浅谈递推数列求通项的常用方法

李树逵

如果已知数列{an}的首项（或前几项，且任一项an与它的前一项an-1或前幾项）间的关系，可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式，用递推公式给出数列的方法叫做递推法，递推数列的重点，难点问题是求通项，求递推数列通项的方法较多，也比较灵活，常用的基本方法有累加法、累乘法、转化为等差等比数列，待定系数法等，主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。

一、形如an-1=an+f（n）可用累加法求通项。

例1：已知数列{an}满足a1=1。an+1=an+2n。求通项an。

解：由递推公式得：an-an-1=2（n-1），an-1-an-2=2（n-2）…………a3-a2=2×2。a2-a1=2×1

把上面（n-1）个等式相加。得an-a1=2[（n-1）+（n-2）+……+2n+1}=n（n-1）∵ an=n2-n+1

小结：一般地，若f（n）可解成常用的可求和的式子时运用此法

二、形如an+1=fnan即an+1an=fn其中fn不是常数，可用累乘法求通项。

例2. 已知数列{an}中，a1=1，an+1=nn+2an，求通项an。

解：由递推公式得：ann-1n+1an-1，an-1=n-2nan-2 an-2=n-3n-1an-3……a4=35a3， a3=24a2，a2=13a1，

把上面这（n-1）个等式相乘得an=2×1（n+1）na1=2n+1n，当n=1时，a1=1，适合a1=1，

∵通项an=2（n+1）n

小结：一般地，数列{an}满足an+1=f（n）an且f（n）是关于n的分式形式，可运用累乘法求通项。

三、形如an+1=pan+f（n）p为常数且p≠0.p≠1，可转化为等比数列，

（1）f（n）=q（q为常数）用待定系数法化为an+1+k=p（an+k）。得{an+k}是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

例3、已知数列{an}中a1=1，an+1=3an+2。求通项an。

解：设an+1+k=3（an+k），k=2+k3得k=1，原递推式可变为an+1+1=3an+1

∴{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公式的等比数列。

∴an+1=2·3n-1即an=2·3n-1-1

小结：一般地，对递推关系式an+1=pan+q（p、q为常数且p≠0，P≠1）可等价地写成{an+qp-1}成等比数列。

（2）f（n）为等比数列且p=q时。如f（n）=pn（P为常数）两边同除以pn+1得an+1pn+1=anpn+A的形式。

例4、已知在数列{an}中，an+1=2an+3·2n+1，且a1=2，则数列{an}的通项公式。

解：由an+1=2an+3·2n+1。除以2n+1得an+12n+1=an2n+3即an+12n+1-an2n+3。

即an+12n+1-an2n=3

∴数列{an2n}是一个以a12=1为首项，以公差为3的等差数列。

∴an2n=1+3n-1。即an=（3n-2）·2n

（3）f（n）为等比数列，且p≠q时，如f（n）=qn+1时。利用待定系数法，转化为an+1+qn+1=p（an-qn）的形式。

例5、已知数列{an}满足an+1=2an+3·5n，a1=6，求数列{an}的通项公式

解：由an+1=2an+3·5n两边加上5n+1得an+1+x5n+1=2（an+x5n）由待定系数x=3+5x2得：

x=-1，转化为an+1-5n+1=2（an+5n）

即：an+1-5n+1an-5n=2

∴数列{an-5n}是一个以a1-5=1为首项。2为公比的等比数列。

∴an-5n=1·2n+1即an=5n+2n-1

小结：（2）（3）两类型一定要看清an系数P与f（n）=qn+1中的常数p是否与q相等，两种类型是截然不同的方法。

四、形如an+1=panqan+rp，q，r均不为零，利用倒数法转化为等比数列求解

例6、在数列{an}中，a1=2，an+1=2anan+1，求通项an

解：由an+1=2anan+1，两边取倒数

得1an+1=12+12·1an即1an+1-1=121an-1

所以数列

1an-1是首项为1a1-1=-12，公比为12的等比数列，所以1an-1=12·12n-1故an=11-12n

五、形如an+1=ank（an﹥0，n∈N+，K为非零常数）用两边同时取常用对数，得lgan+1=klgan，构造等比数列{an}）求解

例7、在数列{an}中，a1=3且an+1=an2（n是正整数）求数列{an}的通项公式an

解：由题意知an>0，对等式an+1=an2两边取对数得

lgan+1=2lgan即lgan+1lgan=2

所以lgan=lga1·2n-1=lg32n-1即an=32n-1

六、形如an+2=pan+1+qan）p，q为常数，利用待定系数法转化等比数列求解