小学数学速度概念的理解与认知阶段划分

金轩竹，丁 锐，马云鹏

（东北师范大学教育学部，吉林 长春 130024）

1928年，著名物理学家爱因斯坦（Einstein）向皮亚杰（Piaget）提出“儿童是以何种顺序掌握时间与速度概念”的问题。传统的牛顿力学（Newtonian Mechanics）认为时间是更为本质的概念，速度只是由时间概念所派生出的概念。但相对论（Relativity-Theory）则认为，时间与速度互为参照，并无更基础的一方。为更好地回答爱因斯坦的问题，皮亚杰在近20年的研究中相继出版了2套近500页的文集，论述了不同年龄段儿童建构速度与时间的过程，并由此掀开了学界对速度概念及其建构过程的研究。[1]时至今日，对速度的研究早已不再局限其与时间概念孰先孰后的问题，而是进一步从认知阶段、比例关系等视角开展研究。在此基础上，本文对线性移动中速度概念的相关研究进行梳理，提出儿童建构速度概念的可能轨迹，并为速度概念的教学提供相应的策略。

一、速度概念的理解

在物理学中，速率（Speed）是指物体位移的距离与所耗费时间的比值，是将物体的移动（Motion）量化了的结果，而速度（Velocity）则是描述物体位置变换快慢与方向的矢量。虽然在义务教育阶段的数学学习中，关于物体移动快慢的讨论并不涉及运动方向，但由于“速度”是教学中的习惯用语，因此本文仍以速度论之。已有对速度概念的理解主要从内包量（Intensive Quantity）与比率（Rate）两个角度进行界定。

（一）速度是内包量

根据物体随系统变化情况的不同，可将物体的物理性质划分为内包量与外延量（Extensive Quantity）两类。其中，外延量是指可通过测量直接得到的量，如温度、长度等，体现的是量的加法性质；而内包量则是指无法直接测量而由两个外延量的比值所得到的量，如密度、速度等，体现的是量的乘法性质。[2]内包量建立在对比理解的基础上，涵盖了数学、物理、化学等多个领域。已有对内包量的研究主要集中于通过呈现实物情境或以数字、语言表示的抽象命题，探究儿童区分与运用不同维度的能力，梳理不同的认知阶段。例如，藤村等人通过让儿童回答并解释相关内包量概念问题总结出“基于单一量大小、基于两个量倍数关系、平均单位关系以及以加减法关系”四种儿童判断内包量概念的常用策略。[3]因此，从内包量角度定义速度概念更多的是关注距离与时间维度对速度概念建构的影响，将儿童对不同维度的整合过程，以及对同向与逆向关系的理解视为首要关注点，并利用情境、语言描述等方式探究公式计算背后的儿童思维发展的真实情况。

（二）速度是一种比率

将速度视为比率是分析速度概念的又一视角。比（ratio）与比率的关系始终是国内外学界的争论点。《辞海》将“比”定义为当比较两个同类量a和b的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a比b，所得的数k称为“比值”，即“比率”，记a：b=k。“：”是比号，比号前的量称为“比的前项”，比号后的量称为“比的后项”。[4]但有学者指出，此种定义将诸如速度、夏普比等非同类量的比排除在外，且没有体现出比的度量作用。[5]美国数学教育家汤普森（Thompson）认为，判断比与比率的关键在于是否经历过抽象过程。“比”是将两个量进行乘法比较（Comparing Two Quantities Multiplicatively），且局限于特定的情境，而比率则是通过将“比”剥离情境抽象化、符号化后所抽象出的一个整体。[6]对于速度概念而言，“比”更多的是在描述距离与时间的倍数关系，而比率便如同一个“线性函数”（Linear Function），可根据需要将其实例化。例如，当描述一个物体以60km/h的速度进行运动时，只是将物体运动进行量化，与它已经或正在走过的距离及花费的时间无关，可随时根据情境的需要进行赋值。如，该物体以此速度运动半小时，则运动距离将为30千米。即，无论两个量中的哪一个发生变化，另一个也必然发生变化，但该比率保持不变。[7]因此，儿童要能够将速度视为一种比率，理解对于匀速运动的物体而言，物体的运动距离是被时间单位成比例地分割开来。

综上所述，本文认为无论是内包量还是比率都强调儿童对速度、距离、时间三者关系的理解，但当以数学视角分析速度概念时，则更倾向于关注变量间的关系，从比率角度界定速度概念。总之，无论是将速度视为一种内包量还是距离与时间相比所得到的比率，刻画儿童速度概念发展的轨迹与关键点都是研究与教学的主要着眼点。

二、速度概念发展阶段的划分

对儿童速度概念发展阶段的划分既需要参照内包量概念的认知阶段，也要考虑速度概念所具有的独特性。在包量概念的相关研究中，西格勒曾以皮亚杰的相关研究为基础，对儿童理解诸如浓度等概念的过程进行了探讨并划分出四个阶段（参见表1）。[8]

表1 西格勒的儿童内包量概念发展阶段

其中，主导维度并不意味着某一维度是更重要的，相反，它只是用来描述儿童在进行判断时所通常依赖的维度，这种依赖性在成人中也表现得更为显著。但“主导”与“从属”的地位也并非一成不变，不同的刺激可能会使二者产生逆转。藤村在西格勒研究基础上，对儿童解决内包量问题的策略及认知水平进行了区分，将只考虑一个量的策略命名为策略A，对于同时考虑两个变量的情况，又根据演算策略的不同将基于倍数、平均单位的运算分别称为策略B、C，将错误的或基于加减等运算策略的命名为策略D，并认为策略A到C的转变体现了儿童的认知水平由“一个量的符号化向两个量的符号以及倍数关系与平均单位认识的转变”[9]。

此外，速度概念也具有一定的独特性。速度作为路程与时间的比值表述为“速度=距离/时间”。这一数学公式中包含着时间与距离、速度与距离两对正比例关系以及时间与速度的反比例关系。其中，正比例关系是指：x与y为两个数，在变化过程中，如果x与y的比保持为常数c，就称这两个数成正比例；而当x与y的倒数成正比（例）时，x与y则为反比例关系。[10]即，只有当儿童识别出速度、时间、距离三者中保持不变的因素并能够在量化层面综合考虑三者关系时，才可谓真正地掌握比例关系，建构起速度概念。

因此，基于内包量认知阶段及速度概念所具有的特点，综合不同研究，可将儿童速度概念的发展轨迹划分为：以停止点顺序判断速度大小阶段、过渡阶段、理解同向与逆向关系阶段以及掌握时间—距离—速度系统的阶段（如图1所示）。

图1 儿童速度概念的发展阶段

（一）以停止点顺序判断速度大小阶段

皮亚杰是最早对儿童速度概念建构阶段进行研究的学者。其通过对5至12岁（N＞80）的儿童进行一对一访谈后发现，5至6岁的儿童会根据物体停止点的顺序位置判断速度的大小。例如，当将红色与蓝色小车前后放置并同时开始运动时，儿童会认为无论二者间的差距是否缩小，只要红色小车的停止位置仍在蓝色小车前，红车的速度便大于蓝车；停止位置相同则速度也相同。即，“距离越长，花费的时间也越长”。皮亚杰认为，这是由于移动（Movement）在根本上意味的是顺序的变化，而速度作为描述物体移动快慢的向量同样是建立在对物体空间位置变化感知的基础上。[11]因此，对于不具备同时性（Synchronous）概念的儿童而言，他们无法将时间与距离同速度建立起关联，从而只能将最为直观的顺序位置作为判断物体速度大小的首要依据。同样，艾克多罗与施密德（Acredolo&Schmid）所开展的较大样本量研究也证实了停止点的相对位置作为儿童判断速度的首要策略会一直持续至儿童8岁左右。[12]在此阶段，距离维度，特别是物体运动的停止点位置在速度概念成为主导维度，而时间作为从属维度被儿童所忽略。

（二）过渡阶段

随着认知能力的发展，7至8岁的儿童开始考虑诸如起点位置、运动时间等因素对物体速度的影响，对速度概念的认知逐渐由单维的停止点顺序主导向二维关系的建立过渡。过渡阶段的儿童虽仍具有明显的“停止点”倾向，且对“快”这一形容词的理解依旧在速度与距离长度间摇摆，但他们会主动修正自己的答案，开始考虑其他维度的影响。虽然西格勒等人运用规则评估技术（Rule-Assessment）进行的研究并没有发现将速度与距离混淆的情况与某个特定年龄段存在关联，但后续的研究均表明存在一个阶段，儿童开始意识到其他因素对速度判断的影响，但对其中关系的认知仍较为混乱。在时间概念上，过渡阶段中的绝大多数儿童会混淆停止时间与运动时间，将“火车在6秒钟停止”完全等同于火车的运动时间，而不考虑出发时间。[13]总之，过渡阶段的儿童虽然对时间概念的理解仍存在混淆，且尚不清楚如何将距离与时间二者建立联系，但他们已经开始有意识地考虑距离、时间两个维度对速度概念的影响，并逐渐意识到其中的关联。

（三）理解同向与逆向关系阶段

对物体运动过程中同向与逆向关系的把握体现了儿童由单维的“停止点中心”发展至明晰两个维度间关系的阶段。同向（directrelationship）与逆向关系（inverserelationship）是指儿童虽然能够意识到两个变量是以相同或相反方向进行变化，但却忽视另一个变量所处的状态[14]，即，无法同时考虑三个变量间的关系。例如，呈现两列速度相同（并未告知儿童）但行驶距离却不同的火车运动情况，询问儿童为何其中一列火车花费的时间更长时，儿童会给出“因为另一列车所到达的车站距离更远，所以需要的时间也更长”的解释，并不会询问或考虑二者的速度是否相同。一般认为，儿童在四岁左右开始意识到时间与距离、速度与距离间的同向关系，并随着年龄的增长逐渐清晰。其中，对距离与时间关系的理解不仅在时间上要略晚于距离与速度，且难度更大，不同年龄段的儿童均会出现将二者视为逆向关系的情况。

逆向关系的理解是儿童在较长一段时间内的难点，儿童会认为速度大的物体所需要的时间也更长，将空间与时间概念相混淆。对这一现象的解释主要包括两个方面：一方面是从概念本身入手，认为时间概念所具有的复杂性及早期形成的同向关系干扰了儿童对速度与时间的理解，儿童通过泛化“顺理成章”地得到“更快的物体需要更长时间”这一结论，从而将速度与时间视为同方向变化。[15]另一方面则是从认知角度展开分析，认为时间与速度的混淆体现了儿童早期的认知特点。首先，某些特定维度会对儿童产生较为显著的影响，儿童更倾向于以此维度作为判断的标准；其次，较之稳定不变的因素，儿童更愿意将注意力集中在具有明显差异的维度，因而常忽略另一维度所处的状态；最后，在面对与时间因素相关的问题时，儿童会依据“多就是多（More is More）”的原则进行判断。即，儿童会将诸如速度较大、亮度较高的物体视为“更活跃”“更努力”的一方，并由此认为这类物体需要花费的时间也更多。[16]一般认为，5至7岁左右的儿童开始逐步理解速度与时间的逆向关系，但直到9岁以后才能够明确并运用同向与逆向关系解决问题。

随着认知能力的发展，儿童在建立同向与逆向关系的过程中会逐渐意识到第三个维度对速度判断的影响，但仍不会在言语表达或操作过程中主动提及。同单维至二维的过渡阶段相同，儿童对两组二元关系与时间—距离—速度系统的调和过程可能并不是某一年龄段的“专属”，6至10岁的儿童均可能处于这一转换阶段。[17]

（四）掌握时间—距离—速度系统的阶段

皮亚杰认为，速度概念的掌握主要包括直观与抽象两个层面。直观层面是指儿童对物体运动完全或部分地可见，儿童能够通过观察获得关于物体运动距离远近、时间长短与速度大小的直观体验，并对其进行比较。研究者通常会控制参与比较的两个物体以使二者在其中一个维度上具有相同的数值，并借助实物进行呈现。例如，通过装置呈现火车A在10秒的时间里运动了20米，火车B在10秒的时间里运动了25米的情形，询问儿童哪一列火车的速度更大。直观层面的问题能够最大限度地确保不同年龄段儿童对问题的理解，为纵向了解儿童的思维发展提供了可能。尽管并非是儿童有意识的自发行为，但随着认知能力的发展，9至11岁的儿童开始理解直观层面中的比例关系，形成了正确的时空（Spatio-Temporal）概念，但仍然无法将其中的关系自发地整合起来，常会出现模棱两可的答案。而直到11岁以后，儿童才能在直观层面实现对距离—时间—速度系统有意识的运用。[18]

在皮亚杰的研究中，虽然儿童在直观层面掌握了速度概念，但当撤去实物而呈现以符号表示的“距离（时间）不同但时间（距离）相同的问题”，以及“距离、时间均不同的速度问题”（如，物体A 5秒钟运动5厘米，物体B 6秒钟运动7厘米，谁的速度更大？）时，儿童又再一次退回到依据停止点位置进行判断的水平。因此，皮亚杰认为，对物体运动情况的直观层面判断并不能证明儿童已完全理解速度概念中的比例关系，只有当儿童能够在符号层面比较距离、时间均不相同的两个物体的速度时，才可谓真正理解距离—时间—速度系统。[19]例如，在比较3秒钟运动12厘米和2秒钟运动11厘米的物体时，能够通过推导出后者的速度更大；又或是对于2秒钟运动4厘米与4秒钟运动8厘米的问题，儿童能够发现由于二者的比率相同因此速度也是相同的。将上述两类问题视为儿童对比例关系的更高水平的掌握除与抽象程度的差异有关外，对距离与时间均不相同物体的比较涉及了等价类这一重要的数学思想。等价是集合X上具有自反性、对称性和传递性的二元关系，而等价类则是由等价关系诱导出的特殊子集，设A是一个非空集合，对于A上的一个元素a，所有A中与a等价的元素所组成的集合就叫作由a产生的等价类。[20]等价类在解决计算、比较等问题时发挥着重要的作用。对于“比”而言，等价关系主要体现为将最简比进行扩充以得到比较与计算的合适形式，上述对“3秒钟运动12厘米和2秒钟运动11厘米”的速度比较，便是利用等价关系寻找到相同的时间后，再依据正比例关系对速度进行的判断。皮亚杰的研究表明，只有12岁以上的儿童才能够在符号层面灵活地运用比例关系解决问题，理解其中的等价关系，在起始点、运动时间不同的情况下做出正确的判断，将距离与时间维度进行合理的整合。

总而言之，儿童速度概念的发展过程并非一蹴而就，而是遵循着由单维的停止点顺序到考虑同向与逆向关系，再到掌握时间—距离—速度系统的过程。对儿童速度概念认知阶段的梳理有助于为研究者与教师提供儿童思维发展的脉络图，为课堂教学及课程整合提供参照。

三、对教学的启示

（一）注重直观体验，培养抽象能力

数学并非是独立于经验世界的先验性内容，而是产生于现实的需要。纯数学的研究对象是现实世界的空间形式与数量关系，所以是非常现实的材料，但为了能从纯粹的状态进行研究，则必须对其他的特性进行剥离，抽象出不同于现实世界的对象与关系概念。[21]同样，理解并运用以符号形式存在的速度概念及其与距离时间的关系都离不开数学抽象。抽象能力的发展并非一蹴而就，需要通过活动不断积累后天经验，提高直观能力。

速度模型是小学数学中重要的乘法模型之一，我国现行的数学教材大多在三年级开始引入速度的相关问题，北师大版教材将其融入至加减法与乘法的学习中，侧重于运用公式进行乘除法的运算[22]，而在人教版教材中，以速度为背景的应用题出现次数为最高的12次[23]，重要性可见一斑。线段是速度模型教学中最为常用的表征方式，对于匀速运动的物体而言，线段所代表的是路程的长短，根据物体的运动时间将线段进行等分，每段所代表的便是物体的运动速度。将速度以可见的线段进行呈现看似降低了儿童理解的难度，但其中所涉及的是对路程的抽象以及比例关系的理解。以线段表示路程要求儿童能够理解物体的运动距离是被时间单位成比例地分割开来。如，当以线段图的方式表示6小时运动120千米的物体速度时，儿童要首先选取一段能够平分成6份的线段，并将其视为“120千米”；其次，儿童要能够理解由于物体花费了6个时间单位进行运动，因此要将总路程相应地分成6段长度相等的部分，每一部分不仅在数值上与速度相等，并且也代表着物体在每个单位时间内的路程，进而将速度与路程、时间建立起联系，领会“速度=距离/时间”的公式（参见图2）。

图2 线段图表示速度

线段图不仅能够培养儿童的抽象思维，而且能够帮助儿童深入理解速度概念，辅助儿童解决相遇、超越等问题，但在教学中，教师一方面不能“想当然”地要求学生立即理解线段图的意义，而是要由诸如“赛跑、旅行”等具体情境入手，让学生意识到运用线段的原因及必要性，并通过比较不同情境下线段的长度而引导儿童意识到二者间的关系；另一方面，教师要使儿童明确每一份线段所代表的是物体在一秒钟所运动的距离，将其与时间建立联系，从而避免儿童将每一份线段简单地视为“一段距离”、将路程视为对“速度长度”重复所得到的结果。

（二）全面剖析概念，关注认知轨迹

儿童的生活本是一个整体，但零散且缺乏衔接的学科内容将儿童的世界加以割裂和肢解，无法帮助儿童将已有经验同新知识进行整合。因此，教师要了解儿童在学习某一主题时的认知过程及思维方式，明确现阶段内容与主题间的联系，围绕核心概念展开教学。以描述学生在一个时间跨度内学习和探究某一主题时，依次进阶，逐级深入的思维方式的学习进阶（Learning Progression）与假设性学习轨迹（Hypothetical Learning Trajectory）均体现了对概念的整合及学生认知过程的关注。[24]

同样，速度概念不单是数学内容，更与数学、物理等内容的学习紧密相连（如图3所示）。在横向层面，一方面，速度概念同浓度、密度等内包量概念具有内在一致性，儿童不仅遵循着相似的认知阶段，而且均涉及对数量间的比例关系的掌握；另一方面，对速度、距离与时间三者的关系的理解与运用也是培养儿童数学模型思想的重要环节，速度模型作为应用题中的现实背景之一贯穿于各个阶段的数学学习中，沟通儿童的现实生活与数学世界。在纵向层面，速度概念连接着物理知识的学习，儿童开始在更为广泛的意义上理解物体的运动。在初中阶段，“机械运动”开启了儿童对物理知识的学习，通过对长度与时间的测量、运动的描述、运动的快慢及测量平均速度内容的学习进一步完善对速度概念的建构；而到了高中阶段，“运动的描述”作为高中物理学习的开端，将学生速度概念的认知进一步深入至位移与加速度，从而实现对物体运动相关知识的综合运用。由此可见，在速度教学中，教师要沟通知识间联系，深度剖析概念，遵循学生的认知轨迹，帮助学生建立与完善知识网络。

图3 速度概念关联图

（三）深入发掘，彰显数学核心素养

数学核心素养是学生学习数学过程中形成的对未来发展起重要作用的思维品质和关键能力，具备数学素养的人能够从数学的角度看待问题，运用数学的思维方式思考并解决问题。[25]目前，义务教育阶段已经确立了包括数感、符号意识等在内的共十个基本核心素养，在培养数学品质的同时促进学生的全面发展。

从数学核心素养的视角出发看待速度概念的教育价值主要包括三个方面：首先，速度概念中的比例关系是对符号意识的培养，在解决速度的相关问题过程中，学生得以经历“选择并运用恰当的符号表征情境中的数量、采取恰当的方式对符号进行计算、运用等价关系解决问题”的过程，并能够逐步理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，提升符号意识。其次，对速度、时间、距离三者关系的建构过程体现了数学推理能力，如，在距离相同的情况下，根据不同速度值所对应的时间归纳得到速度与时间的反比例关系便是一个完整的合情推理过程。最后，在小学阶段，路程模型与总量模型是教学中必须考虑的两个模型，其中，路程模型可以适用于总价、总数等一系列现实中问题。[26]因此，速度问题作为路程模型的重要类型之一有助于帮助儿童理解数学与外部现实的关系，在培养学习兴趣的同时，使儿童意识到现实生活中所蕴含的大量问题可以通过数学知识予以解决，提高应用意识。▲