活用数形结合思想求解含参问题

段福彪

【摘要】数形结合思想是高中常用的数学思想方法之一，它能使学生感受到数学之美妙及数形结合的直观形象，激发起学生探索的意识和创新欲望，突破思维的常规，使思路更简捷、明快.采用数形结合的思想来解决二次方程根的分布、求值域等问题更是如此，能培养学生思维的灵活性，拓宽学生的知识面.

【关键词】数形结合思想；根的分布；值域；不等式

一些数学问题，所给的是方程的根或者是函數的极值点等，若按常规思维来解，有难度，且运算过程繁杂，这时巧用数形结合，就能起到事半功倍之功效.下面就数形结合在二次方程根的分布、求值域、证明不等式中的应用举例如下.

一、在二次方程根的分布中的应用

例1设一元二次方程ax2-（3a+1）x+3=0的两根为x1，x2，且1

分析本题如果按常规解法，利用一元二次方程根的分布来解，需要考虑判别式、两根之和、两根之积的范围等问题，运算繁杂，而且要分类讨论.巧用数形结合，将方程问题转化为函数问题，观察函数图形问题便可轻松解得.

或

解设f（x）=ax2-（3a+1）x+3，因为10，af（2）<0-a2+a>0，-2a2+a<0， 解得：a12

因此，实数a的取值范围a12

解后反思：对于一元二次方程根的分布问题，当两根分布在两个区间上时只考虑区间端点的函数值与零的关系，而不考虑判别式和对称轴；当两根分布在一个区间上时应该从三方面考虑（1）考虑区间端点的函数值与零的关系；（2）考虑判别式；（3）考虑对称轴：可根据对称轴所在区间的位置写出等价式.另外当二次函数的二次项系数含有参数时，改为二次项系数乘根所在区间端点的函数值与零的关系问题，观察图像便可得出结论.

二、在求函数最值中的应用

例2已知函数f（x）=-x2+2x-3，对于任意实数t，探究f（x）在闭区间[t，t+1]上的最大（小）值.

分析本题属于二次函数中“轴定区间动”的问题.根据t的不同取值范围，数形结合，使区间[t，t+1]“处”在f（x）的不同区间上问题即可解决.

解法略.

三、在证明不等式中的应用

例3（2009年全国高考数学试卷理（Ⅰ）第22题）设函数f（x）=x3+3bx2+3cx有两个极值点x1，x2，且x1∈[-1，0]，x2∈[1，2].

（Ⅰ）求b，c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，c）的区域；

（Ⅱ）证明：-10≤f（x2）≤-12.

分析对于问题（Ⅰ），仍发挥数形结合的优势，便可知道导函数的两个根在区间上分布时满足的条件，b，c满足的线性约束条件轻松可得，问题便迎刃而解.

对于问题（Ⅱ），我们似乎无从下手.但仔细分析题目的条件就可知道，x2是原函数的极值点，就是导函数等于零的一个根，利用这个根满足的条件x2∈[1，2]，结合问题（Ⅰ）中数形结合得到c的范围就有柳暗花明的感觉，证明的问题也一蹴而就了.

解（Ⅰ）略.

（Ⅱ）由题设知f′（x2）=3x22+6bx2+3c=0，

故bx2=-12x22-12c，

于是f（x2）=x32+3bx22+3cx2=-12x32-3c2x2.

由于x2∈[1，2]，而由（Ⅰ）知c≤0，

故-4+3c≤f（x2）≤-12+32c.

又由（Ⅰ）知-2≤c≤0，

所以-10≤f（x2）≤-12，问题得证.

总之在解决函数中的问题时，采用数形结合的思想来思考会给我们带来意想不到的效果.尤其是可转化为一元二次方程根的分布问题，用数形结合更有居高临下“一览众山小”的感觉.

【参考文献】

[1]甘肃省教育科学研究所.学业质量模块测评·数学（必修1）[M].兰州：甘肃教育出版社，2011.

[2]薛金星.2009年全国及各省市高考试题全解[M].西安：陕西人民教育出版社，2009.