构建关于直线斜率的一元二次方程解题

☉湖北省襄州一中 李继武

设圆锥曲线C截直线G得到的弦为AB，点P（x0，y0）是直线AB外一点.直线G的方程为y=mx+t，直线PA和PB的斜率分别为k1，k2.我们常常遇到的一个问题是：已知k1，k2的积，或者和为某一个常数（例如-1，0），或者直线PA与PB的夹角大小一定，求解直线AB中参数m与t应满足的条件，以进行相关计算及证明.一般设A（x1，y1），B（x2，y2）求解.本文介绍不设A，B坐标，而设直线PA的斜率为k，其方程为y-y0=k（x-x0）. 将其与直线G：y=mx+t的交点A）坐标（*），代入圆锥曲线方程，整理为关于斜率k的一元二次方程.这里对于不同的k值，k1和k2的几何意义就是PA和PB的斜率，而坐标（*）就是A点和B点坐标.根据题目中k1与k2的和或积的条件，用韦达定理得出参数m，t满足的关系式，继而求解其他问题.

（1）当L与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

（2）设直线L：x-1=my，直线G：y=k（x-2）.二者交点，坐标代入椭圆方程得.整理为关于k的方程得2（1+m2）k2-1=0.所以k1+k2=0，即kMA=-kMB，直线MA与MB的倾角互补，又因F（1，0）是X轴上的点，显然A,B两点分别在X轴的上下两侧，故∠OMA=∠OMB.

例2 已知圆的方程x2+y2=4和点P（1，0）.直角三角形PAB的两顶点A，B在圆上，求斜边AB中点的轨迹方程.

解：设直线L：y=k（x-1），直线G：y=mx+t（t≠0）.两直线交点，将其坐标代入圆的方程，并整理为［（m+t）2-3］k2+（2t+8m）k-4m2+t2=0.这是关于k的一元二次方程.因为PA与PB垂直，所以k1k2=-1.故（m+t）2-3=4m2-t2，即3m2-2mt-2t2+3=0.① 联立方程x2+y2=4和y=mx+t，得方程（1+m2）x2+2mtx+t2-4=0.设线段AB的中点为M（x，y），则x=（t≠0）. ② 代入①式消去参数得3（x2+y2）-2（x2+y2）2+2x（x2+y2）=0，因为t≠0，所以x2+y2≠0，故得3-2（x2+y2）+2x=0，即；当AB与x轴垂直时，设直线AB方程为x=x0，和直线L的方程：y=k（x-1）联立求得交点（x0，k（x0-1）），将其坐标代入圆的方程得（x0-1）2k2+x02-4=0，由k1k2=-1得2x02-2x0-3=0，解当PA或PB无斜率时，求得斜边中点以上六点全部在椭圆上.故所求点的轨迹方程为

【注】以上两例中，P点都不在圆锥曲线C上，而点A（*）坐标代入了曲线C方程，A在曲线C上，所以P点不可能与A点重合；但例3，例4是P点在曲线C上，有可能P点和点A（*）重合.因A点坐标（*）为，故当且仅当y0=mx0+t（即直线L过点P）时，A，B点都与P点重合.这时应该有目的地分解出增解的式子y0-mx0-t，舍掉y0-mx0-t=0后再进行运算.

例3 已知P（1，-1）是抛物线y2=x上的一点，AB是过点N（2，0）的抛物线的弦，且PA⊥PB.求直线AB的方程.

解：设过P点的直线L：y=k（x-1）-1（k≠0），过N点的 直 线 G：x-2=my，（m ≠0） 将 二 者 交 点 坐 标）代入抛物线方程得：

k（21-m2）-（m2-3m+2）k+m-1=0.

因k1k2=-1，所以1-m2=1-m，（1+m）（1-m）=1-m舍去直线G过P（1，-1）时的增解m=1，得m=0.即直线AB的方程是x=2.

（1+4m2）x2+8mtx+4（t2-1）=0.所以所求轨迹为上述椭圆.

例5 已知正方形OABC，点E，F分别在边AB和BC上运动，并保持∠EOF=45°，OH⊥EF.求证：线段OH等于正方形的边长.

图1

证明：如图1，以O点为原点，OC为x轴的正方向建立直角坐标系，OABC逆时针排序.设正方形边长为1，则A（0，-1），B（1，-1），C（1，0）.问题转化为：假设|OH|=1，证明∠EOF=45°.为此作一个单位圆.设单位圆上的点H（x0，y0），因为OH⊥EF，所以EF应为圆x2+y2=1在点H处的切线.故EF的方程为x0x+y0y=1，设直线OE（或OF）的方程为y=kx（k＜0），联立方程求得交点.因为直线AB的方程是y+1=0，直线BC的方程是x-1=0，所以折线段ABC的方程式为：（x-1）（y+1）=0，即xy+x-y-1=0（0≤x≤1且-1≤y≤0），把M的坐标代入此方程得，整理为关于k的一元二次方程y0（y0+1）k2+（2x0y0+x0-y0-1）k+x0（x0-1）=0，分解因式得（y0k+x0-1）×［（y0+1）k+x0］=0，，k2>k1⇔x0-y0-1＞0而点H（x0，y0）在直线x-y-1=0下方. 所以x0-y0-1＞0成立，所以k2＞k1. 即kOF＞kOE. 要证∠EOF=45°，只需tan∠EOF=1，只需入得x02+y02=1.故|OH|=1.证毕.F