让学生在“历史故事”中获得心灵震撼

李织兰 蒋晓云 杨起群 姚卫姗 刘丹

【摘要】本文结合教学片段论述教师在教学“认识圆周率”一课时，利用“我们用测量的方法能得出圆周率的准确值吗？”这一问题让学生展开思考，引导学生关注圆周率的获得过程；从古代数学著作《周髀算经》提出“周三径一”的说法，到刘徽“割圆求周”，再到祖冲之“刻苦求精”求出圆周率，带领学生经历一次“数学文化之旅”；提出数学教学应带领学生品味数学“悠久历史”带来的自豪感，让学生体会到数学家锲而不舍的探索精神，感受到数学的严谨性，做到让学生在数学学习中“学知识、育德行、增智慧”。

【关键词】圆周率 教学片段 数学文化

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）01A-0077-03

桂林师范高等专科学校2014级农村小学全科公费师范毕业生刘丹在“桂林市农村小学全科教师专业发展论坛”的教研活动中展示人教版“圆的周长”一课。参加活动的教师被刘老师新颖的教学设计、教学艺术和课堂教学中表现出来的浓厚的数学文化气息深深吸引。这节课的“认识圆周率”的教学片段，恰当地用数学史料、趣事，反映数学方法的突破，对学生进行理性教育、德育教育，培养学生科学精神，让学生在“历史的故事”中学知识、育德行、增智慧。

刘老师在学生通过简单实验初步体验了圆周率和利用圆周率计算圆的周长之后安排了这个教学片段，教学片段以圆周率的探索过程为主线，以体现圆周率的文化价值为主格调，为学生打开了一扇探索数学文化发展史的窗户，为学生进一步理解圆周率的意义及在中学的相关数学学习中留下一片想象的空间。这个片段集中体现了数学文化的形成过程，是学生经历数学思考的过程，也是学生领悟思想方法的过程，更是学生丰富情感体验、提升数学核心素养的过程。

一、以导质疑、以疑促学

师：在计算圆的周长的时候需要用到圆周率。说到圆周率，我们都知道它是圆的周长和直径之间固定的倍数关系，也是一个无限不循环小数，这么复杂的一个数，它是怎么来的呢？

生：测量得出来的。

师：我们用测量的方法能得出圆周率的准确值吗？

生1：能，我们测量的所有的圆，它的周长都是它直径的3倍多一些。

生2：不能，我们小组的实验报告表中每一次的实验数据都不一样，而且3倍多一些，多的部分也不一样。

生1：也许是你们的实验有误差。

师：你们的意思是这个倍数的精确程度取决于我们测量的误差大小。如果测量时很精确，圆的周长都是它直径的3.14倍吗？

生1：是的。

师：老师用先进的测量工具尽量精确地测量了2个圆的周长和直径，得出的“圆周率”的结果不完全一样，而且没有一个刚好是3.14（教师呈现实验数据如表一所示）。

师：看来用测量的方法是无法得到圆周率的。

师：人类对客观事物的认识是一个过程，是在实践基础上从感性认识到理性认识、又从理性认识到实践的无限发展的过程。其实，数学对人类文明最大的贡献是理性精神。理性精神是一种“推演的精神”“逻辑的精神”，是一种求真、求美的精神。我国古代数学家用“理性”的方法研究圆周率至少有两千多年的历史。下面我们来读一读课文中的“你知道吗？”（如图1所示），让我们穿越时空，经历一次数学文化之旅。

[评析]

朱熹曾说：“读书无疑者，须教其有疑；有疑者，须教无疑，到这里才是长进。”教师只有让学生对已知的“圆周率是一个固定不变的数”产生怀疑，他们才会去关注人们得出圆周率的过程。教师想要发挥数学文化的教育功能，就应积极培育学生的“求真”精神，让学生形成理性思维、学会理性方法、感悟理性的力量。

学起于思，思源于疑。教师以导质疑、以疑促学，调动了学生读书、思索、答问的积极性，发展了学生的创新思维，培养了学生的核心素养。

二、数学文化之旅

（一）数学文化唤起篇：周三径一

师：故事记载了在2000多年前我们的祖先通过轮子转一圈的长度，观察到圆的周长和其直径之间有一定的联系。数学家通过测量、计算得出圆的周长总是它的直径的3倍左右。我国古代数学著作《周髀算经》提出“周三径一”的说法。魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时发现“周三径一”只是圆内接正六边形的周长和该圆的直径的比值。大家想去了解一下吗？

师（播放课件）：大家观察这幅图（如图2所示），看一看其中都有哪些图形。

生：有圆、正六边形，还有6个等边三角形。

师：我国古代数学家就在圆内作一个正六边形来代替圆，用正六边形的周长除以圆的直径得出圆周率的近似值。

师：正六边形的周长和圆的直径的比值是多少？

生：等边三角形的边长等于圆的半径，正六边形的边长与圆的半径一样长，正六边形的周长和圆的直径的比值是3。

师：对，我们看大屏幕。圆的半径与正六边形的边长一样长，也就是说，用正六边形的周长代替圆的周长，求出圆周率π的近似值为3。这就是古人提出的“周三径一”。

[评析]

“魏晋时期的刘徽于公元263年给《九章算术》作注时，发现‘周三径一只是圆内接正六边形周长和直径的比值。大家想去了解一下吗？”教师的这句话唤起学生强烈的用数学的方法探究“周三径一”的欲望。

每一名学生都能在课堂上冷静思考，用数学思维去发现数学问题。数学思考的内在美，正是在这样一种“润物无声”的对话和思辨过程中悄悄滋润着学生的心灵，化作学生思考的力量源泉。

（二）数学文化彰显篇：割圆求周

片段一

師：比较圆和正六边形的周长，你看出了“用正六边形的周长代替圆的周长”有什么问题？

生：用正六边形的周长代替圆的周长误差太大。

师：古人后来又提出了“周三径一有余”的说法，但究竟余多少？

师（出示图3）：魏晋时期的数学家刘徽提出了“割圆求周”的方法：把圆周分成六等分、十二等分、二十四等分……这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。

师：比较一下，正十二边形的周长和正六边形的周长相比，谁更接近圆的周长？

生：正十二边形的周长更接近圆的周长。

师：如果把圆继续分，分成正二十四边形、正四十八边形……想一想，如果我们这样一直分下去，会有什么发现？

生：分的份数越多，正多边形的周长就越接近圆的周长。

师：那么，正多边形的周长和直径的比值就越来越接近？

生：圆周率！

师：请一位同学读一读刘徽的关于“割圆术”的这段话。

生：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。

师：谁来解释一下这段话？

生：分得越细、正多边形边数越多，多边形的周长与圆的周长就越接近。

生：分到不能再分的时候，多边形的周长与圆的周长就没有差别了。

师：正多边形的边数到2万时，还能再“细”分吗？

生：能。

师：那什么时候不能再分？

生：无穷多条边的时候。

师：“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”我们可以解释为“正多边形的边数达到‘无穷多时，正多边形的周长就是圆的周长”。

[评析]

通过这样的教学过程，学生不仅深刻地感受了“割圆术”的精妙，而且在无形中形成了极限思想。

片段二

师：刘徽首创的“割圆术”是中国古代极限观念的体现。刘徽一生都为数学刻苦探求、学而不厌，给我们中华民族留下了宝贵的财富。

（教师用多媒体展示：刘徽用“割圆术”求圆的周长和直径的比值，计算到正一百九十二边形，得出这个正多边形的周长和圆的直径的比的近似值是3.14，即π≈3.14。如表二所示）

师：我们常用π≈3.14计算圆的周长，也称圆周率的近似值3.14为“徽率”。

[评析]

刘徽对世界数学的最大贡献是他的“割圆术”方法与无限细分逐步逼近的极限思想。他首创的方法，不仅为200年后祖冲之对圆周率的计算提供了思想方法和理论依据，还对中国古代数学研究产生了很大的影响。学生通过对“割圆术”的了解，在感叹中国数学文化博大精深的同时，也感受到数学极限思想的奇妙。

（三）数学文化震撼篇：刻苦求精

片段一

师（多媒体展示）：假设一颗人造卫星绕着圆形轨道飞行，这个圆形轨道的直径是13428008米。卫星飞行一圈是多少米？

生：我用π≈3.14计算，卫星飞行一圈是42163945.12米。

生：我用π≈3计算，卫星飞行一圈是40284024米。

师：实际上，卫星飞行一圈约42185330.57米，用π≈3.14计算，运算结果与实际相差21385.45米，用π≈3计算，运算结果与实际相差1901306.57米。

生：可能是圆周率的近似值π≈3.14不够精确。

生：圆很大时，用圆的内接正一百九十二边形的周长代替圆的周长还是不够精确。

师：在无需精确结果估算圆的周长时，可用直径乘以3，即π≈3，计算简洁快速，“周三径一”的价值不言而喻；计算日常生活中的车轮周长、圆桌周长等时可取圆周率π≈3.14；但在计算卫星的轨道周长时，就会“失之毫厘，谬以千里”。

[评析]

教师在学生完成练习题之后，呈现对比性问题启发学生思考：估算圆形的周长，直径乘3，简洁快速；计算卫星的轨道，圆周率取整数3和3.14，周长相差约190万米，“失之毫厘，谬以千里”，圆周率精确度的作用凸显无遗。现实的情境、鲜明的对比，学生真切地感受到研究圆周率的独特价值。

片段二

师：数学家祖冲之，他也是天文学家，他也认为π≈3.14还不够精确。于是，他在家中做了一个直径为一丈大的圆，1丈≈3.333米。同学们，（教师边走边比划直径为一丈的圆）你能想象这个圆的大小吗？

生：能！

师：在这样一个大圆里，祖冲之在刘徽的基础上继续“割圆”，分成正三百四十八边形、正七百六十八边形……当分出正两万四千五百七十六边形时，这个正多边形每条边的长度大约是0.4毫米。同学们请在尺子上找找，看0.4毫米有多长。

（学生的惊讶声、赞叹此起彼伏）

师：这时，多边形和圆会怎么样？

生：非常接近！

师：求出的正多边形的周长和圆的直径的比值与圆周率就会怎样？

生：非常接近！

[评析]

“直径为一丈的大圆的内接正两万四千五百七十六边形的边长不足0.4毫米”的直观感受，使学生的情感得以洗礼、心灵受到震撼。

片段三

师：祖冲之在刘徽开创的方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数点后第七位，即π在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。

师：请同学们大声读出课文中介绍的祖冲之的研究成果。

生：约1500年前，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之，他计算的圆周率在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精確到7位小数的人。这一成就比国外大约要早1000年。

[评析]

祖冲之研究的“圆周率”结果极大地震撼了学生的心灵，丰富了学生对数学学习的情感体验。