例谈“学材再建构”的智慧实施

施俊进

[摘 要] “学材再建构”是指师生根据学习任务，为了实现学习效益的最大化，对各种主客观性学材进行主动加工、重构的过程，包括教师独立建构、学生独立建构和师生共同建构三种.

[关键词] 独立建构；自主建构；共同建构；自主生成

“学材再建构”是指师生根据学习任务，为了实现学习效益的最大化，对各种主客观性学材进行主动加工、重构的过程. 这一过程由三个部分组成：一是教师独立地对学材进行建构；二是学生在教师的引导下独立地对学材进行建构；三是师生共同对学材进行建构. 这三者合起来就是一个完整的学材再建构过程. 笔者于2017年4月在南通市第一梯队名师培养对象会课活动中，执教了“三角形的边”（人教版数学八年级上册）一课，就如何实施“学材再建构”进行了积极的尝试和研究，现以该课教学为例，谈谈对“学材再建构”的理解.

教学分析

三角形是最简单的多边形，也是认识其他图形的基础；是学生在学习线段和角的基础上进行的. 另外，学习本章后，不仅要使学生进一步认识三角形，而且要使学生了解一些几何中研究问题的基本思路和方法. 即三角形是学生接触到的第一个几何图形（除基本元素外），后面所有图形的研究都将以三角形为基础. 因此，教学本节课时就不仅仅应关注学习目标，还应关注三角形的学习对后续学习的影响，重视能力目标. 当然，这是几何学习的起始阶段，能力目标不能定得太高（主要是了解一些几何中研究问题的基本思路和方法，并会简单的推理、证明等）.

学生在前面两个学段已经学过三角形的知识，但是对三角形的认识是杂乱的、零碎的、不严密的、感性的，甚至有时是不准确的，为了帮助学生正确认识三角形的有关概念和性质，提高推理能力，了解一些几何中研究问题的基本思路和方法，笔者根据课标要求和学生实际，确定了本节课的教学目标：（1）在直观认识的基础上理解三角形及其相关概念，能用符号表示三角形；（2）经历探究三角形三边关系的过程，理解并会用三角形的三边关系判断给定三条线段能否构成三角形，会确定第三边的范围；（3）通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，进一步体会类比、分类讨论等数学思想，发展空间观念、推理能力和有条理的表达能力，体验学习数学的价值.

教学重点：三角形三边关系的探究、归纳和应用.

教学难点：复杂图形中三角形的识别及三角形三边关系的应用.

说明 课前分析和预设，实际是教师独立地对学材进行建构. 教师的独立建构主要是指根据《数学课程标准》以及学生群体和个体的学习经验等实际情况，对“学材”进行适当的调整（增删、强化或弱化等处理），以及创设合适的教学情境等. 即教师根据数学知识发生的规律与内在联系、学生学习的基础与可达到的高度，以及发展思维能力、优化思维品质、学会学习方法、激励学习自信与自觉的教学追求，独立地进行“学材再建构”.

教师的独立建构重点体现在教学预设方面. 具体设计教学流程时，要注意由学生的原有经验出发，适当调整教材的呈现顺序（具体见“教学过程实录”）. 这样的建构不仅能让学生学会知识，更重要的是，能让学生体验研究几何图形的一般思路和方法，为以后的学习打基础.

教师独立建构的目的是将学生散乱的知识系统化、感性的经验理性化. 在引导学生建构三角形知识的同时，教师要引导学生将实践性的、操作性的经验理性化、系统化，最终形成逻辑化的、符号化的科学知识体系及研究几何问题的基本思路和方法.

教学过程实录（简）

1. 三角形及其相关概念

引入：三角形是基本的几何图形，在生产、生活中被广泛应用（图片展示），生产、生活中到处都有三角形的形象. 那为什么要采用三角形结构呢？这与三角形的特点有关. 从本节课开始，我们将系统地学习三角形知识.

在原有基础上自主构建三角形的定义

（1）自主回忆

师：我们已经知道了三角形的哪些内容？（比一比谁知道的最多、最全）

方式：学生代表回答，教师根据学生的回答，将相关内容板书在适当的位置.

（2）自主梳理

师：同学们说的很多，但是每个人都没有说全. 你能将这些零碎的、杂乱的知识归类吗？

方式：学生代表回答，教师根据学生的回答，在适当的位置板书（如图1）.

（3）自主建构

师：你能根据自己的观察，给三角形下一个定义吗？（什么样的图形是三角形？）

生1：由三条线段组成的图形叫三角形.

师：任意三条线段一定能组成三角形吗？（让学生在纸上画一个三角形）

生2：由三条线段围成一个封闭的图形才叫三角形.

师：解释一下“封闭”的意思.

师（PPT展示）：图2所示的图形是三角形吗？为什么？

生3：组成三角形的三条线段必须是端点顺次相连接的.

师：我们称之为“三条线段首尾顺次相接”（边说边板书）. 还有补充的吗？

生4：组成三角形的三条线段不可以在同一条直线上.

生5：应该在同一平面内.

师：你们说的都对. 谁来完整地说一下什么样的图形是三角形？

生6：在同一平面内，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫三角形. （师板书）

师（追问）：如果没有“不在同一直线”这个条件，将会出现什么情况？如果没有“首尾顺次”或“在同一平面内”呢？（学生举例说明）

设计意图 “学材再建构”还包括学生的独立建构和师生共同建构. 学生的独立建构主要是指学生在教师的引导下自主学习，建构概念、法则等，整理知识结构，接纳新认知并融入原有认知结构. 在引导学生独立回忆、相互补充三角形的相关知识后，教师引导学生自主调整、梳理. 在此基础上，教师有意识地安排板书，为后面知识结构的形成做准备. 在自主回忆、梳理的基础上，教师让学生尝试根据所梳理的内容对相关概念进行建构，尽可能地將学生的已有经验全部释放出来，从而强化正确认知，纠正错误认知，并为把经验认知转化为科学认知做准备.

师生共同建构主要是指在课堂教学中，生生互动、师生互动、动态生成的过程. 如，建构三角形的定义时，当学生说不出或说不全时，教师可让学生在练习本上画三角形，并观察画图过程，然后让学生用自己的语言描述图形是如何画出来的（当然，教师有时直接出示图形让学生判断就可以了）. 在这样的过程中，通过学生的回忆、梳理与尝试建构，教师引导学生最终建构起研究“三角形”相关知识的路线图：定义→主要（派生）元素→表示方法→主要（派生）元素性质→三角形的分类→特殊三角形→特殊三角形的性质、判定→两个三角形的关系（全等、相似等）.

2. 三角形的表示方法

师：如何形象地表示三角形呢？（以A，B，C为顶点的三角形表示为△ABC，读作三角形ABC）

试题 请用符号表示（如图3）.

（1）图中共有______个三角形，它们分别是______；

（追问：你是怎样找的？）

（2）以AB为边的三角形有______；

（3）以∠C为内角的三角形有______；

（4）以E为顶点的三角形有______.

方式：学生代表回答，余生自主补充、纠正.

3. 三角形的分类

师：图3出现了各种不同形状的三角形，若按三个内角的大小进行分类，该如何分？你的分类标准是什么？

生1：按“有没有直角”可分为直角三角形、钝角三角形和锐角三角形.

生2：生1的分类不对. 按标准“有没有直角”，三角形应该分为直角三角形和没有直角的三角形（含钝角三角形和锐角三角形）.

师：那按照边的关系，三角形应如何分类呢？

生3：按照“没有边相等、有两边相等和有三边相等”，三角形可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形三类.

生4：把等边三角形和等腰三角形独立分开，这样的分类是不对的！我们早就知道，等边三角形是一种特殊的等腰三角形，也就是说，等边三角形就是等腰三角形.

师：那么，按照边的关系，三角形该如何分类呢？分类标准是什么？

生5：按“是否有边相等”来分类，三角形可分为不等边三角形和等腰三角形. 而等边三角形包含在等腰三角形内.

生6：按“是否有边相等”来分类，三角形可分为不等边三角形和等腰三角形两类，而等腰三角形又包含底边和腰不相等的等腰三角形以及底边和腰相等的等腰三角形（即等边三角形）.

师：三角形的分类有两种分类方法. 不管如何分，必须按照一定的标准，而且要不重不漏（边说边完善板书）. 请完成三角形包含图（由学生独立完成如图4所示的包含图，渗透集合的概念）.

设计意图 师生共同建构，有群体性建构和个体性建构两种类型，它们有时独立进行，很多时候也是同时进行的. 在这一过程中，教师要高度关注学生在学习上的差异，充分暴露学生的思维，并适时根据学生的差异性和即时反应相机引导，因材施“学”. 如对三角形按边进行分类时，学生就存在差异. 教师通过问题“你的分类标准是什么”引导学生反思，通过学生独立思考、小组交流，学生很快意识到：三角形按“边是否相等”这个标准可分为不等边三角形和等腰三角形.

4. 探究三角形的三边关系

师：通过刚才的学习，我们知道三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接所组成的图形，那么任意三条线段都可以组成三角形吗？下面我们来重点研究三角形的三边关系.

生（齐）：三角形的两边之和大于第三边.

师：谁来说说理由？（在无人回答的情况下，出示以下问题）

问题如图5，元宵节的晚上，房梁上亮起了彩灯，装有黄色彩灯的电线（AB和AC）与装有红色彩灯（BC）的电线哪根长呢？说说你的理由.

生1：装有黄色彩灯的电线长（即AB+AC>BC），因为三角形的两边之和大于第三边.

生2：把“三角形的两边之和大于第三边”作为解释“AB+AC>BC”的理由，这明显不对. “AB+AC>BC”的真正原因是“两点之间，线段最短”.

师：在△ABC中，除了AB+AC>BC外，三边还有哪些不等关系？

生3：AC+BC>AB，AB+BC>AC.

生4：应该说三角形的任意两边之和大于第三边. 也就是，三角形的三边必须同时满足以上三个不等式.

师：那么，在三角形中，任意两边之差与第三边有什么关系呢？你是如何得到的？

生5：三角形的两边之差小于第三边. 根据“不等式的性质”，将以上三个不等式进行适当的“移项”可得.

师：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 反過来，如何判断三条线段能否构成三角形呢？

设计意图 这个过程包含教师的独立建构和学生的独立建构，也有师生共同建构. 当学生不能回答“三角形的两边之和大于第三边”的理由时，表示学生的独立建构失败. 为此，教师及时调整教学过程，通过实际例子，再次引导学生独立建构，教师的及时调整就是教师的独立建构. 同时，生生之间、师生之间通过交流，建构新知，这就是师生共同建构.

5. 自主训练，巩固提高

试题1 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能构成三角形吗？

5 cm，3 cm，2 cm；

5 cm，2 cm，1 cm；

5 cm，3 cm，4 cm.

追问：你是怎样判断的？

试题2 有两根长度分别为5 cm和8 cm的木棒，加一根长度为2 cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？加长度为13 cm的木棒呢？

追问：（1）你能取一根木棒，与原来的两根木棒摆成三角形吗？

（2）已知三角形的两条边分别是a和b（a>b），那第三条边c在什么范围内？

（3）已知一个三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，若该三角形的周长为奇数，则第三条边的长为多少？

设计意图 解决试题的过程不仅直接巩固了“三角形的两边之和大于第三边”（在根据条件列方程求解后，用“三角形的两边之和大于第三边”判断所得结果是否合理），而且巩固了三角形的分类. 在这样的过程中，“学材再建构”的三种建构相辅相成.

6. 课堂小结，反思质疑

（1）我们是如何研究三角形的？

（2）如何正确理解以下内容？

①三角形的定义；②三角形的分类；③判断三条线段能否构成三角形.

（3）通过对三角形的初步研究，你积累了哪些重要的学习经验和学习方法？

师生共同总结：①研究一个几何图形，一般包含定义、表示、性质（判定）；②关于以前已知的结论，必须通过推理证明后才可以作为说理的依据（如我们已经知道三角形的内角和为180°，后面将学习内角和的证明及其应用等）；③分类要有一定的标准，要做到不重不漏.

设计意图 从知识、方法、过程等方面设计课堂小结，不仅能帮助学生获得知识、形成技能，而且能让学生在发展能力、养成品德等方面有提升，尤其能让学生了解一些几何中研究问题的基本思路和方法，并会简单地推理证明.

7. 课后作业，分层巩固

必做题：教科书P8第1、2、6、7题.

选做题：（1）教科书P29第9题；（2）已知等腰三角形的周长为20 cm，底边为x cm，则x在什么范围内？

附：板书设计（如图6）.

教学反思

1. 学材不只是教科书，也不仅包括教科书外的参考书、学习材料等，还包括教学手段、教学方法等教学资源. 例如，学习“二次函数”，我们的学材除教材外还包括函数的研究方法、研究经验和相关认知结构，以及通过何种方式来呈现这一过程等.

2. “学材再建构”的三种建构，并没有严格意义上的时间顺序，也没有严格的区分界定（分列出来讲，只是为了表达方便）. 事实上，这三种建构有时几乎是同步进行、浑然一体的. 课堂教学中，师生共同建构还有时差性，比如当教师提问等待学生思考的时候，那学生就在进行独立建构；教师根据学生的反馈，及时调整教学过程，那就是教师的独立建构；当教师和学生的思维相互碰撞产生新想法时，就是师生的共同建构.

3. “学材再建构”的结果就是引导学生自主接纳新认知并融入原有认知结构，在生生之间、师生之间深度交流中激发火花，启迪思维，形成共识，乃至产生创新成果. 在这个过程中，只有师生互动、生生互动、深度交流，才能达到知识、技能、方法、经验、能力、情感、态度以及价值观的生成（建构）.

所谓“生成”，绝不止于教师预设之外、出乎意料的课堂学习情态（这充其量只是一部分的“生成”，而不是全部），更多的“生成”应该是广义上的“生成”，指教师引导下学生思路的开发、碰撞的热烈、智慧的生长、才情的丰富. 即指学生知识、能力的自主生长，逐渐生成. 它指的应该就是“产生、生长、成型”等意思. 需要特别强调的是“生成”对学生而言的自主自为性. “生成”首先和最终都是学生自己的事，不经学生自我“生成”的知识是没有价值的，知识的学习最重要的是靠學生自我建构.

4. 实施“学材再建构”要注意的几个问题：

（1）系统的知识体系. 既不能将书本上的知识分解成孤立的一个个知识点，一个个地学、记、用，也不能只拘泥于本节本章甚至本学科的知识，教师必须认真研究教材，弄清知识的背景、内涵及延展，掌握教材体系及编者的编写意图.

（2）精心寻找最佳结合点. 研究学生的知识经验、认知水平、情感、态度，找到与新授内容的最佳结合点，教师才能做到教为学服务，才能通过有的放矢，有效引导，使学生自主、自觉、快速进入自主学习进程. 如新授内容对于学生来说，学之初，并非全从零开始，有的是在上一学段就学过（只是学的深度、广度和要求不同）；有的学生在生活实践中已有初步的感性认识，如此等等. 所以教师必须认真分析、研究，从学生的实际出发，这样，教师所组织的新授内容才是学生“新鲜的”“有兴趣的”“有求学需要的”“有能力自主学习、探索学习”的，学生的主体性才能得以激发.

（3）努力使知识回归生活. 要充分揭示并运用课本上的知识与生产、生活实践相联系，使学生感悟到知识源于实践，知识就在我们身边，知识用于实践，我在用知识；使教学过程成为师生、生生真情交往、积极互动、共同发展的过程.