初中数学函数教学的难点与突破

陈琪

[摘 要] 初中生学习函数知识时，普遍觉得困难，所以教师在实际教学中应善于引导学生加强概念理解并结合生活化的素材、数形结合与待定系数法的应用以促使学生跨越函数学习障碍.

[关键词] 函数教学；难点；概念；生活化；数形结合；待定系数法

数学知识的渗透在学生儿时就开始了，新知识在由浅入深、循序渐进的渗透中往往不会给学生造成突兀的感觉，初中数学知识点的难易分布虽然是比较均衡的，但函数知识却依然是初中学生数学学习中尤其困难的一部分内容. 因此，如何准确把握函数知识的难点并帮助学生突破这些难点是所有初中数学教师都应该关注和研究的重要问题.

初中函数的教学难点

1. 函數概念难以理解

很多学生对于函数知识的学习往往只是停留在函数概念与公式的死记硬背上，函数概念所蕴含的意义却是很多学生不甚明白的，解决函数类题目时也往往采取套用解题步骤或公式的机械做法. 对函数概念只进行肤浅了解的做法使学生在函数的后续学习中感觉困难重重. 函数的本质含义、题目所表达的真正意义对于学生来说都是一片模糊，学生在解决实际问题时当然不可能取得好的效果，因此，函数概念的真正理解是初中函数教学中的难点之一.

2. 思想体系难以建立

数形结合是函数学习以及解决函数实际问题中最为重要的方法，但是数形结合思想方法的运用必须基于数形结合思想体系的完整建立之上. 不过初中学生的思想意识相对薄弱，往往会导致其数形结合的能力相对低下，熟练运用数形结合思想解决函数问题对于学生来讲自然是难上加难了. 因此，掌握数形结合的方法并建立数形结合思想体系也是初中函数教学中的一个难点.

3. 函数意识薄弱

很多学生在函数学习时无法真正透彻理解函数概念的本质与含义，在思想上也常常忽视函数关系的梳理与辨析，因此，学生在解决一些函数实际问题时往往连题目都不一定能读懂，题中变量之间的函数关系更加难以探寻出，题中给出的条件对于学生解题来说也就成了摆设. 学生在函数学习中的这种薄弱意识对函数解题来说自然会产生很大的负面影响，学生在长期的薄弱意识形态的影响下往往会对函数学习以及函数具体问题的解决产生恐惧. 因此，学生函数意识的培养是初中函数教学中的一个重点与难点.

4. 思维发展水平低下

函数知识在初高中数学整个体系中都是很难、很重要的，函数知识的学习必须依赖优秀的思维能力才能取得良好的效果. 思维能力决定着学生的学习能力以及学习效果，函数知识中的概念问题以及应用问题都对学生的思维能力提出了很高的要求. 因此，教师在实际教学中应注重平时的思维训练以促进学生思维能力与方式的锻炼和提升，使学生能够在思维能力不断提升的过程中学会熟练运用数形结合等解题方法. 由此可见，学生思维能力的培养在函数教学中也是难点所在.

突破函数教学困境的途径

1. 加强概念认知与理解

学生对函数概念理解得不够到位往往导致解题套用公式、无法正确运用函数基础知识、无法理清函数变量之间的关系等诸多现象产生，因此，教师在实际教学中应重视学生在函数概念上的认知与理解，使学生能够明白函数变量之间的关系这一函数问题的实质，使学生在明白两个变量之间变化关系的过程中领会题目的意图.

比如，在平静的水面上投石子是函数教学中值得运用的一个情境. 小石子在水面上激起的层层波纹正是一组组同心圆，波纹的面积与周长都会伴随圆半径的不断增大而逐渐增大，因此，圆的半径放在函数的范畴内就是自变量，而圆的面积与周长则是函数关系中的因变量，圆的半径与周长、面积之间的变量关系则可以运用C=2πR，S=πR2这样的函数表达式来描述.

2. 加强生活化应用

函数的枯燥与深奥也是导致学生函数学习困难的一个重要因素，因此，教师在实际教学中应关注学生的学习兴趣与动力并着力刺激与调动. 生活中的素材于函数教学中的有机应用往往能够使学生在贴近生活实际的教学中激发出对函数学习的好奇心与积极的心理感受，学生对函数知识的记忆与理解能够因此加深并愿意积极参与到问题的讨论与交流中. 学生的思路与思维得到有效拓展的同时也能展现出更加踊跃的态度与情绪，并因此突破函数学习的困境.

比如，教师在“一次函数”这一内容的教学中可以设计这样的情境以导入新课：请结合生活现象来讲一讲什么是函数？生活问题1：已知某长度为5厘米的弹簧上悬挂了一物体，如果在其弹性限度内在该物体的质量x上每增加1千克就会令弹簧长度y增加0.5厘米，那么该弹簧在所挂物体分别是1、2、3、4千克时的长度应该是多少呢？请大家尝试写出y和x之间的关系式. 学生结合已有知识在生活情境中展开量与量之间关系的探寻也会变得更加轻松. 生活问题2：某汽车从甲地出发时油箱内有汽油100升，如果该车每行驶50千米就会消耗汽油8升，那么，油箱剩余油量y和路程x之间的关系式应该如何？引领学生在实际情境中对变量之间的关系进行探寻并顺利建模能够很好地培养学生的抽象与分析问题的能力.

3. 运用数形结合

数形结合这一数学思想在数学学科的各个知识领域都得到了很好的应用，数量关系和图形之间的互相转化能够帮助学生更好地挖掘出数学直观性与细微性的特征，这对于学生分析问题的敏锐性与解题效率来说是极有意义的. 事实上，函数的概念从数轴上的点与实数存在对应关系开始就已经存在了. 函数与方程的解以及不等式之间的紧密联系将函数的概念表现得更加明朗，因此，实数绝对值的意义以及一元一次不等式解集的几何表示都是函数图形与性质学习和研究的重要基础. “形”对于函数关系来说是一种特殊的表现方式，一次函数在“形”的表现上为一条直线，而二次函数则为一条有升有降的抛物线，反比例函数则是可以无限接近x轴与y轴的双曲线. “数”与“形”的结合使得函数学习与研究变得直观且能细致入微，学生在直观化的感受中还能形成更加直接的理性认识. 不过，教师在初中阶段的函数教学中对学生提出的要求也应该宽严有度，学生能够在图像、解析式与性质之间形成理解与转化就已经达成了新大纲在函数教学中所提出的要求.

4. 掌握待定系数法

教师在实际教学中首先应该引导学生对待定系数法的本质进行理解与感悟，然后再引导学生在函数的学习与解题中对公式法、配方法、待定系数法等基本数学方法进行应用与领悟，使学生在一次函数、二次函数、正反比例函数解析式的求解中对待定系数法的运用与价值产生深刻的理解与认知. 因此，教师在实际教学中应善于引导学生运用待定系数法来解决函数问题，使学生能够正确理解待定系数法本质的同时掌握其在各种不同类型函数问题中的应用.

比如，一次函数y=kx+b（k≠0），二次函数y=ax2+b（a≠0），正比例函数y=kx（k≠0，x，y可以是数或表达式），反比例函数y=1/2（k≠0），教师在具体教学中可以引导学生首先根据待定系数法的解题步骤写出对应函数的一般表达式，然后将自变量与因变量代入解析式，求出待定系数并以此建立方程或方程组. 比如“比较3x+5≥6与2x2+3≤6的大小”一题中就涉及了一次函数与二次函数的图像问题，教师应引导学生首先了解两函数的性质，然后引导学生根据函数图像直接得出x的取值范围并获得求解.

初中数学中的函数知识确实存在一定的难度，但如果能够运用正确的方法来应对也就不是特别困难了，因此，教师在实际教学中应善于引导学生掌握函数学习的方法并真正攻克函数知识的难点. 本文结合初中函数知识学习的难点分析了突破函数学习困境的有效方法，学生与教师在共同努力之下一定能够顺利地跨越函数学习与教学的障碍. 函数知识掌握越发牢固的学生一定能够在长期的积累与摸索中轻松应对函数具体问题的解决并获得更加系统的知识理解.