于无疑处生疑，于细微处追究

杜红笑

[摘 要] 初中数学教师的以身作则、勤学好问、于无疑处生疑、于细微处追究的习惯有利于培养学生的科学精神. 在习题教学中，在关键转折点处设疑，启发学生思考探究，步步深入，有利于学生培养反省思维，也能发展其科学精神.

[关键词] 科学精神；反省思维；习题教学

《中国学生发展核心素养》（以下简称“素养”）以培养“全面发展的人”为核心，提出了：文化基础、自主发展、社会参与3个方面，综合表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新等六大素养，作为数学学科，肩负着培养学生科学精神的重要使命.

《素养》中对科学精神的基本表现归纳为：（1）理性思维：崇尚真知，能理解和掌握基本的科学原理和方法；尊重事实和证据，有实证意识和严谨的求知态度；逻辑清晰，能运用科学的思维方式认识事物、解决问题、指导行为等. （2）批判质疑：具有问题意识；能独立思考、独立判断；思维缜密，能多角度、辩证地分析问题，做出选择和决定等. （3）勇于探究：具有好奇心和想象力；能不畏困难，有坚持不懈的探索精神；能大胆尝试，积极寻求有效的问题解决方法等.

对于数学老师而言，尤其是初中数学老师，如何培养与发展学生的科学精神，我们总是说的多做的少，常常强调外在忽略自己，笔者认为：老师的科学精神就是最好的榜样，唯有老师的勤学好问才能唤醒学生的质疑探究，老师要在那些貌似没有问题的地方提出问题，方能以己之力撬动学生思考之门，启迪学生严谨之科学态度，培养学生之科学精神. 试举一例说明如下.

新疆青少年出版社出版的北师大版八年级《课时达标练与测》第14页“思维训练”中有这样一道题（此题也是2012年广州中考模拟试题）——

定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数.

如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数.可以这样证明：假设是有理数，则设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0，则2=，a2=2b2.因为b是整数且不为0，所以a是不为0的偶数.设a=2n（n是整数），所以b2=2n2，所以b也是偶数，这与a，b是互质的正整数矛盾.所以是无理数.

仔细阅读上文，然后证明：是无理数.

完成此题的关键是读懂前面的示例. 于是笔者就很认真地阅读了示例，发现有两处比较难懂（也是解析中最关键的转折处），一是：设=，则2=，这是给等式两边同时平方得到的；二是：“a2=2b2，因为b是整数且不为0，所以a是不为0的偶数”，此处最难理解，由a2=2b2可以直接得到a2是b2的2倍，即a2是偶数，但为什么解析给出的是“a是不为0的偶数”？很明显，a2是偶数和a是偶数并不等同，此处需要深究. 通过与陕西省初中数学交流群中朋友的讨论，我们可以这样理解：在有理数范围内，如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数也是偶数. 因为a2=2b2，a2中含有因数2，所以a2是不为0的偶数，又因为a是整数，所以a也是不为0的偶数，即a是2的倍数. 这是对原解析的第一次质疑和深究.

细细再想：上面推理合理的前提是“在有理数范围内，如果一个整数的平方是偶数，那么这个整数也是偶数”这一结论的正确，可是怎么说明这一结论的正确性呢？经过查找与思考，我们可以给出如下证明：（1）先假设a不是偶数时，a2也不是偶数，利用偶数与奇数的非此即彼，可以推断a2是偶数时，a是偶数. （2）假设整数a不是偶数，那么a可以写成a=2k+1（k为整数），a2=（2k+1）2=4k2+4k+1=2（2k2+2k）+1. 因为k为整数，所以2k2+2k为整数，所以2（2k2+2k）为偶数. 所以2（2k2+2k）+1为奇数. 可证得a不是偶数时，a2也不是偶数. 反之可证“当一个数的平方是偶数时，这个数也是偶数”是正确的.

当我们想清楚了以上种种结论之后，我们对此题的解析才算是条分缕析. 接下来，我们按照此解法来完成对“是无理数”的证明：假设是有理数，则设=，a与b是互质的两个整数，且b≠0. 给等式的两边同时平方，可得5=，a2=5b2 ①. 因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数.设a=5n（n是整数），代入①中，得（5n）2=5b2，所以25n2=5b2，化简可得b2=5n2，所以b是5的倍数. 所以a和b有相同的因数5. 所以a与b不互质. 这与原假设a，b是互质的正整数矛盾，所以原假设不成立，所以是无理数.

这样的证明思路与给出的解析思路完全一致，吻合度极高，貌似完美，可是细细追究，也有一处有待商榷：怎么由“a2=5b2，因为b是整数且不为0，所以a不为0且为5的倍数”呢？不应该是由a2=5b2得到a2是5的倍数吗？由a2是5的倍数能推导出a是5的倍数吗？这时我们就发现和解析中面临了同一個问题：是否有“在有理数范围内，如果一个整数的平方是5的倍数，那么这个整数也是5的倍数”这样的结论？

同样的，我们类比刚才的反证法：先证a为整数，a不是5的倍数时，a2也不是5的倍数，从而反证“a2是5的倍数时，a是5的倍数”正确. 证明如下：假设整数a不是5的倍数，那么a可以写成a=5k+n（1≤n≤4且n，k为整数），则a2=（5k+n）2=25k2+10nk+n2=5（5k2+2nk）+n2.因为n，k为整数，所以5k2+2nk为整数. 所以5（5k2+2nk）为5的倍数. 又n=1，2，3，4时，n2不是5的倍数，所以a2不是5的倍数. 所以a不是5的倍数时a2也不是5的倍数. 反之可证，“当一个数的平方是5的倍数时，这个数也是5的倍数”是正确的.

到此，我们才深深理解了此题的真正意图，也理解了这道题从解法示例到解法应用的一脉相传，密切联系，也能体会到由此题拓展开去的数学思考是多么博大精深，富于启发.

如果多想，我们还能根据此题的推演过程提出猜想：“对于一个正整数a，如果a2是某个整数b的倍数，那么a也是b的倍数. ”至于对或不对，留给读者论证吧.

回顾本题的解决过程，我们在类比中不断追问，在已有的思路中寻找困惑，面对新问题，我们不断追索，寻找解决之路，这有利于培养学生的科学精神.

初中是学生思维品质养成的黄金阶段，更是他们对待科学、对待人生、对待世界的态度的养成阶段，唯有在此时种下善思考、多质疑、勤探究、打破砂锅问到底的、严谨的科学精神的种子，未来才能成为一个爱思考、会思考的人.