核心素养巧引领，直观想象妙应用*

☉江西省赣州中学 谢小翔

直观想象是高中阶段数学核心素养的一大主要内容，也是数学教学与学习过程中必备的技巧技能，借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题.直观想象主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

一、根据直观想象寻求答案的快速突破

在解决一些相关的集合的关系、函数的基本性质、函数与方程、函数与不等式关系、三角函数、平面向量、空间线面关系的判定等问题时，可以借助画图，利用直观想象，直接来判断结果，特别对于此类问题的选择题或填空题时，效果更为明显.

例1 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（ ）.

A.l1⊥l4

B.l1∥l4

C.l1与l4既不垂直也不平行

D.l1与l4的位置关系不确定

分析：直接判断空间直线间的位置关系比较难下手，而通过题目条件以正方体为问题背景，利用直观想象结合正方体中相关的棱之间的关系来处理，直观有效，简单易懂.

解析：根据直观想象，如图1所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

图1

设直线BB1是直线l1，直线BC是直线l2，直线AB是直线l3，则直线DD1是直线l4，l1∥l4；

设直线BB1是直线l1，直线BC是直线l2，直线CC1是直线l3，直线CD是直线l4，则l1⊥l4；则知l1与l4的位置关系不确定.故选D.

点评：抓住条件：空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4， 直接给出空间中正方体这一直观的几何背景，从而加以直观观察，将语言叙述转化为直观模型，以达到直接处理的目的.通过立体几何中的相关数学语言的转化，转化为空间几何体的模型来处理，结合相互之间的关系，达到求解的目的.

二、根据直观想象确定参数的取值范围

在解决一些相关的集合关系、函数图像平移变换、函数与不等式等相关问题时，可以借助画图，利用直观想象，结合直观图形来确定参数之间的关系、不等式之间的大小关系等，通过图形来确定关系，为进一步的求解奠定基础.

分析：根据直线与曲线所表示的几何图形，画出相应的曲线加以直观想象，数形结合.解此类题要注意端点临界值.

解析：y=x-m表示倾斜角为45°，纵截距为-m的直线，

图2

点评：借助函数的图像作出相应的曲线，利用直观想象，通过数形结合将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解.这也是解决一些大小关系、参数的取值范围问题中经常会用到的一类技巧方法.

三、根据直观想象寻找图像的极端位置

在解决一些平面解析几何或空间立体几何的最值问题时，往往可以借助平面几何图形或空间立体图形，通过直观想象结合图像中相关点、线、面的变化规律并根据题目条件来确定满足条件的极端位置，为解决问题提供动态过程.

例3 （2015·浙江理·8）如图3，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′—CD—B的平面角为α，则（ ）.

图3

A.∠A′DB≤α B.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤α D.∠A′CB≥α

分析：借助立体几何图形，以动制静，通过直观想象，利用直线CD翻折角度的大小变化极限思维来分析两个极端情况下对应的角度情况，寻找极端位置，从而得以快捷判断.

解析：取极端思维：翻折前，此时沿直线CD翻折→0°，此时α→180°，可得∠A′CB＜α，排除D.

翻折后，此时沿直线CD翻折→180°，此时α→0°，可得∠A′CB≥α，排除选项C；而此时∠A′DB≥0°，当且仅当AC=BC时，∠A′DB=0°，排除A.

故选B.

点评：借助立体几何图形，结合直观想象，运用运动观点、极限的思想去观察、分析、处理问题，寻找立体几何图形中的极端位置，并结合此极端位置确定空间线面的位置关系、空间距离或空间角问题，可收到意想不到的效果.

四、根据直观想象提供问题的解决条件

在处理一些相关问题时，如几何概型的求解、函数的零点与方程的关系、平面几何、空间几何体的三视图等相关问题，往往要作出相关的图形，结合对应的图形，通过直观想象结合图形的特征性质来分析与求解问题，为问题的解决提供条件.

例4 已知x1、x2分别是方程lgx=3-x和方程10x=3-x的一个根，则x1+x2=（ ）.

分析：直接根据题目条件中两个方程分别求解x1、x2的值难度非常大，也无从下手.而结合函数与方程的转化，通过直观作图，结合直观想象，利用图像的交点来解决就比较自然且易处理.

解析：令函数f（x）=lgx，函数g（x）=10x，函数y=3-x，作出相应函数对应的图像，如图4.

根据条件可知，x1就是函数f（x）=lgx与直线y=3-x的图像的交点的横坐标，x2就是函数g（x）=10x与直线y=3-x的图像的交点的横坐标.

又因为函数f（x）=lgx与g（x）=10x的图像关于直线y=x对称，直线y=3-x也关于直线y=x对称，且直线y=3-x与前面两个函数的图像都只有一个交点，

从而这两个交点关于直线y=x对称，

图4

所以根据中点的坐标公式可得x1+x2=3，故选B.

点评：利用图像研究方程的根一般都是针对不需要或不能将根求出的题型，其基本思想是将判断方程的根的个数问题转化为判断两个函数图像的交点的个数问题.而本题利用对数函数与指数函数互为反函数，其特征是对应的图像关于直线y=x对称，通过直观想象，为解决问题提供条件，富有创新意识.

巧妙运用直观想象，“以形助数”可以用来解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果.根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化并利用直观想象来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学核心素养中心之一，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.F