Black—Scholes偏微分方程的求解与应用

郭连红

【摘要】本文用偏微分方程理论研究了Black-Scholes方程的求解问题.利用案例验证了所求解的结果.

【关键词】偏微分方程；Black-Scholes方程

一、引言

在金融市场中，经典Black-Scholes微分方程是基于标的资产不支付红利的假设下，标的资产的衍生性商品价格所满足的偏微分方程，即

Vt+12σ2S22Vs2+rSVs-rV=0，（1.1）

其中，r表示无风险利率，S为股票的价格（0≤S

方程（1.1）是刻画期权价格变化的偏微分方程，实际应用时，为确定在合约有效期[0，T]内期权的价值，本文在区域0≤t≤T，0≤S

Vt+12σ2S22Vs2+rSVs-rV=0，V|t=T=max（S-K；0）.（1.2）

从而得到欧式买入期权价格的B-S公式.

设V（s，t）为股价s在时间t的价格，B-S方程的两个边界条件：

V（0，t）=0，V（s，t）=max（S-K；0）.（1.3）

令S=Kex，t=2T-tσ2，V=KC（x，τ），其中K表示选择权到期时标的物品的履约价格.

定解问题（1.2）转化为常系数抛物方程的Cauchy问题：

Ct+122Cx2+（l-1）Cs+lC=0（-∞

l=2lσ2.

（1.4）

引理1.1[1]熱传导方程的Cauchy问题有形式解：

u（x，0）=∫RNΦ（x-y，t）g（y）dy，x∈RN，t>0，

其中，Φ（x，t）=14πtN2e-|x|24t，x∈RN，t>0；0，x∈RN，t<0 为热传导方程的基本解，证明见文献[1].

二、主要结论与证明

本文用偏微分方程理论得到如下定理.

定理2.1偏微分方程（1.4）在t∈（0，t）上有唯一解：

C（s，t）=SN（d1）-Ke-r（T-t）N（d2），

其中，d1=lnSK+r+σ22（T-t）σT-t，

d2=lnSK+r-σ22（T-t）σT-t.

证明做函数变换，令v（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t），α，β为待定系数，则

vτ=eαx+β（τ）u（x，t）u（x，τ）β+uτ，（2.1）

vx=eαx+β（τ）u（x，t）u（x，τ）α+ux，（2.2）

2vx2=eαx+β（τ）u（x，t）u（x，τ）α2+2αux+2ux2，（2.3）

其中，α=1-l2，β=-（l+1）24.

以上三式代入方程（1.4），化为热传导方程的Cauchy问题：

uτ-u2x2=0（-∞0），u（x，0）=max（e（l+1）x2-e（l-1）x2，0）=u0（x）.（2.4）

由引理1（N=1），偏微分方程（2.4）的解可用Possion公式表示为

u（x，τ）=12πτ∫+∞-∞u0（x）e-（x-s）24τds.（2.5）

做变换ξ=x-s2τ，以及初值代入式（2.5）得

u（x，τ）

=12π∫+∞-s2τe（l+1）（ξ2τ+s）2e-ξ22dξ-12π∫+∞-s2τe（l-1）（ξ2τ+s）2e-ξ22dξ

=e（l+1）x2+（l+1）2τ4N（d1）-e（l-1）x2+（l-1）2τ4N（d2），（2.6）

其中d1=x2τ+（l+1）2τ2，d2=x2τ+（l-1）2τ2， N（d）=12π∫d-∞e-x22ds为标准正态分布函数.

将式（2.6）代入v（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t），则

v（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t）=e-（l-1）x2-（l+1）2τ4u（x，τ）=exN（d1）-elτN（d2）.（2.7）

再由C=kv（x，τ），τ=σ2（T-t）2，x=lnSk，代入式（27）得C（x，τ）=eαx+β（τ）u（x，t）=kexN（d1）-kelτN（d2）=SN（d1）-ke-r（T-t）N（d2），（2.8）

其中d1=lnSk+r+σ22（T-t）σT-t，d2=lnSk+r-σ22（T-t）σT-t=d1-σT-t.（2.9）

三、案例分析

定理2.1中方程（1.4）的解即为不支付红利股票期权在到期日T执行价格K的欧式看涨期权价格公式.这为金融工作者提供了计算期权价值的理论依据.在具体应用时所需要的参数有：股票价格的波动率、无风险利率、距离到期的时间、行权价格和股票价格.这些参数中，后三个容易获取确定数值，前两个需一定计算得到其估值.

例工商银行（601398.CH）2013年10月8日市价为384元，无风险利率为6%，年波动率为15%，求工商银行行权价位3.6元，期限为半年的欧式认购期权与认沽期权价格.其中期限内不支付红利.

解S=3.84，k=3.6，τ=0.15，T=0.5，代入式（29）得d1=0.9444，d2=0.8383.

查标准正态分布表得

N（d1）=N（0.9444）≈0.8275，

N（d2）=N（0.8383）≈0.7991，

N（-d1）=1-N（d1）=0.1725，

N（-d2）=N（d2）=0.2009.

依据定理2.1，得工商银行股票欧式认购期权价格：

C=3.84×0.8725-3.6e-0.06×0.5×0.7991=0.386.

工商银行股票欧式认沽期权价格：

C=3.6e-0.06×0.5×0.2009-3.84×0.8725=0.0396.

上例表明，理论上该期权的合理价格是0.386元，如果该期权市场实际价格低于0.386元，那么意味着该期权被低估，在没有交易成本条件下，购买该看涨期权是有利可图的.通过代入B-S公式能够得到看涨期权价格，B-S模型的优点是模型中的变量除了波动率外，其他都可以直接得到，而且期权价格不依赖于投资者的风险偏好.因此，波动率的取值是关键，取值不同，得出的价格会有比较大的出入.B-S模型是最受欢迎的模型，是很多其他模型的基础.投资者应用的时候只需要考虑5个可观察的变量，但缺点是只能计算欧式期权，而且无法计算分派股息的期权.

【参考文献】

[1]L C Evans.Partial Differential Equations，Graduate Studies in Mathematics[J].American Mathematics Society，2002（1-2）：55-82.

[2]F Black，M S Scholes.The Pricing of Options and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy，1973（3）：637-654.

[3]闫海峰，刘三阳.广义 Black-Scholes模型期权定价新方法——保险精算方法[J].应用数学和力学，2003（7）：730-738.

[4]任智格，何朗，黄樟灿.一种无风险利率时变条件下的Black-Scholes期权定价模型[J].数学杂志，2015（1）：203-206.

[5]姜礼尚.期权定价的数学模型和方法：第2版[M].北京：高等教育出版社，2008.