从一道几何题的教学设计看探究式学习

屠长娥

摘要：探究式学习是学生了解和认识这个世界的重要途径，是学生主动去发现问题，并通过动手实践操作，研究问题最终达到解决问题。本文主要从一道具体的数学探究题的教学设计讨论如何在初中数学教学中引导学生自主进行探究式学习。

关键词：新课标；探究式学习；案例分析；K字模型

探究式学习是指在教学中创设类似于学术研究的情境，学生通过动手做、做中学主动发现问题，实验、操作、调查、收集与处理信息、表达与交流等探索活动，获得知识、培养能力、发展情感与态度，特别是发展探究精神与创新能力。這种学习方式是通过亲身探究获得的知识是学生自己主动建构起来的，是学生真正理解、真正相信的、真正属于学生自己的。而新课标倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手。这与探究式学习的意义不谋而合。那么，下面从一到具体的探究式数学题的教学设计讨论在初中数学教学中如何引导学生进行探究式学习。

一、问题情境，揭示探究目的

在 中， 点D为直线BC上一点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF连CF接试问：（1）BC与CF的位置关系；（2）BC，CD，CF之间的数量关系。

在教学实施的过程中并未向学生提供图形。所以，在学生刚接触这道题时会觉得难以下手。那么如何激发他们的求知欲，做到主动发现，自己探究呢？为此，借助了几何画板这一数学工具，通过变换点D的不同位置，在运动过程中度量 的数值，发现BC与CF位置关系是： ，如图1，当点D在线段BC上时，有BC=CD+CF；如图2，当点D在线段CB的延长线上时，DC=BC+CF；如图3，当点D在线段BC的延长线上时，CF=BC+DC.结论是通过几何画板探究出来了，那么如何证明呢？

图1 图2 图3

动手操作，深入研究

1.引导学生正确分类

（1）通过几何画板的演示，你认为点D的位置可能有几种情况？

生答：三种，在点B、C之间，在点B的左边，在点C的后边。

希尔伯特曾说：“在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。”由此在上课时可以从特殊到一般设置问题进行引导。

（2）这三种情况中有没有位置比较特殊的，你能画出这种情况

并直接出结论吗？

生答：当点D是线段BC的中点时。

2.特殊位置，观察思考

如右图，易知 .所以 .

3.由特殊到一般，证明结论

刚刚的点D在特殊位置时，我们是通过证明 得到结论的，那么这种方式能不能应用在其他位置上证明呢？你能把其他情况也动手画一画吗？

三、小组合作，交流讨论

1.以三人为一组（意图：每个人负责点D的一个位置，让每位学生都参与探究活动），进行组内讨论，交流与表达自己的看法；

2.各组推荐一个代表汇报讨论情况，交流证明方法；

3.学生得到点D的不同位置时，BC与CF的位置关系以及BC，CD，CF之间的数量关系的完整证明过程。

四、归纳总结，提炼方法

1.在这个问题探究过程中，我们是如何入手的？怎么采取分类情况的？

生：先是利用几何画板动手操作，根据点D运动时的不同位置进行分类。由此可以发现当几何题中涉及到动点问题时要进行分类讨论。

2.在证明过程中，我们运用到什么方法？想到这种证明方法的关键点是什么？

生：证明三角形全等，关键是题目中给出的等腰三角形有腰相等，以及直角就会有两角互余。

3.根据本道题，你能归纳出什么样的方法？

生：由等腰三角形或者直角三角形可以构造三角形全等或者相似解决一些线段之间的关系。

五、数学思考

1.如图4，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE。若已知 ， ，求出GE的长。

师：这是上面的拓展延伸，你能利用归纳的方法（三角形全等）来解决这一问题吗？

图4 图5

展示学生解决成果：如图5，过点A作 于点H，过点E作 于点M， 于点N. 由上面的结论，可得 又 ， 是矩形，

又 是正方形， 又

又 .

2.总结提炼：这道题中不仅仅用到了前面已经证明的结论，而且利用等腰直角三角形构造出的两个三角形全等的证明方法，这种图形被抽象成一种数学模型?——K字模型.数学新课标要求学生要学会从复杂图形中抽象出基本图形，并且能理清基本图形中的基本元素与其关系，利用直观来思考。而上面抽象出来的K字模型就是其中一种基本图形。具体如下：如图， 于点B， 于点D，点P是BD上的一点，且 .在此图形中，易证： .当AP与PC不相等时，可以得到 .

拓展延伸

1.如图6所示，在直角 中， ，20B=30A，点A在反比例函数 的图像上，若点B在反比例函数 的图像上，则K的值为 . （2017年吴中区初二数学期末考试题）

图6 图7

解析：在这道题中明显存在一个直角三角形，那么不妨尝试用K字模型。如图7，分别过点A、B作X轴的垂线，交X轴于点C、D.则 ，相似比为 ，则 即 ，又因为 ，所以 .

2.如图，二次函数 的图像分别与X轴交于点A、B两点，与Y轴交于点C，顶点D的横坐标为1.

求二次函数解析式，A、B的坐标；

若点 是Y轴上一点， ，将点Q绕点P顺时针旋转 ，得到点E，当点E恰好在该二次函数图像上时，求t得值；（2017年江都区一模）

解析：（1）根据顶点D的横坐标为1，可得 从而二次函数解析式为

（2）如图，过点p作x轴的平行线GH，过点E作 ，垂足记为H，过点Q作 ，垂足记为G。由K字模型可知 .则 ，又因为P（0，t），Q（-5，0），所以 代入二次函数解析式得 ，解得 （舍）。

从上面的一道 字模型几何题的教学设计，可以看到在设计探究式学习课程时。首先，设置问题情境，明确探究的目标。问题情境是让学生发现问题，积极探求的心理取向，是为之后的学生学习过程服务的，是学生思维发展的奠基石。需要注意设置问题情境时不能流于形式主义，只为了吸引学生眼球，这样不仅不能取得良好教学效果，也会让学生呢过感觉数学的华而不实。然后，向学生抛出问题。教师所提的问题应该是基于探究目标和几何直观，由浅入深，层层递进，让学生有思考问题、回答问题的兴趣，从而达到引导学生分析问题的目的。其次，引导学生动手操作。教育家陶行知提出“在做中学”的教育思想，国家科学教育改革项目?—HIBL把“做中学”定义为基于动脑、动手的科学探究，让学生在动手做学习中建构自己的科学概念和认知模型。因此，在教学活动中应该加强学生的操作和动手活动，以此激发学生的思维，加深对知识的理解和记忆。再次，组织学生合作交流，表达。英国教育家哈里麦多克斯在《学习方略》中提出“小组合作交流对于那些学习速度较慢的人来说具有‘加快作用”。在合作交流的过程中，学生的思维是开放的，可以吸收不同的思路，并且通过交流使片面的个人结论和思路变得丰富起来，也使学生对知识的理解逐渐完善，最终求知目的。最后，让学生归纳小结。在一节课结束时引导学生对所学知识从知识点和方法让进行归纳与反思，这样可以培养学生的概括能力，同时把所学的知识与方法更加系统化地理解记忆，把所学的方法应用到此类问题上以拓展学生思维。

总之，在教学过程中开展探究式学习方式，可以使学生充分发挥主体作用。学生在探究时利用已有的知识经验，通过参与课堂活动，与他人合作交流，经历挫折与失败，成功与兴奋，获得自信感，也同时认识到自己的不足，也能激发学生自主探究，成为新知的发现者，体会理解科学的本质与精神。“授人以鱼不如授人以渔”，教会学生知识，不如教会学生探究知识的方法，这就是探究式学习方式的本质。

参考文献：

[1]任长松《新课标学习方法的变革》，人民教育出版社.

[2]焦建林《初中数学探究式教学研究》，理科考试研究（数学版），2015.