定位精准 凸显素养*——“函数复习选讲”二轮复习课引发的思考

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(平湖中学，浙江 平湖 314200)(镇海中学，浙江 宁波 315200)

2018年3月23日，浙江省沈虎跃名师网络工作室学科带头人海盐高级中学赵琴学老师在桐庐中学开设了一节题为“函数复习选讲”高三二轮复习课.这节公开课设计不仅朴实而且非常高效，选题不仅精炼而且非常具有代表性，在充分尊重学生的同时，又激发了学生对问题解决的热情.下面笔者简要回顾课堂教学的部分环节以及自己的切身感受，谈谈自己对课堂教学的思考.

1 重视概念，提纲挈领

赵老师在课前设置了“知识储备”环节，该环节要解决两个问题：1)函数的三要素是什么；2)研究函数主要研究哪些方面.学生经过思考后进行回答，赵老师利用PPT展示了这两个问题的答案：1)定义域、对应关系、值域；2)图像性质.《普通高中数学课程标准(实验)》指出：“教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.”章建跃博士曾说过：“解题错误主要源于概念把握不准.”

在高三的二轮复习中，既要兼顾对教材概念、思想、方法的回顾，又要把相互关联的概念、思想和方法有机地串联起来，使学生能够达到真正意义上的融汇贯通.这两个问题设置得简单而有内涵，恰好起到了这样的作用.函数概念是在《数学(必修1)》中学习的，是比较抽象的概念之一，在高三的上学期也会进行比较详细的复习，在二轮复习时有必要再次激发学生的灵感，从而让所学知识实现螺旋上升.

2 关注本质，百花齐放

例1已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx,其中k为实数，若函数f(x)在区间(0,2)上有两个不同的零点，求k的取值范围.

课堂上学生到黑板板演的解法整理如下：

生1：不妨设0

图1

所以f(x)在(0,1]上是单调函数，因此f(x)=0在(0,1]上至多有一个解(如图1).若1

不符合题意，从而

0

于是

即

解得

图2

生3：因为|x2-1|+x2+kx=0有两个不相等的实数根，所以函数g(x)=|x2-1|与h(x)=-x2-kx有两个不同的交点.如图3，g(1)=0，g(2)=3,从而当h(x)=-x2-kx的图像经过点(1,0)和(2,3)时，

h(1)=-12-k=0，h(2)=-22-2k=3,

于是

图3 图4

生4：因为|x2-1|+x2+kx=0两个不相等的实数根,所以

如图4，f(x)与g(x)=-kx有两个不同的交点.又

f(1)=|12-1|+12=1,

f(2)=|22-1|+22=7,

从而

g(1)=-k>1，g(2)=-2k<7,

于是

g(x)=-x-k,

又

图5

g(1)=-1-k>0，

于是

感悟例1是2007年浙江省数学高考文科试题第22题的第1)小题.教师给学生留出充分的思考时间，让学生自己进行解法梳理.在这个过程中，教师密切关注学生“从哪一个视角入手”“在解答过程中的障碍在哪里”.学生思考之后，教师选择了5名学生先后上黑板进行板演，这5名学生通过不同的构造函数的方法，结合所构造的函数图像，转化为两个函数在区间(0,2)上有两个不同交点的问题.

本题实质是在考查学生对函数零点概念的理解，并且融多种数学思想及解法于一体，这也是处理函数零点问题最基本的方法.一个等式或不等式通过变形，可以构造多种不同的函数，进而研究所构造函数交点的相关问题.构造两个不同的函数优先选择其中一个函数是常函数，另外一个是我们比较熟悉的函数；其次是构造两个非常函数，这两个函数都是比较熟悉的函数.本课中，5名学生构造函数的方式恰好遵循这样的原则，而且学生的思考时间并不是很长，这说明学生有非常好的数学素养，这正是数学高考二轮复习所希望见到的效果.

3 点评到位，锦上添花

在生4的解答之后，赵老师和板演的学生进行了如下交流.

生4(思索)：不一定.

师：那个关键点在哪里呢？

生4：和二次函数的切点有关.

师：非常好，我们徒手画出的图像是有误差的，因此在关键的位置要辅助精确的计算.如何算出此时的k值呢？

师(掌声)：非常棒！

感悟学生在解题时，可能更多关注的是答案是否正确，例1采用数形结合得出的结果很明显是正确的，但是学生在解决过程中缺乏严谨性.教师在点评时与学生进行了看似简单的沟通，却在逻辑思维方面给予了学生非常好的示范.教师在与学生交流的同时，把解决函数问题的工具性知识(导数知识)进行了很好的渗透.

4 强化训练，思维升华

图6

f(x)=xlnx-x,

进而

感悟此解法是学生板演的，该学生完成得非常流畅，一气呵成，说明学生对将零点问题等价转化为两个函数的图像交点问题掌握得非常熟练，并且通过例题的深入剖析已水到渠成了.该练习题研究函数的单调性，学生非常自然地利用导数工具进行求解，所构造的函数是一个奇函数和一个常函数(这实际上是该题的理想构造)，所求参数的值只有在极值(直线与函数图像相切)处取得.该题对方程的等价变形及函数性质的要求还是比较高的，学生能够在短时间内通过分析然后选择性价比高的解法，并且圆满得出结果，说明学生在这节课中的学习效果非常好.

5 教学启示

1)教学要处理好“放”和“收”的关系.

对例题的严谨性的论证是否还有其他方法呢？高一的学生能否解决呢？事实上，二次函数的切线问题可以通过联立方程，利用Δ=k2+8>0解决.深入观察后发现直线过定点(0,0)，但是这个定点在抛物线的内部，过定点的直线一定不会是抛物线的切线.教师在课堂上是否要把自己研究过解决问题的方法全部倾囊相授，是否所有的学生都有能力把教师辛辛苦苦研究的解法全盘内化？在课堂上，教师是主导，学生应该是主演，上课内容的探究也应该要留白，只有给学生留下一些继续探索的空间，学生才能够飞得更高.

2)教学要处理好“本”和“末”的关系.

例1的参考答案有一种解法是利用解方程的思想来研究零点，人教A版《数学(必修1)》第87页明确指出：方程有实数根等价于函数与x轴有交点,等价于函数有零点.通过解方程的根来研究函数的零点，考查的是学生的数学运算素养；通过等价转化研究两个函数的图像交点，考查的是学生的直观想象及数学建模素养.章建跃先生曾说过：“要让学生养成‘回到概念去’思考和解决问题的习惯.”张奠宙教授也说过：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验.”因此，教师在课堂上应该更多地关注所研究问题的本质，而不应该把采用什么形式解决问题作为重点关注对象，通过一段时间引领，学生会对数学产生兴趣，实现在学习中思考、在探究中提升的效果.大道至简，揭示问题本质，正是我们的教学追求[1].

3)教学要处理好“远”和“近”的关系.

图7

结合两个函数图像(如图7)，当k<0时,若x<0,则两个函数图像只有1个交点；若x>0，则两个图像有1个公共点，此时两个函数图像相切(根据不同函数的增长速度).设函数的公切点为(x0,y0)，则

在课堂上，教师对于试题的挖掘要根据学生的不同阶段、不同课型进行，同时课堂的设计也要有近期目标(即本节课要达到什么效果)及长远目标和学生的可持续发展.正如波利亚曾形象地指出：“好问题同某些蘑菇有些相似，它们大都成堆生长，找到一个之后，你应当在周围再找一找，很可能就有几个.”在学生的最近发展区设计有探究价值的题目，鼓励学生都参与其中，实现“做中学，学中悟”，从而实现学生数学素养的提升.

总之，数学教学不只是教给学生数学知识、思想方法，还要教会学生如何思考[2].数学家克莱因说过：“教师掌握的知识要比他所教的知识多得多，才能引导学生绕过悬崖、渡过险滩.”因此，在课堂上要实现对学生进行恰当、高效的引领，需要教师不断提升自身的数学素养.