谈培养数学教师解题能力的建议

高宁

摘要：“题”是中学阶段“数学问题”的主要形式，会解题是数学教师核心素养之一，怎样培养教师的解题能力呢？本文从数学阅读能力、题目变式、一题多解、回顾解题过程、与学生同步解题这五个角度来阐述，结合具体的实例，建设数学老师从以上角度来培养数学核心素养。

关键词：阅读能力；变式；一题多解

数学教学离不开“题”，会解题的数学老师才是一位合格的数学教师。美国著名数学教育家G·波利亚这样说：“数学技能就是解题能力——不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力、独创性和想象力的问题。所以，中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练。”平时，我们在解题中发生错误缘于对题意的理解出现了偏差，笔者认为培养解题能力，建议尝试以下策略：

策略一、尝试变式题目。

通过题目变式，对提高教师的数学素养，尤其是教师解决问题的能力大有好处，因为通过对原题目的变式，可以多角度、全方位挖掘概念的内涵，达到创新意识，改善思维品质的目的。下面我已一高考题及其变式题目说明这一点。

（2013年高考江西卷）设f（x）=3sin3x+cos3x，若对于任意实数都有f（x）≤a，则实数a的取值范围是.

解析：根据题意，只需a≥f（x）max即可。f（x）=2sin（3x+π6），其最大值为2，最小值为-2，所以f（x）max=2，所以a≥2

考虑1改变为运算的角度

变式1已知向量a=（3，1），b=（sin3x，cos3x），设函数f（x）=a·b，若对于任意实数都有f（x）≤a则实数a的取值范围是.

考虑2变化为两个变量变化的角度

变式2设f（x）=3sin3x+cos3x，若对于任意实数x1，x2，都有f（x1）-f（x2）≤a，则实数a的取值范围是.

解析：因为f（x）=3sin3x+cos3x，x∈R，所以f（x）min=-2，fxmax=2，所以f（x1）-f（x2）max=4

考虑3变成存在问题的角度

变式3已知函数 f（x）=3sin3x+cos3x，若存在实数θ，使对于任意实数x都有f（x）≤f（θ），则θ的取值集合是.

解析：因为f（x）=3sin3x+cos3x，由题意f（θ）=f（x）max，所求集合为θθ=23kπ+π9，k∈Z

变式4变成二次函数型的题型

变式4设f（x）=3sin3x+2cos23x2-1，若对于任意实数都有f（x）≤a，则实数a的取值范围是.

解析：因为f（x）=-2sin23x2+3sin3x2+1，

令t=sin3x2，则f（x）=-2t2+3t+1，t∈-1，1，易知当t=34时，fxmax=118，当t=-1时，f（x）min=-1-3，所以f（x）max=1+3，所以a≥1+3

考虑5变成含参数问题的角度

变式5设函数f（x）=3sinωx+cosωx（ω>0），若y=f（x）的图像与直线y=2的两个相邻交点的最小距离等于2π3，则ω的值是.

解析：因为f（x）=2sin（ωx+π6），T=2πω=2π3，ω=3

编题是数学知识在较高层次的运用，会做题不一定会编题，编题有利于培养教师的学科素养。

策略二、一题多解

要培养教师的解题能力，可以尝试一题多解，既是对于每一个题目尽量考虑多种方法求解。

（《高中数学同步作业》思考题）已知a>b>0，求证aabb>abba。

分析1证明不等式常用的方法也是最重要的方法就是比较法，包括作差比较法和作商比较法，通过作差或者作商，然后变形对的到值同0或者1比较即证。（证法1略）

分析2作差比较法需要因式分解，但是有时很难或者不方便直接因式分解，于是设一个变量，通过变量作桥梁，就容易分解或者提取公因式。

证法2因为a>b>0，令a=b+t，t>0，则aabb-abba=ab+tbb-abbb+t

=abbb（at-bt）， 因为a>b>0，t>0，得到aabb-abba>0，故证aabb>abba。

分析3利用分析法来考虑，更加的简捷。所谓分析法就是从求证的结论出发，分析使结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判断这个充分条件是否成立的问题，如果能肯定这个充分条件成立，那么就可以判断原不等式成立。

证法3要证明aabb>abba，只需证明aa-b>ba-b，只需证明（ab）a-b>1，显然成立，故证aabb>abba。

分析4利用分析法运算过程中，我们考虑两边取对数，易知如下证法。

证法4要证明aabb>abba，只需证明lg（aabb）>lg（abba），只需证明

alga+blgb>blga+algb，即是证明a-blga-lgb>0，显然成立，故证aabb>abba。

分析5既然可以利用分析法证明，当然可以利用综合法加以证明。

证法5因为a>b>0，显然得到a-b>0，lga-lgb>0，于是得到

a-blga-lgb>0，整理得alga+blgb>blga+algb，即得lg（aabb）>lg（abba），故证aabb>abba。

事实上，本题还可以推广

推广1：若a，b是不相等的正数，则aabb>abba。

推广2：若a，b，c，d是不相等的正数，则abbccdda>bacbdcad。

数学是思维的体操，创设情境、启迪思维是数学教学的核心。一个题目可以从多个角度入手，解题方法多种，富含数学思想，有利于启迪思维，培养教师的解题能力。

策略三、回顾解题过程

波利亚的“怎样解题表”的最后阶段即回顾。他指出：“通过回顾完整的答案，重新斟酌、审查结果及导致结果的途径，他们能够巩固知识，并培养他们的解题能力。没有任何一个题目彻底完成了的，总还会有些事情可以做。”

当我们解完一个自己感觉是全新的、与众不同的、富有价值的题目时，要不失时机地回顾：这样解正确吗？我为什么这样解？有没有更好的解法？这种解法是普适的吗？解题过程使用了哪些知识点？知识与方法是如何巧妙地融为一体的？它能引发我进一步的思考吗？有了这样的回顾经历，在教学中会自然而然地引导学生深化数学知识的认识，领悟数学思想方法的真谛，促进思维结构的优化.

策略四、与学生同步解题

在一些模拟考试、综合练习中，与学生同步考试，体验学生在规定时间内答题的心理状态。面临紧张的考试，怎么才能沉着冷静，思维快捷，思路自然，灵感勃发，产生原创性的解法，发现平时课堂教学中教师的解法、学生的解法与考试中答题的差异.因为时间限制，平时解题时遇到难题可以多想一会儿，可以讨论，还有老师、同学暗示，考试时必须自己独立完成，平时解题时推理不严密、書写不规范往往无所谓，但考试必须规范就有可能不适应。与学生同步解题后在讲评时才能想学生所想，急学生所急，解学生所惑，纠学生所误。

这样的研究能提高教师的解题能力，如果能够把这种研究问题的思想传授给学生，无疑对学生数学学习大有裨益。

参考文献：

[1]《高中数学一题多解与一题多变》浙江大学出版社

[2]《高中数学同步作业》安徽教育出版社

（作者单位：安徽省阜阳市第四中学236000）