初中数学探究教学案例研究——以反比例函数与一次函数课为例

■ 赵 鹏

一、问题的提出

《数学课程标准》指出:“数学是人们对客观世界的定性把握和定量刻画、逐步抽象概括、形成方法和理论, 并进行广泛应用的过程。”所谓“探究性学习” 是指学生在教师的指导下, 从学习生活和社会生活中选择并确定研究专题, 用类似科学研究的方式主动获取知识, 并应用知识解决问题，从而在掌握科学内容时, 初步体验、理解和应用科学研究的方法, 掌握科研能力的一种学习方式。数学教学中引导学生进行探究学习,能最大限度地调动学生参与学习的积极性, 发挥学生自主探究的能动性, 使数学课堂焕发勃勃生机,从而优化数学课堂。

数学的教学目标分为知识领域、技能领域和情感领域三大领域。为此，教师在准备课堂教学时要根据教学目标的要求选择相应的教学策略，让学生在知识的接受、能力的提高、心理的承受能力等方面达到预期的效果，以此提高学生的综合素质。借以培养现实生活中学生遇到矛盾时，提高分析问题和解决问题的能力。二是为了让学生明确教学的重难点，教师可以先通过学生了解的东西入手，然后用实物加以演示，以便引起学生的重视和兴趣，进而刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。

在数学课堂上，对探究性学习的实践，可以借鉴科学家发明创造的思想方法，通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探索研究，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索“变”的规律，以增强学生的创新意识和应变能力，培养学生的非模仿性思维以及发现问题、解决问题的能力。

二、初中数学探究教学的内涵及内容

（一）数学探究性学习的内涵及内容

在《现代汉语词典》中，“探究”被解释为探索研究、探寻追究。“探索”的解释是多方寻求答案，解决疑问。“探”的意思是试图发现（隐藏的事物或情况）。“究”的意思是仔细推敲、追查。所以对探究一词，我们可以理解为取多种方法去寻找事物的本质和规律，从而解决疑问。

百度百科上对探究的解释是：探究亦称发现学习，是指学生在学习情境中通过观察、阅读，发现问题，搜集数据，形成解释，获得答案并进行交流、检验、探究性学习。

我们的古代先贤孔子提倡学生的学习要学思结合：“学而不思则惘，思而不学则殆”；提倡教师的教要善用启发诱导的教学方式：“不愤不启，不悱不发。举一隅不以三隅反，则不复也”。

建构主义认为，知识不是通过教师的传授得到的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，借助其他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的。学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是学生自己建构知识的过程。学生不是简单被动地接收信息，而是主动地建构知识的意义，这种建构是无法由他人来代替的。

探究性学习，即是指学生通过主动探索，相对独立地作出科学发现或创造，包括由此而获得科学活动的实际体验和经验。在数学教育中，培养学生的探究创新能力和实践能力，成为教育的重要价值取向相对于接受学习，探究性学习更有利于培养学生独立思考的习惯，激发学生的创新意识。

探究性学习，可以有广义和狭义两种理解。从广义上来理解，它泛指学生探究问题的学习，是一种学习方式，一种教育理念或策略；从狭义上理解，它是一种专题研究活动，是指学生在教师指导下，从自身生活和社会生活中选择并确定研究专题，以类似科学研究的方式主动获取知识、应用知识、解决问题的学习活动。探究性学习涉及学习活动中的师生关系、活动的内容领域、活动的主要形式、活动的目的。在师生关系上是教师指导,学生主动活动；在活动的内容领域上，是学科或社会现实生活；在活动的主要形式上，是采用类似于科学研究的方法；在活动结果上，是获得知识、技能、情感与态度，并促进探索精神和创新精神的发展。

（二）数学探究的特点

数学是一门生动活泼的学科,是一套探索已知世界和未知世界的工具。数学能够提供探索现实世界和新的虚拟世界的材料和方法；通过对数学内部的探索，可以产生新的数学思想，从而修改和发展现有的思想。随着数学课程改革的不断深入，数学探究教学越来越受到重视。数学教育正从注重数学知识的传承转变到更加关注学生可持续发展和创新能力的培养。数学教学不是教给学生作为客观世界基础的数学结构，而是在教他们如何发展自己的认识水平，满足学生在开放的现实情境中主动探索研究、获得亲身体验、解决实际问题的需要。

根据数学的课程性质可知，数学探究可分为发现型探究和表达型探究，即目的在于发现探究对象的特点、性质和规律等方面知识的探究活动，为表达抽象的观念或描述复杂的事物而创造形式化表达方式的探究活动。

《普通高中数学课程标准（实验）》中说明：“数学探究即数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论和规律，给出解释或证明。”美国的“2061计划”旨在提高人们在科学、数学和技术方面的素养，以帮助人们生机盎然地、负责任地和富有成效地生活。在计划中，提出数学探究包括以下环节：（1）将思考的事物用数学符号表达出来；（2）利用逻辑规则操作这些逻辑符号，试图发现它们之间的新关系；（3）看这种新关系对理解思考事物是否有帮助。

在初中数学课程中，探究是作为获取数学知识技能的一种手段和载体而出现。数学探究教学应根据学生的心理特征及数学研究的规律性,发挥学生学习的潜能,体现学生学习的主动性和积极性。在教师的组织指导下，基于数学问题解决所需的情境和途径，学生充分利用各种数学探究课程资源，通过实物操作实验、数学思想实验、数据统计分析、信息技术实验等，收集与研究问题相关的各种信息，进而再提出研究问题、形成猜想、利用特例进行实验验证、进行演绎证明、反思(推广拓展)，经历数学概念、命题的形成、归纳过程，体验数学问题的生成、解决(证明)及其应用的过程，进一步领会数学研究的精神和思想方法，初步形成数学创新意识，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值和美学价值。

三、课例研究——以反比例函数与一次函数课为例

下面通过一个课例，探索数学探究在初中课堂的具体实施。

本节课的教学内容是掌握反比例函数与一次函数的关系，能够利用解析式和图像解决反比例函数与一次函数的综合问题。

环节一：

【教师活动】

如图1，函数y1=2x+1与y2=-x+4交于点A。

（1）求A点坐标；

（2）当 y1＞y2时，写出x的取值范围

【学生活动】

独立完成，复习解题经验、技巧。

【归纳总结】

如图2：（1）求两条直线的交点坐标，可以把两个解析式联立，组成方程组求解；

（2）在交点A处，做垂直于x轴的直线，把坐标系分为两个部分，直线左侧为y1＜y2，直线右侧为 y1＞y2。

【设计点评】

图1

图2

本节课之前，学生已经学习了一次函数和反比例函数，并且对函数问题有了一定的认识，具备了一定的解题经验。 让学生通过对直线交点的复习，唤醒解题经验，同时，为接下来的探究活动创设一个可模仿、可比较的思考情境。

在一个新的探究情境中，自己已有的知识和经验又得到了新的认识和理解，有了新的发现。所以，创设一个绝大多数学生熟悉的问题情境或制造一个能引起多数学生共鸣的认知冲突，是进行有效的探究活动的重要途径之一，能引起学生注意和唤起他们内在的学习需要，诱发探究动机。

环节二：

【教师活动】

【学生活动】

以小组为单位进行交流，解决问题，归纳总结，并展示。

【归纳总结】

可以模仿求两直线交点的方法，把两个解析式联立，通过求解分式方程，确定两个函数的交点坐标。

【设计点评】

探究活动需要有梯度、有层次地逐一进行。在唤醒学生对两直线交点问题后，先尝试如何确定反比例函数与正比例函数的交点坐标，问题难度小，但是能够让学生主动与两直线的交点问题进行联系、对比，为学生接下来的探究活动提供了支持。

环节三：

反比例函数y=与正比例函数y=k2x，

1.在同一坐标系内画出它们的图像有几种位置关系？

2.每种位置关系所对应的解析式应满足什么条件？

【学生活动】

以小组为单位进行交流，解决问题，归纳总结，并展示。

【归纳总结】

反比例函数与正比例函数的图像，当k1·k2＞0时，图像有两个交点，并且关于原点对称；当k1·k2＞＜0时，图像没有交点。

【设计点评】

从特殊到一般，对普遍规律进行抽象、提升，数学探究要求学生在探究活动中，能够在解决实际问题的基础上，完成对发现探究对象的特点、性质和规律的发现和表达。新课程倡导在老师的引导下学生进行自主探究式学习，为保证学生的自我探究活动能够顺利进行，可鼓励学生先根据自己的实际将问题细化，然后再试着解决问题。

四、成效与反思

数学探究指导下的课堂教学不只是强调数学知识的接受程度，而是更多地关注学生的主动参与，更多地注重学生的思维，形成平等、协商、交流的新型的探究性学习的师生关系，并将学生已有的学习经验或者课堂生成作为新的学习资源，使之不断成为学生学习的起点。此外，教师在课堂上还会向学生强调、渗透数学的理性精神，并充分发挥数学的美学价值对教学的感染启迪和指导的作用，传递与提升数学智慧。很显然，探究性学习关注学生获得知识的参与过程，把数学看成一项促进个人发展的探索活动，鼓励学生发现问题并作为探究因子，开展实践探究活动，并逐渐学会数学建模和数学思考。

明代朱熹提出“小立课程，大作功夫”（《朱子全书·论学》）的主张。“小立课程”，指每次课研究的主要内容不宜过多。“大作功夫”，指在实施上要做足功夫。整个教学过程体现学多教少，腾出时间让学生大量地进行数学活动,包括思维活动。虽然新课程要求学生学习的内容很多，但不是每个内容都需要在课堂上深入研究，有些内容让学生在课下学习就可以掌握，再通过整合就可以纳入学生的知识体系中。每次课要抓住核心概念和一个或几个主要问题,大作功夫。核心概念统率着本节课的全部内容。学生抓住了核心概念，可以带动其他附属内容的学习，达到“纲举目张”的效果。

同时，数学探究不只需要知识经验与生活经验为探究活动提供支持，同时需要探究活动经验，从而保证探究活动的顺利进行。而活动经验实际上就是学生的数学素养，对于研究方法的理解，建立在学生对数学学科的理解之上。

数学课程的基本理念是数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，问题情境—发现问题—获得猜想—证明猜想—反思拓广，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，从而提升学生的数学核心素养。