一道课后题的推广分析

强谋　武海辉

【摘要】本文对教材一道经典隐式微分方程习题的三种推广进行分析.

【关键词】隐式微分方程

本文是对教材x（y′）3=1+y′隐式微分方程的三种推广分析，具体如下：

推广一把原方程的x变成mx，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成mx（y′）n=1+y′.（1）

分析方程（1）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.

解法一令y′=p，方程（1）可化为x=m-1（p-n+p-（n-1）），两边同时对y求导整理得dpdy=mpn-n-（n-1）p，

方程对于p来说是可分离变量方程，

故分离变量得-dy=dpn+（n-1）pmpn，

两边同时积分整理得y=nm（n-1）pn-1+n-1m（n-2）pn-2+c（其中c是任意常数）.

综上所述，方程（1）的通解为

x=m-1（p-n+p-（n-1）），y=nm（n-1）pn-1+n-1m（n-2）pn-2+c （其中c为任意常数）.

解法二令y′=t-1，代入原方程得x=m-1（tn+tn-1）.

由dy=y′dx可得

dy=1tnmtn-1+n-1mtn-2dt=nmtn-2+n-1mtn-3dt，

两边同时积分整理得y=nm（n-1）tn-1+n-1m（n-2）tn-2+c（其中c是任意常数）.

综上所述，方程（1）的通解为

x=m-1（tn+tn-1），y=nm（n-1）tn-1+n-1m（n-2）tn-2+c （其中c为任意常数）.

推广二把原方程的x变成xm，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成xm（y′）n=1+y′.（2）

分析方程（2）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.

解法一令y′=p，方程（2）可化为xm=p-n+p-（n-1），

两边同时对y求导整理得dpdy=mxm-1pn-n-（n-1）p，

方程对于p来说是可分离变量方程，

故分离变量得-dy=dpn+（n-1）pmxm-1pn，

两边同时积分整理得y=nmxm-1（n-1）pn-1+n-1mxm-1（n-2）pn-2+c（其中c是任意常数）.

综上所述，方程（2）的通解为

x=mp-n+p-（n-1），y=nmxm-1（n-1）pn-1+n-1mxm-1（n-2）pn-2+c

（其中c是任意常数）.

解法二令y′=t-1，代入原方程得xm=tn+tn-1，

由dy=y′dx，

dy=1tnmxm-1tn-1+n-1mxm-1tn-2dt

=nmxm-1tn-2+n-1mxm-1tn-3dt，

两边同时积分整理得

y=nmxm-1（n-1）tn-1+n-1mxm-1（n-2）tn-2+c（其中c为任意常数）.

综上所述，方程（2）的通解为

x=mtn+tn-1，y=nmxm-1（n-1）tn-1+n-1mxm-1（n-2）tn-2+c （其中c为任意常数）.

推广三把原方程的y′变成（y′）m，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成x（y′）n=1+（y′）m.（3）

分析方程（3）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.

解法一令y′=p，方程（3）可化为x=p-n+p-（n-m），

两边同时对y求导整理得dpdy=pn-n-（n-m）p，

方程对于p来说是可分离变量方程，

故分离变量得-dy=dpn+（n-m）ppn，

两边同时积分整理得y=n（n-1）pn-1+n-1（n-m-1）pn-m-1+c（其中c為任意常数）.

综上所述，方程（3）的通解为

x=p-n+p-（n-m），y=n（n-1）pn-1+n-1（n-m-1）pn-m-1+c （其中c为任意常数）.

解法二令y′=t-1，代入原方程得x=tn+tn-m，

由dy=y′dx得

dy=1t{ntn-1+（n-m）tn-m-1}dt={ntn-2+（n-m）tn-m-2}dt，

两边同时积分整理得y=nn-1tn-1+n-mn-m-1tn-m-1+c（其中c为任意常数）.

综上所述，方程（3）的通解为

x=tn+tn-m，y=nn-1tn-1+n-mn-m-1tn-m-1+c （其中c为任意常数）.

【参考文献】

[1]赵临龙，李必文，张明波.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.

[2]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]丁同仁，李承志.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.