基于“四基”“四能”的教学设计

余庆纯

【摘要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》着重提出“四基”“四能”，为探索如何在课堂教学中落实“四基”、培育“四能”，以“直线与圆的位置关系”教学设计为例进行阐述.

【关键词】“四基”；“四能”；直线与圆的位置关系；教学设计

【基金项目】国家自然科学基金资助项目（No.11361027，No.11271040）；广东省自然科学基金资助项目（No.2014A030313625）；广东省教育厅省级重大项目（自然科学类）（No.2014KZDXM055）；五邑大学2016年省级（校级）研究生教育创新教育类项目（No.2016SFKS_40，YJS-SFKC-16-01）；广东省教学改革项目（编号：GDJX2016016）.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在总目标中指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（“四基”）；体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（“四能”）[1].

宋乃庆教授称：“‘四基是对‘双基的继承和超越，基本活动经验获得了与基础知识、基本技能、基本思想同等重要的地位，突出了新课程对能力性目标、过程性目标、情感性目标的重视，以及对学生应用意识、创新能力培养的目标指向.”[2]“四基”是相輔相成、和谐统一、螺旋递进的关系，是知识系统和经验系统的有机体[3].“四能”是在“两能”基础上，提出“培养学生发现和提出问题的能力”，这是创新的基础[2].如何在课堂教学中落实“四基”，培育“四能”？笔者以“直线与圆的位置关系”教学设计为例进行阐述.

一、教学分析与准备

（一）教材分析

“直线和圆的位置关系”选自人教版义务教育教科书九年级数学上册第24章第2节[4].本章以“圆”为主线，在学习“点与圆的位置关系”基础上进一步探究“直线与圆的位置关系”，同时也为高中“圆与圆的位置关系”做铺垫，起到承前启后的作用.直线与圆的位置关系的运用十分广泛，教材中以探究“太阳在地平线上升起的位置关系”的实例突出数学与生活紧密相连.

（二）学情分析

1.认知基础

初三学生好奇心和求知欲较强，已掌握了圆的有关性质、连接直线外一点到直线上各点的所有线段中垂线段最短等知识，经历了探究点与圆的位置关系的过程，掌握点与圆的位置关系的性质与判断方法.

2.认知困难

初三学生普遍缺乏用数学的眼光发现问题、用数学的思维提出问题的意识与能力，缺乏跨学科学习的体验.初步探究时，学生可能会对“直线与圆的位置关系”的分类标准产生困惑；在探究“圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系”和“直线与圆的几何位置关系”的联系时，学生可能会存在认知障碍.

（三）教学目标

1.知识与技能

了解直线与圆的位置关系[1]，理解“圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系”和“直线与圆的几何位置关系”的联系，掌握直线与圆的位置关系的性质和判断方法等基本知识，培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力.

2.过程与方法

通过学生熟悉的古诗和生活场景来引导学生自主探索，将“长河落日”的生活问题抽象成“直线与圆的位置关系”的数学问题，培养几何直观；进一步经历动手探究、类比归纳，积累“做数学”的基本技能和基本活动经验，渗透数形结合、分类讨论和类比的思想方法.

3.情感态度与价值观

激发学生学习数学的兴趣，培育多观察、多思考的学习习惯和理性精神，体会数学与其他学科、数学与生活之间的紧密联系，增强应用意识.

（四）教学重点与难点

重点：掌握直线与圆的位置关系的性质和判定方法.

难点：探究直线与圆的位置关系，掌握“圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系”和“直线与圆的几何位置关系”的联系.

（五）教学方法与用具

教学方法：引导探究法、启发式讲解法.

教学用具：圆形卡纸、白纸、直尺、PPT、几何画板.

二、教学过程设计

（一）创设情境、提出问题

通过引入八年级学过的唐代诗人王维《使至塞上》中“长河落日”的图片，回顾诗中描绘边塞壮美绮丽的自然意境.

师：同学们，在生活中见过落日的景色吗？能否将“长河落日”的生活场景转化成熟悉的数学几何图形呢？

生：将“长河”看成“一条直线”，将“落日”看成“一个圆”.

师：随着“落日”西下，“长河落日”的位置关系能转化成什么数学问题呢？你能提出相关的数学问题吗？

设计意图：通过创设情境，将生活问题转化为数学问题，生动形象，富有趣味性，激发学生学习的好奇心和求知欲；通过引导学生主动发现问题，积极提出问题，培养学生的几何直观，加强数学与其他学科、数学与生活之间的联系.

借助几何画板，模拟“长河落日”的动态变化过程，展示直线与圆的位置关系的变化.

师：直线与圆有几种位置关系？按照什么标准来进行分类呢？

设计意图：借助几何画板模拟“长河落日”，引导学生观察直线与圆的动态变化过程，激发学生学习兴趣和动手探究的求知欲.

（二）引入课题、学生探究

探究1：在白纸上用直尺画一条直线，移动圆形卡纸，探究直线与圆的位置关系.

探究2：固定圆形卡纸，在白纸上画出多条直线，探究直线与圆的位置关系.

在教师引导下学生们小组合作，对直线与圆的位置关系进行分类，并进行小组成果展示.

师：直线与圆有几种位置关系？按照什么标准来进行分类呢？

生：3种位置关系，按公共点的个数来分类.

师：不同位置关系分别有几个公共点？

生：分别有0个、1个、2个公共点.

师：如何给这样的分类“起名字”呢？

设计意图：通过动手探究、小组讨论，经历直线与圆的位置关系的分类过程，有助于培养学生多角度分析问题的能力，积累基本的数学活动经验；通过层层设问，加深学生对直线与圆的位置关系的本质认识，实现从感性认识到理性认识的转变，为后面的抽象概括做铺垫.

（三）抽象概括、讲解新知

直线与圆有三种位置关系[4]：

直线和圆没有公共点，称直线和圆相离.

直线和圆只有一个公共点，称直线和圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个点叫作切点.

直线和圆有两个公共点，称直线和圆相交，这条直线叫作圆的割线.

（四）数形结合、知识迁移

复习点与圆的位置关系及其判断方法，类比探究直线与圆的位置关系的判断方法.

师：判断点与圆的位置关系，可以转化成判断圆心到点的距离与圆的半径的大小关系.那么判断直线与圆的位置关系，可以转化成什么？

生：转化为圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系.

师：很好！如何描述圆心到直线的距离呢？

生：（思考）过圆心做直线的垂线，垂线段最短，垂线段的长度就是圆心到直线的距离.

设计意图：学生以“点和圆的位置关系”的判断方法为知识“生长点”，对“直线与圆的位置关系”的判断方法进行合情推理.然而如何刻画“圆心到直线的距离”，则需要教师引导学生回顾七年级数学中“连接直线外一点到直线上各点的所有线段中垂线段最短[5]”的知识点，从而认清该问题的本质.

教师引导学生小组合作、分类讨论.

师：设圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.在直线和圆的不同位置关系中，d与r有什么大小关系呢？

生：相离时，d>r；相切时，d=r；相交时，d

师：根据d与r的大小关系，反过来，能确定直线与圆的位置关系吗？

生：d>r时，直线与圆相离；d=r时，直线与圆相切；d

师生共同归纳，并板书判断直线与圆的位置关系的方法：

直线与圆相离d>r，

直线与圆相切d=r，

直线与圆相交d

設计意图：通过探究，实现几何位置关系与数量关系的相互转化，渗透数形结合、分类讨论、类比的数学思想方法.

（五）讲练结合、巩固新知

例1圆的直径为13 cm，若圆心到直线的距离d分别是：① 4.5 cm；② 6.5 cm；③ 8 cm.分别判断直线和圆的位置关系？有几个公共点？

变式1圆的直径为13 cm，若一直线和圆有两个公共点，求出圆心到直线的距离d的范围？

变式2在直角三角形ABC中，若∠A为直角，AB=12 cm，AC=5 cm.若以点A为圆心，判断下列半径为r的圆与BC所在直线的位置关系：① r=2 cm；② r=6013 cm；③ r=5 cm.

设计意图：基础题和变式题相结合，对圆心到直线的距离d、圆的半径r的不同角度进行变式练习，加强学生对新知的理解与应用，培养分析和解决问题的能力.

（六）课堂总结、布置作业

1.课堂总结，归纳填表

师：通过本节课的学习，同学们有什么收获？直线与圆的位置关系有哪些？判断直线与圆的位置关系，有什么方法？体现了什么数学思想方法？

2.布置作业

① （客观题）人教版九年级数学上册P101第1、2题[4].

② （开放题）直线与圆的位置关系在生活中有很多的实例（PPT展示）.在生活中，同学们找找类似的实例并对其位置关系进行判断，下节课一起分享.

设计意图：通过问题串，引导学生梳理整节课的知识点；布置客观题和开放题等不同类型的作业，巩固新知，培养学生的发散性思维，培育多观察、多思考的学习习惯，激发学生感受生活中数学之美，增强应用意识.

三、教学反思

本节课在创设问题情境中，运用学生熟悉的古诗和生活中落日的场景来引导学生思考，同时借助几何画板模拟“长河落日”，直观展示直线与圆的位置关系的动态变化，使得问题情境更有趣味性，激发学生的学习热情和求知欲，培养学生的发现和提出问题的能力.其次，通过引导学生动手探究、类比归纳，积累“做数学”的基本技能和基本活动经验，培养学生的分析和解决问题的能力，渗透数形结合、分类讨论和类比的思想方法.最后，布置作业时注重培养学生的发散性思维，一方面，以客观题巩固新知，更好地掌握直线与圆的位置关系的性质和判定方法等基础知识；一方面，以开放题呼应开头，激发学生感受生活中数学之美，增强应用意识.本堂课基于落实“四基”，培育“四能”的理念，在“双基”基础上突出基本思想、基本活动经验的积累，在“双能”之上注重对发现和提出问题能力的培育，突出数学知识之间、数学与其他学科、数学与生活之间的联系.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学，2011.

[2]唐彩斌，朱黎生，杨慧娟.“四基”“四能”给课程建设带来的影响——宋乃庆教授访谈录[J].小学数学（数学版），2012（z1）：11-13.

[3]曾峥，杨豫晖，武金艳.数学“四基”的研究现状及展望[J].数学教育学报，2017（2）：68.

[4]课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书

Wingdings^B@ 数学：九年级上册[M].北京：人民教育出版社，2014.

[5]课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书

Wingdings^B@ 数学：七年级下册[M].北京：人民教育出版社，2012.