基于数学模型的“微专题”设计——以不等式模型≤ln（x+1）≤x为例

☉江苏省常熟市中学 宗 蕾

相对于综合性强、覆盖面广的“大专题”教学而言，微专题教学具有“因微而准、因微而细、因微而深”的优势.微专题教学把知识难点分解成一个个独立的问题集，从而在课堂教学中帮助学生集中火力突破难点、拓展思维，能起到“见微知著”.促进学生深度学习的效果.正如教学设计是决定课堂教学成效的关键因素，“微专题”的设计也决定了微专题教学的成败.“微专题”设计是指教师针对某一具体知识点、能力点、易错点或检测点，从其涉及的基本概念、基本原理或基本方法入手，精选例题和习题，编制、设计成能够在一定课时内完成的专题（教学任务）.有效的微专题设计，离不开一定的数学模型.可以说，微专题的设计就是数学模型的选择到数学模型的分析、应用、拓展的过程.因此，微专题的设计一般需要遵循以下几个步骤.

一、选择适合的数学模型

数学模型是利用数学语言模拟现实的模型，即把某种事物的主要特征和关系抽象出来，用数学语言概括的一种数学结构.G·波利亚指出：“良好的组织结构使得所提供的知识容易应用，这甚至可能比知识更为重要.”数学模型就是结构化的知识，指引着问题解决的路径.可以说，缺少数学模型这一“中间环节”，数学试题与解题目标就会隔着难以逾越的障碍.在微专题的设计中，首要就是选择适合的数学模型，选择的数学模型需要符合四个特征：工具性、适应性、可变化性、可延展性.

例1 （2018年浙江第10题）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（ ）.

A.a1＜a3，a2＜a4B.a1＞a3，a2＜a4

C.a1＜a3，a2＞a4D.a1＞a3，a2＞a4

该题需要设公比为q，由a1-a3=a1（1-q2），a2-a4=a1q（1-q2），不难看出，此题就是判断公比q的取值范围，其中选项A对应q∈（1，+∞），选项B对应q∈（-1，0），选项C对应q∈（-∞，-1），选项D对应q∈（0，1），由此可见，解决本题的关键是转化为一个关于公比q的方程，并判断其解的范围.

解析：由a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）≤a1+a2+a3-1（不等式放缩依据：lnx≤x-1），得a4≤-1，可得公比q＜0.

若q≤-1，则a1+a2+a3+a4=a1（1+q+q2+q3）=a1（1+q）（1+q2）≤0，而ln（a1+a2+a3）=ln［a1（1+q+q2）］≥lna1＞0，矛盾.

故有q∈（-1，0），选B.

例2（2018年全国卷Ⅲ理第21题）已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）-2x.若a=0，证明：当-1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0.

又f′（0）=0，得f（x）单调性，从而得证.

上述不等式模型就是经过高度抽象后的结构化知识，基于不等式模型的重要地位，可以此为核心进行微专题设计.通过对不等式模型及典型问题的分析，总结出一般的规律、方法或者技巧，优化学生的知识结构，强化学生的思维方法，提升学生的解题能力，从而提高学生的数学学科素养.

二、追溯数学模型的本源

每个数学模型都有其来源.带来学生深入挖掘数学模型的来源，是“微专题”设计的重要环节.追溯数学模型的本源，利于提高学生的学习兴趣，培育学生科学精神和探究意识，特别是学生从数学模型的形成过程中掌握了其背后蕴含的数学原理，这是学生深度学习的重要基础.带领学生追溯数学模型的本源也利于培养学生形成“从已有经验出发，将实际问题抽象为数学模型并进行解释与应用，进而获得数学理解”的模型思想.在“微专题”设计中呈现数学模型的本源探究，可以突出三个方面：

1.追溯数学模型的原型

2.模拟数学模型形成情境

模拟呈现数学模型形成时的情境，可以使学生“代入”到相应的境域，形成“专家型”的思考，从而“发现”知识和规律.在这里，教师设计有梯度的问题是关键.

问题1：假设小明在银行里存1块钱，银行的年利率是100%.

（1）请问一年后，“本金+利息”小明共能得到多少钱？

（2）若小明1块钱存半年，取出再存进去，一年后小明能得到多少钱？

（3）若小明1块钱每1个月存取一次，一年后小明能得到多少钱？

（4）若小明1块钱每天存取一次，一年后小明能得到多少钱？

意图：通过此问题了解“复利”的概念，通过运算引导学生发现复利的变化规律：本利和的多寡，由计息周期而定，以一年来说，可以一年只计息一次，也可以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次.当然计息周期愈短，本利和就会愈高.

问题2：如果计息周期无限制地缩短，比如说每分钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间（理论上来说），会发生什么状况？本利和会无限制地加大吗？

意图：通过计算器验证，发现最后的本利和趋向于2.718 28……于是得到一般化的结论

3.推导数学模型的结论

让学生尝试推导出数学模型，学生在得到结论的同时能够获得巨大的成就感，不仅初步获得了数学建模的方法，更重要的是通过数学的方法获得了新知，打开了一扇通往广阔世界的大门.

构造函数f（x）=ln（x+1）-x，利用导数容易得到ln（x+1）-x≤0恒成立，即ln（1+x）≤x成立.

在ln（1+x）≤x的基础上，把x用x-1代入，得到lnx≤x-1，把x用代入，得到ln，经过变形得到，再把x用x+1代入，于是就得到

三、模型应用及变式技巧

数学模型是为解决数学问题服务的.在“微专题”设计中，教师需要立足学生的经验背景、知识水平、理解程度，立足知识之间的联系设计数学模型的应用例题，让学生在例题的思考与解答中体会模型的应用方法与应用技巧，加深对数学模型的理解.首先，设计的例题要具有代表性，能够直接体现数学模型应用的一般规则.其次，例题要具有层次性，由易到难，由一般应用到复杂应用逐层展开.再次，例题需要体现一定的认知冲突性，利用学生思维与例题要求的差异，碰撞出思维的火花，在认知冲突中加深反思，明了方向.

例4已知函数f（x）=alnx-ax-3（a≠0）.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）+（a+1）x+4-e≤0对任意x∈［e，e2］恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；

（3）求证：ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn！（n≥2，n∈N*）.

解析：（1）（2）略.

（3）证明：由（1）知，f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，所以当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），

即-lnx+x-1＞0，所以lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立.

因为n≥2，n∈N*，

本题是数学模型应用的较高层次，同时又有一定的变化，与学生原有思维间存在着一定的认知冲突.学生要先利用行裂项.教师通过此例题可以更好地发展学生灵活运用数学模型的能力.

四、数学模型的延伸研究

对数学模型的理解和应用不应闭门造车，教师应该充分发挥数学模型“知识联系桥梁”的特性进行适度地拓展延伸.对数学模型除了溯源之外，还需“登高”.教师对数学模型的延伸研究也是教师的一个再发现、再创造的过程.在“微专题”设计中，教师通过对数学模型的深入研究，深刻把握问题的实质，不断拓展数学模型的外延，使学生对数学知识的本质有着更深刻的理解，达到触类旁通、触碰问题本质的目的，从而扫除解决问题的障碍.

例5 （2017年浙江第22题）已知数列{xn}满足：x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈N*）.证明：当n∈N*时，

证明：（1）略.

总之，从系统思想的角度看，“微专题”是“大专题”的一个有机补充，在促进学生深度理解数学知识、提升解题能力、培养数学素养方面起着重要的作用.通过科学选择数学模型、追溯数学模型的本真、应用拓展数学模型，提升“微专题”设计的整体水平，从而促进学生对基础知识的复习巩固，促进学生基本技能的提升，帮助学生建立起系统的认知，强化学生深度学习的能力.