先入为主，巧妙解题

☉福建省宁德市民族中学 苏华春

在解决一些数学问题时，如果只是按部就班，采用直接方法处理，有时根本无法下手，有时计算难度非常大，有时解答半途而废.而此时往往可以先入为主，通过“想当然”，巧妙假设对应可能存在的情况，加以“先斩后奏”，往往可以起死回生，柳暗花明，达到顺利解决问题的目的.

一、点的确定

例1 （2018届广州市高三年级调研测试·16）在平面直角坐标系xOy中，已知直线=0与椭圆C：=1（a＞b＞0）相切，且椭圆C的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点E在椭圆C上，则△OEF的面积为______.

分析：如果采用代数法，根据右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点E的坐标的求解，代入椭圆C的方程来确定参数之间的关系式，计算非常复杂，且很难进行下去.而选择几何法，根据先入为主，通过对椭圆C的上顶点B（0，b）与F的连线的斜率kBF的求解，结合两直线的垂直关系，确定对称点E是短轴的一个顶点，建立关系式，求解面积就会很简单.

那么结合a2=b2+c2可解得b=c=，a=2，

点评：解决点关于直线的对称点的确定与求解问题，通过先入为主，巧妙结合平面几何法来处理，注意到两直线的垂直关系，进而来确定对称点的位置即可.

二、位置的确定

例2 （2018届江西省重点中学盟校高三第一次联考·12）如图1，在平面四边形ABCD中，AC与BD交于点P，若3，AB=AD=BC，∠CAD+∠ACB=

图1

分析：如果直接利用平面向量的线性运算加以转化，条件之间的关系也比较混杂，根本无从下手，没有解题头绪.而通过题中平面向量的线性关系式，结合图形特殊，先入为主，结合图形的确定，利用特殊图形来反推相关题目的条件均得以满足，进而达到求解的目的.

图2

由于P分别是BM、AC的中点，

则四边形ABCM是平行四边形，则AM=BC.

结合图形特征可知，△ABP≌△ADM，进而可得AP=AM=BC，而AB=AD=BC，

此时平行四边形ABCM为矩形，可得AC=BM=2BC，

点评：实际上点P的位置无法确定，直接求解非常盲目而且无法下手.而通过先入为主，结合平面向量的线性关系式确定点P的准确位置，再结合题目条件加以反推其满足题目的所有条件，进而确定点P的位置关系的合理性，再通过所确定的图形加以分析与求解，就显得更为简单好操作.

三、角度的确定

例3 （2018·全国Ⅱ理·15）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=________.

分析：若直接分析求解，则需要利用同角三角函数基本关系式、三角恒等变换等众多的三角函数公式来处理，解题过程比较复杂.而根据题中相关角的三角函数的关系，结合具体的特殊角，先入为主，结合三角函数角的确定，利用特殊角的三角函数求值来确定，以特殊代表一般，进而达到求解的目的.

解析：由于答案为定值，不失一般性，取特殊值α=150°，β=60°，

此时满足条件sinα+cosβ=sin150°+cos60°=

所以sin（α+β）=sin（150°+60°）=sin210°=-.

点评：解决涉及此类的三角函数求值问题，因为是选择题与填空题，可以先入为主，巧妙构造满足条件的特殊角、特殊三角函数等来处理，以特殊来代表一般，简化运算，提升效益.

四、图形的确定

例4 （2018届江苏省南通、扬州、泰州、淮安、徐州、宿迁二模·13）在平面四边形ABCD中，已知AB=1，BC=4，CD=2，DA=3，则的值为________.

分析：如果直接处理，往往是利用平面向量的线性运算或坐标运算来处理，解题过程也比较烦琐.而根据题中对应边长关系，结合极限条件——化平面四边形为线段，先入为主，利用特殊图形来还原相关题目的条件的特殊情况，结合线段的关系以及平面向量的数量积来分析处理.

解析：由于AB=1，BC=4，CD=2，DA=3，

取极端情况（A、B、C、D四点共线），此时A（0，0），B（1，0），C（5，0），D（3，0），使其满足以上条件.

点评：实际上本题的图形——平面四边形是不确定的，这样的平面四边形有无数个.而采用先入为主，通过极端思维法，结合特殊的线段来处理，有时可以达到“秒杀”的效果，且不失一般性.

五、参数的确定

例5 （2018届江苏省扬州市高三期末调研·14）已知正实数x，y满足5x2+4xy-y2=1，则12x2+8xy-y2的最小值为________.

分析：如果直接从二元代数式的定值条件入手，通过换元思维或齐次化思维来处理，往往运算量比较大，计算繁杂且不易达到目的.而通过关系式，先入为主，确定正实数x，y之间的线性关系，引入参数，进而结合函数与方程思维来处理.

解析：略.

点评：实际上从题目信息中很难分析正实数x，y之间的关系，直接处理难度比较大.而通过先入为主，结合参数的确定，利用正实数x，y之间的线性关系来转化，把涉及x，y的二元代数式的最值问题转化为相应的方程问题，利用判别式来分析与求解，巧妙的思维方法值得学习，值得掌握.

解决一些比较复杂的选择题或填空题时，当无法下手或无从解答时，可以采用先入为主策略，从关键点的确定、位置的确定、参数的确定等方面入手，采用先预设成立的结论，结合题目条件来反推满足题目条件，从而绕过直接求解或处理所带来的困难或繁杂的运算，进行合理化归与转化，把烦琐的问题简单化、明了化，从而更为有效地解决问题.实际操作时，要学会灵活变通，巧妙应用.F