理解、使知识系统化的过程，还是学生根据开放题问题解决过程中形成经验举一反三的过程。教师根据教学需要可以及时引导学生经历开放题的知识应用过程。

教学“长方体和正方体”时，教科书中有这样一道开放题：你能求出一张纸的体积吗？小组合作，动手试一试（苏教版六上P25）。学生通过测量一叠A4纸（如1000张）的长、宽、高算出总体积，再求出一张纸的体积；学生也可以把一张A4纸对折成长方体，量出长、宽、高并求出体积。学了“圆柱和圆锥”后，教师设计了这样一道开放题：如何测量一团橡皮泥的体积？这是一道策略性开放题，学生可以用测量A4纸的经验，把橡皮泥变成规则形状后进行测量，用长方体、正方体、圆柱或圆锥体积公式进行计算。在此基础上，教师引导学生尝试用其他方法求橡皮泥的体积。有的学生想到在量杯中倒入适量的水（保证橡皮泥放进杯中被水淹没并且水不溢出），记下水面的刻度，把橡皮泥放进量杯后记下水面的刻度，两次水面的刻度差就是橡皮泥的体积；有的学生进行了逆向思考——把橡皮泥放进量杯中倒入一些水，使水面超过橡皮泥而不溢出后停止倒水，记下水面的刻度，取出橡皮泥，记录下水面下降后的刻度，算出两次水面的刻度差就是橡皮泥的体积。教师讲了阿基米德测皇冠中黄金的故事后，学生受到启迪，想到在水槽中放一个玻璃杯并倒满水，把橡皮泥放入玻璃杯，水从杯中溢出，最后把溢出的水倒入量杯，溢出水的体积就是橡皮泥的体积。最后，学生通过实验验证了三种方法的正确性。

学生应用所学长方体和正方体部分的开放题知识解决新开放题，需要根据问题情境，灵活应用数学学科知识或其他学科知识。在问题解决过程中，学生不仅能巩固所学的体积公式，而且能培养综合应用积累的知识经验、生活经验和数学活动经验解决问题的能力。

二、小学数学开放题学习评价

小学数学开放题评价的主要目的是全面了解学生学习开放题的过程和结果，以便激励学生学习、改进教师教学。为了有效达成目标，教师要“恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平”，对学生在开放题问题解决中的数学思维评价要“依据课程标准的总目标和学段目标要求”，灵活应用各种形式和方法，“特别要重视在平时教学和具体的问题情境中进行评价”[4]。

1.“数与代数”领域的开放题学习评价

小学数学“数与代数”领域包括数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计，用字母表示数，代数式及其运算和方程等。“解决问题的策略”是苏教版小学数学教科书的特色内容之一，当然少不了数学开放题。学生尝试解决问题后，教师要结合“解决问题的策略”特点，有针对性地进行评价。

五年级上册数学教科书“解决问题的策略（一一列举）”中有这样一道开放题（P98页11题）：用48个边长1厘米的正方形拼成长方形，有多少种不同的拼法？它们的周长各是多少？拼一拼，算一算。这道题共有5种不同拼法，它们的周长如表1。

学生解答后，教师评价他们的数学思维水平要结合“解决问题的策略”特点，从数学准确性和方法角度对学生进行评价。

一级水平：理解题意，能尝试画图解决问题；

二级水平：能发现一些符合题意的长方形，并列表进行有序排列；

三级水平：列表有序排列，在观察和比较中发现长、宽变化时周长的变化规律；

四级水平：列表有序排列，在观察和比较中发现长、宽变化时周长的变化规律并验证。

一名学生的答案（参见表2），被评为水平二，因为他能一一列举出所有可能的拼法，虽然答案全、周长计算正确，但无序，没法发现规律，更不要说验证规律了。这样评价学生的数学思维层次，主要关注学生解决问题的策略意识和思维水平。的一种或几种；

三级水平：除了能做出二级水平中的正方体和长方体中的一种或几种外，还能做出一组对面是正方形的长方体的一种或几种（共12种），例如长10厘米、宽和高都是8厘米，或长8厘米、宽和高都是5厘米，等等。

四级水平：除了能做出水平三的不同情况外，还能想到特殊情况，如棱长是20厘米、18厘米、16厘米、14厘米、13厘米、12厘米或11厘米的正方体等需要24根或更多小棒做出的正方体、长方体。

下面是一名学生的答案（参见图1），被评为水平二，因为他能做出符合要求的正方体和部分长方体，并用画图的方法表示出来，虽然不全，但排列有序。

表1

表2

2.“图形与几何”领域的开放题学习评价

小学数学的“图形与几何”领域包括空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量，图形的平移、旋转和轴对称以及图形的位置等。这些内容中都有开放式问题。评价时，教师要根据课程标准的要求，结合“图形与几何”领域的知识特点，在具体的问题情境中灵活评价学生的思维。

六年级上册数学教科书有这样一道数学开放题（25页第11题）：用小棒和橡皮泥团，可以做出不同的长方体和正方体框架。小组合作，先填写选料单，再做一做。

用8团橡皮泥，根据小棒的种类进行分类，只用1种小棒做出的正方体有4种，用2种小棒做出的长方体（一组对面是正方形）的有12种，用3种小棒做出的长方体有4种，共20种；如果用12团橡皮泥、16团橡皮泥、20团橡皮泥甚至更多橡皮泥，做出的长方体或正方体框架会更多……

“长方体和正方体”是小学阶段真正开始学习的立体图形，学生的思维开始从二维空间走向三维空间，空间观念能得到进一步培养。学生尝试解答后，教师评价他们的数学思维能力，要结合“长方体和正方体”的特征，从数学准确性和方法角度对学生的数学思考进行评价。

一级水平：能理解题意，想到用8团橡皮泥，只用1种小棒做出正方体，即棱长分别是10厘米、8厘米、6厘米和5厘米的正方体4种中的一种或几种；

二级水平：能做出一级水平中的4种正方体和一种满足条件的长方体，如长、宽、高分别是10厘米、8厘米、6厘米，或10厘米、8厘米、5厘米,或10厘米、6厘米、5厘米，或8厘米、6厘米、5厘米8种中

图1

这道开放题的主要意图是要求学生根据长方体和正方体的特征，合理选择材料，完成搭建框架的实践操作。这样画图，既关注了“实践”，又关注了“探索”，并且探索意味浓厚，反映了学生具有一定水平的空间观念。

3.“统计与概率”领域的开放题学习评价

小学数学“统计与概率”领域包括收集、整理和描述数据（如整理调查数据、绘制统计图表等），处理数据（如计算平均数等），从数据中提取信息并进行简单推断和简单随机事件等。学生解决相关开放题时要灵活应用统计知识。教师评价时要根据课程标准的要求，结合统计和可能性的特点，灵活评价学生的思维。

四年级上册数学教科书“统计表和条形统计图（一）”有这样一道数学开放题（53页第10题）：你每天做家庭作业的时间大约是多少？和其他同学相比，你用的时间比较长还是比较短？记录你本周做家庭作业的时间并算出平均数。

学生把一周内每天做作业的时间都记下来，进行汇总，从中发现信息，如时间最长、最短、相差多少、平均数是多少、最接近哪一天的作业时间等，并体会这些数据所表示的意义。学生尝试灵活整理，如寻找时间最长的那一天，可以直接比较寻找。当统计的天数比较多（如统计全班人数的作业时间）时，学生也可以分组寻找，然后全班比较；比较可以从小到大排列，也可以从大到小排列，还可以用一个时间做标准，把其他时间与它进行比较。整理的目的在于分析，学生可以独立分析后交流，也可以先与同学交流统计结果，再讨论用什么数据表示自己的作业时间比较合适，说说合理安排时间的体会，甚至可以用条形统计图直观分析每天的作业时间及差异。学生尝试解答后，教师要结合统计特点对学生的数学思维水平进行评价。

一级水平：能理解题意，每天及时在表格中做好记录，算出一周内每天做作业的时间平均数，知道平均数最接近哪天的作业时间，知道自己做作业时间最长、最短的分别是哪一天，相差多长时间；

二级水平：能完成一级水平的各项任务，明白这些数据所表示的意义，并在和同学交流中，比较自己和同学用的时间是长还是短；

三级水平：统计汇总小组内每个同学每天的作业时间，算出平均数，灵活、迅速地发现谁做作业用的时间最长、最短、相差多少、最接近哪一天的作业时间等，明白这些数据所表示的意义。

四级水平：能完成三级水平的各项任务，能用条形统计图、折线统计图或扇形统计图表示各小组所用时间的平均数。

下面是一名学生的答案，被评为水平三，因为他不但及时记录了每天的作业时间，算出了平均数（如表3），而且知道了自己和其他同学相比，作业时间适中，还知道自己星期一做作业的时间最短，星期三做作业的时间最长，两次时间相差15分钟。比较时，他先用自己的平均时间做代表，把自己的作业时间与平均时间进行比较。他能收集、记录数据，知道如何求平均数，但没有制作统计图，因此被评为三级。这样评价学生的数学思维水平，主要关注学生的统计意识和数据分析观念。

表3

4.“综合与实践”领域的开放题学习评价

小学数学“综合与实践”是以问题为载体，以学生自主、积极参与为主的学习活动。学生在解决开放题的过程中要综合运用所学数学知识和方法，从而培养他们综合运用知识和方法的能力，培养他们的问题意识、应用意识和创新意识，使他们积累活动经验，发展数学综合素养。苏教版教科书中每学期都有一两次数学综合实践活动，每节课都有数学开放题。

四年级下册数学教科书“数字的编码”中有这样一道开放题（105页）：如果要为全校同学编号，你想表达哪些方面的信息？准备怎样设计？

学生尝试编码后，教师要结合综合实践活动的特点有针对性地进行评价。

一级水平：理解题意，能用自然数1、2、3、4……或用四位数字（估计全校有1000多人）0001、0002、0003……编码，从一年级开始依次表示全校同学总人数。

二级水平：用6位数编码，分别表示全校同学的年级、班级、学号和性别等信息。如一年级二班第37号是男生，编码为123701（从左往右，1表示一年级，2表示2班，37表示班级的座位号，01表示男生）。

三级水平：用8位数的编码分别表示全校同学的入学年份、班级和学号等信息。如2017年小学入学的6班第45号学生，可以用20170645表示。

四级水平：用12位数的编码表示全校同学的出生时间、年级、班级、学号和性别等信息。如101231203261（表示出生时间是2010年12月31日，二年级三班第26号，是男生）。

一名学生用8位数字编码表示学生的入学年份、班级和学号等信息。他设置的编码是13053201，表示2013年入学，（五年级）5班，学号是32的男生(01表示男生)。他能独立设计方案，用8位数字编码，并且清晰准确地表示编码的含义，甚至比三级水平多了性别，因此被评为水平三。这样评价学生编码的数学思维水平，主要关注的是他们思维的复杂程度以及灵活应用所学知识的思维水平。

总之，开放题教学应充分考虑学生的年龄特点和知识经验，引导学生经历问题解决的过程，发展学生的数学思维；开放题学习评价坚持低起点，宽入口，循序渐进，以定性为主，尽量使学生获得成功体验，以便帮助学生树立学好数学的自信心。▲