高等数学积分学中几点重要说明

赵晓艳

【摘要】本文主要是关于高等数学积分学中几点重要的几种特殊情况说明，首先我们介绍定积分和不定积分的区别和联系，包括定义、形式上的相同点、不同点，然后又介绍了定积分和不定积分积分方法的内在本质，重点举例说明了它们之间的不同点，对每一种积分方法分别举出典型例题，在例题中对定积分和不定积分的不同点进行了解释说明.接下来我们分析了广义积分的两大类型，对于每一种类型，我们都给出相应的计算公式，并详细阐述了每种方法的重点难点和解法步骤，不仅如此，我们对两类广义积分，给出了比较简单的计算公式，对于公式来历，也给出了详细说明.最后介绍了几种特殊积分的积分方法，使读者能对特殊积分有更深刻的了解和认识.最后又对本文做了小结.

【关键词】定积分；不定积分；广义积分，瑕积分；分部积分法；换元积分法

一、定积分和不定积分区别和联系

积分学主要包括定积分和不定积分，定积分和不定积分是相互统一的一个整体，即相互联系，有着本质相同的地方，同时又有很大的差别.

1.定积分和不定积分都是积分，积分学里的一些基本性质和基本积分方法都是相同的，即f（x）在不定积分中用什么方法，在定积分中也用此方法[1].比如，对于被积函数是反对幂指三任两类函数乘积求积分时用分部积分法，无论是定积分还是不定积分都是用此方法.也就是说无论是直接积分法还是换元积分法，也都是在不定积分中用什么方法，在定积分中同样用此方法.

2.定积分有积分上下限和积分区间，这是在形式上定积分和不定积分最大的不同，就因为这个区别，定积分有了几个自己的特别的性质，比如，积分区间可加性、比较性质、定积分几何意义、积分中值定理，估计定积分值等几个非常重要的性质.我们从定积分和不定积分计算公式上再看一下定积分和不定积分的差别.

∫f（x）dx=F（x）+C，∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a）.

从定积分和不定积分公式上看，定积分和不定积分不同之处在于积分结果意义不同，定积分在几何意义上表示所围曲边梯形的面积或者所围曲边梯形面积的相反数.因此，定积分计算结果是一个确定常数.但是不定积分计算结果是一个函数.

3.在积分方法上定积分和不定积分不同的区别说明：直接积分法这里不再赘述，被积函数经过简单变形，即可直接利用公式求出结果.换元积分法中第一换元积分法[2]我们建议读者在运用时候采用“心里”设u，但是不写出来的方法，这样在定积分中，就可以不用换上下限，这样就能减少做题步骤，也能减少做题失误率.接下来我们来看定积分∫10（3x-1）5dx，我们还是设3x-1为u，∫10（3x-1）5dx=13∫10（3x-1）5d（3x-1）=118（3x-1）610=329-118=72.因此，在凑微分法时，利用此方法使定积分计算省了很多步骤.但是在第二换元积分法时，定积分中必须要换元，在换元过程中，必须还要遵守‘换元必换限，在换限时，还要注意‘上限对上限，下限对下限的原则.下面我们来举例说明此方法在定积分中的应用.例如，∫8011+3xdx，被积函数符合第二换元积分法中的去根号法.设3x=t，则x=t3，dx=dt3=3t2dt，当x=0时，t=0，

当x=8时，t=2（新的积分下限0是通过假设中等式中老的积分下限0计算出来的，新的积分下限2是通过假设中等式中老的积分下限8计算出来的）.下面给出计算过程：

∫8011+3xdx=∫203t21+tdt=3∫20t2-1+11+tdt

=3∫20t-1+11+tdt

=3t22-t+ln（1+t）20=ln3，

对于不定积分∫11+3xdx，的根式代换，因为没有上下限，最后积分结果含有t，然后把假设3x=t代入最后结果，也就是积分结果是含有x的函数.在分部积分法中，我们给出不定积分和定积分的分部积分公式∫udv=uv-∫vdu和∫baudv=uvba-∫bavdu[3]，从此两个公式可以看出，不定积分和定积分在分部积分计算中无论是前提条件还是选u原则都是一样的，就是公式稍有不同.这里就不再举例.

二、广义积分的几点说明

广义积分就是推广意义上的积分，和普通类型积分在积分上稍有不同，分为无穷限广义积分和无界函数广义积分，无穷限广义积分即积分区间里有无穷的情形，显而易见，要么是积分下限无穷限，要么是积分上限无穷限，要么就是上下限均是无穷.对于无界函数广义积分，我们高等数学上还有另外一个名字称为“瑕积分”，无界点就是瑕点.

1.对于无穷限广义积分来说，根据上面的介绍，可以分为三大类：∫b-∞f（x）dx，∫+∞af（x）dx，∫+∞-∞f（x）dx，对于此三种类型，我们分别会给出计算公式，并且会给出两种计算方法，我们拿∫b-∞f（x）dx来说，先给出第一种计算公式，∫b-∞f（x）dx=

lima→-∞∫baf（x）dx，當极限存在，广义积分收敛，当极限不存在，广义积分发散.还有另一种计算公式，即 ∫b-∞f（x）dx=F（x）b-∞=F（b）-F（-∞）.F（-∞）表示当x→-∞时，F（x）的极限值.我们给出一道例题解释两种计算方法的差别.读者可以依照此方法来解决∫+∞af（x）dx和∫+∞-∞f（x）dx，

2.下面我们来探讨无界函数广义积分.当limx→af（x）=+∞，我们称f（x）在x=a无界.

无界函数广义积分分为积分下限a无界，积分上限b无界和无界点在积分区间中间某一点三种情况.对于积分下限a无界，我们可以把[a，b]左端点a挖去，取ε>0，让左端点a向右移动ε单位，新的积分区间为[a+ε，b]，在此积分区间里没有无界的点，因此，可按普通函数积分，然后让ε→0取极限即可.同理对于积分上限b无界的情况，我们可以把[a，b]右端点b挖去，取ε>0，让右端点b向左移动ε单位，新的积分区间为[a，b-ε].当无界点在积分区间中某点时，我们可以像挖去一块白玉中间一点瑕疵一样，先把这个瑕点“露”出来，我们采用从瑕点处把积分区间分开，利用积分区间可加性把原积分分为两个积分，这两个积分分别是上面那两种情况，然后分别利用相应公式求出极限，进而得到积分值或者积分发散的情况[4].我们对此举例，∫1-11x4dx.此题中，[-1，1]区间中0为瑕点，利用积分区间可加性，分为[-1，0]和[0，1]将瑕点0露出，然后再用上述公式求出极限.

∫1-11x4dx=∫0-11x4dx+∫101x4dx

=limε→0∫-ε-11x4dx+limε→0∫1ε1x4dx

=limε→0-13x-3-ε-1+limε→0-13x-31ε

=limε→0-13（-ε-3+1）+limε→0-13（1-ε-3）

=-13+-13=-23.

因此，广义积分收敛于-23.通过此积分，我们把瑕积分的积分方法进行了总结，使读者对瑕积分有了更深刻的认识.

三、几种特殊积分解法解析

在积分运算中，有几个特别重要的积分类型，积分方法比较特别，因此，接下来我们一一介绍.

例如，∫excosxdx，对于此积分，看似符合分部积分条件，因此，按照分部积分积分方法做下去：做法如下：∫excosxdx=∫exd（sinx）=exsinx-∫sinxd（ex）=exsinx-∫exsinxdx.

我们发现，用了一次分部积分后，发现积分∫exsinxdx并没有比原积分∫excosxdx简单.因此，我们对∫exsinxdx再用一次分部积分，∫exsinxdx=∫exd（-cosx）然后我們代入分部积分公式，∫exsinxdx=∫exd（-cosx）=-excosx+∫cosxd（ex）

=-excosx+∫excosxdx.将此积分结果代入式，∫excosxdx=exsinx-（-excosx+∫excosxdx），看似此积分好像循环往复，其实只要移向，即可得到结果.2∫excosxdx=exsinx+excosx，两边同除系数2，可得∫excosxdx=exsinx+excosx2.类似积分，比如，∫exsinxdx，也是同样用此方法才可以求出积分结果[5].

四、小结

积分学是高等数学中的重点，也是难点，和导数有着紧密的联系，对于普通类型的积分，运用合适的积分方法即可得到积分结果，但是对于积分学中一些特别要注意的要点有必要详细解释说明，特别是对于一些特殊类型的积分，需要和读者一起探讨.本文主要是关于高等数学积分学中几点重要的几种特殊情况说明，首先我们介绍定积分和不定积分的区别和联系，然后又介绍了定积分和不定积分积分方法的内在本质，重点举例说明了他们之间的不同点.接下来我们分析了广义积分的两大类型，我们对两类广义积分，给出了比较简单的计算公式.最后介绍了几种特殊积分的积分方法，使读者能对特殊积分有更深刻的了解和认识.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2011：160.

[2]李成章，黄玉民.数学分析[M].北京：科学出版社，2017：190.

[3]刘忠东.高等数学[M].重庆：重庆大学出版社，2015：186.

[4]同济大学应用数学系.高等数学习题集[M].北京：高等教育出版社，2003：126.

[5]上海大学理学院数学系.高等数学[M].上海：上海大学出版社，2006：98.