立足函数知识，提升核心能力——以“指数函数”的教学为例

☉广东省广州市花都区圆玄中学 罗莉萍

指数函数是高中数学的重点知识，虽然它是高中阶段较为初等的函数，但其知识内容和探究方法对于之后的函数学习有着借鉴作用，并且直接影响到学生后续知识的学习.因此，对于该部分知识的教学需要进行针对性的编排，力求使学生获得知识和能力的双重提升.

一、揭示函数内涵，关注函数表达式

理解指数函数的概念是学习指数函数相关知识的基础.因此，在课堂教学中应注重对指数函数概念的讲解，以揭示函数的内涵作为教学的重点内容，力求帮助学生深刻理解函数概念，而对于函数概念的揭示可以从表达式的表征以及底数取值两方面来进行.

指数函数的概念是对生活问题的抽象，其本质是对生活问题中两变量关系的反映，而表达式是对变量的赋值与关系构建.需要注意的是，虽然生活中有众多的问题与指数函数相关，但其变量关系并不完全能用指数函数来表征，教学中需要向学生阐明.最为典型的例子是银行本利与期数关系，虽然因变量（本利）随自变量（期数）成倍增长，其变化规律可以用指数型函数y=kax来呈现，但是只有当k=1时，其形式上才可以被认定为指数函数，这也是数学上关于指数函数的定义.另外，对于指数函数的底，教材中将指数函数y=ax（a＞0，a≠1）中的字母a认定为底，学生很容易形成记忆的格式化，需要点出对于y=a2x（a＞0，a≠1）型函数，其底数为a2，让学生不仅从形式上认识函数表达式，还能理解其深层含义.

学习指数函数的概念，不仅需要认识其表达式的形式，还需要进一步探究底数a的取值范围，可以结合之前所学的关于指数幂的知识，将指数的范围取值同样扩展到实数集上，为后续定义域的学习奠定基础.在实际教学中可以引导学生从a＜0、a=0和a=1三种情形来讨论，让学生充分理解上述取值的无意义性，从而深刻理解指数函数底的取值限制.

二、体验探究过程，发展逻辑思维

指数函数是中学数学较为重要的内容，其重要性不仅体现在高考对其考查要求上，还体现在内容的探究性上，其探究性是后续相关函数学习的基础，也是培养学生数学逻辑思维的关键.因此，对于指数函数教学需要创设多样的环节，让学生体验知识的探究过程.

指数函数教学需要学生掌握函数探究的方式，教学中可以设计“情景解读—概念抽象—图像构建—性质探析—结论归纳”的探究环节，引导学生亲身体验知识从抽象到结论形成的探究过程.在情景解读阶段，需要教师基于指数函数创设具有现实意义的生活问题，可以引入故事，也可以引入名言，如《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，让学生写出木棰的剩余量y关于取的次数x的函数关系，感受概念的初始形成.而在概念的抽象阶段，除了要让学生充分理解概念内容外，还需要设置相关问题，让学生辨析概念，从内容形式、规定条件、适用范围等多方面理解概念.而在概念定义学习之后，可以让学生思考函数图像的绘制方式，然后结合具体函数图像来进一步思考函数的性质，如展示y=4x、y=3x的函数图像，类比之前学习二次函数、反比例函数的方法来分析函数性质，学生很容易就可以考虑到应从函数定义域、值域、单调性等方面来学习，让学生充分观察、合理联想，引导过程需要注意采用数形结合的方式.最后的结论归纳阶段，让学生思考如何验证归纳的性质，如指数函数图像必过定点（0，1），可以让学生从反证、图像分析的角度来思考，通过这样的环节来培养学生的严谨思维，获得知识探究的一般方法.

合理设计探究环节，让学生充分体验知识探究的过程，不仅可以让学生深刻理解函数的重点知识，在这个过程中，由于学生需要思考的内容很多，如问题中抽象概念、绘制函数图像、观察图像、归纳性质、结合数学方法验证猜想等，这是一个严谨的思维过程，因此还可以充分发展学生的逻辑思维和数学的推理能力，使学生逐步掌握科学的研究方法.

三、强调基础运算，学习数据分析

函数知识的学习离不开最为基础的运算和对数值的分析，具体体现在对函数图像分析和性质探究上.上述的探究过程需要结合数值计算来绘制函数图像，并结合具体数据变化来分析函数的变化趋势，因此可以说基础运算对于研究函数的概念和性质起到了推动作用.

例如在对函数的性质探究时，可以结合具体函数来推导变化趋势，要求学生根据指数函数来计算变量数值，并填写下表：

表1 指数函数y=2x和y= （ ）x

表1 指数函数y=2x和y= （ ）x

x …-3-2-10123…y=2x … …y= 1 2（）x

依据表格的变量数值，引导学生分析函数的增减性，以及两函数在数值上的对称性.该过程中需要给予学生充足的时间，从函数简单的运算入手，逐步依托研究函数的方法来进行数值的运算推理，从而发现其中潜含的规律，基础运算与数值分析的充分结合是探究函数性质的关键方法，基于数值的推理能充分培养学生的数学运算和推理能力，这对于学生的长远发展是十分有利的.教学阶段同样需要渗透一般化思想，尤其是对于性质的探究过程，需要指导学生根据几个具体函数来绘制图像，结合具体图像来观察共同特征，从而总结指数函数性质.探究过程可以设置具有引导性的问题，如：观察函数的图像，从变化趋势、定义域和值域范围、所过定点来总结这类函数的共同特征，在“具体函数式—对应函数图像—共同特征”的探究模式中渗透数学的特殊到一般的思想.

另外，函数是具有“数”与“形”两方面内容的知识，两者相辅相成，共同完成了对函数的数量关系和图形特征的表征.对于指数函数的学习需要从符号、数量、图像三方面来进行，在教学中需要借助数形结合的研究方法来开展，尤其是对于指数函数底数a的讨论需要依托数形结合思想.可以让学生结合具体问题，绘制函数，直观的图像来分析a的取值对于图像变化的影响，如图1，数形结合的方式帮助学生突破教学内容的重难点.而在习题课教学中也应该设置数形结合的习题，让学生结合直观的函数图像来解题，深刻感受数形结合解题的便利性.

图1

四、渗透思想方法，提升数学思想

对于指数函数的讲解，除了需要重点讲授核心知识，还需要充分渗透数学的思想方法.教学中需要以函数知识为载体，让学生在数学实践中深入认识知识本质，理解知识研究的思想方法，将其内化为自身的认知.对于指数函数的教学，需要在课堂中渗透模型思想、特殊到一般、数形结合思想.

在概念的生成阶段，需要学生从问题中抽象数学模型，这其中必然涉及到数学的建模方式，在讲解过程中就可以渗透模型思想，可以从问题的自变量和因变量入手，构建变量关系，形成数学表达式，自主构建的过程就是对模型思想的充分体现.

数学上的“特殊到一般”是一种具体问题过渡到大范围，使其成为普遍适用结论的过程.指数函数的教学中该思想应该在两个阶段来渗透：一是函数概念构建时，需要教师依托实际问题，如以GDP增长为背景的指数函数y=1.089x、以碳14科学研究为背景的指数函数让学生思考函数在结构上的共同特征，从中获得指数函数的一般形式，并对其底数的取值范围展开分析，获得具有一般性的限制.该过程中需要渗透“由特殊到一般”的数学思想，这样的教学方式不仅符合学生的认识规律，同时也是对学生学习方法的指导.而在函数性质的

五、结束语

在指数函数教学中要充分揭示内涵，使学生掌握函数表达式的核心内容；让学生体验函数知识的探究过程，逐步培养学生的逻辑思维；重视探究过程的基础运算，提升学生的推理能力；在知识的讲解中合理渗透思想方法，以提升学生的数学思想为最终目的.每一次数学的探究过程，都是培养学生数学素养的重要机会，要在教学中优化设计，使学生的能力获得长远发展.