文化视角下的小学数学课例研究

蒋晓云

【摘要】本文阐述数学文化的内涵，即“数学之史、数学之美、数学之趣、数学之用、数学之思”，并结合具体案例提出“求真、育美、立德、致善”是数学教学追求的最高境界。

【关键词】小学数学 数学文化 课例研究

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2018）01A-0004-06

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称新课标）明确提出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学教材中“数学阅读”“你知道吗”等版块的内容就是数学文化的展示。越来越多的人开始关注并认同“数学是一种文化”这一观点，越来越多的教师开始在数学教学中融入数学文化，表现出对数学教学“求真、育美、立德、致善”的理想境界的不懈追求。

一、对数学文化的理解误区

知识与技能目标是外显的，容易量化，而数学文化看不见、摸不着。我们曾经片面地理解了数学文化，将对数学家的介绍、数学故事、数学名言等加进课堂，给数学课穿上文化的“外衣”，这种简单“添加”并没有触及学生的精神层面，在数学文化渗透与凸显上存在着“数学文化演变成解决问题”“数学文化等同于数学史”和“淡化了数学魅力”三个误区。

首先，数学文化变成解决实际问题。教师组织学生算24点、玩七巧板、解决鸡兔同笼问题等古代趣味题，学生迫不及待地进行“解答”，教师认为这样的设计便是在教学中渗透数学文化了。事实是，学生知道了怎么做古代数学名题，却没有通过数学活动感受数学的文化价值。

其次，数学文化被紧缩为数学史。教师向学生介绍数学历史，如历史上著名数学家的故事、重大历史事件等。这其实只是彰显数学文化的一个举措，数学史是数学文化的一部分，数学文化有着更加丰富的内涵与更为开阔的外延。

最后，淡化了对数学的魅力与数学文化的美的感悟。有的教师窄化了数学文化的美，让学生感悟不到“一笔画问题”“抽屉原理”的“方法之美”“抽象之美”和它们的无穷魅力，学生只感受到“雪花线”外在的“对称之美”，不能发现它的“奇异之美”，即雪花周长是无限的，围成的面积却是有限的。

究竟什么是数学文化？数学文化的教育价值是什么？怎样在小学数学教学中自然地渗透数学文化？数学文化怎样以朴素而平和的姿态呈现于课堂、流淌于学生的心田？这些成了我们这些年来研究的主要问题，我们通过研究小学数学课例的方式，从文化视角进行了思考和尝试。

二、什么是数学文化

“数学是一种文化”这一观点始于20世纪60年代，是美国学者怀尔德（R.Wilder，1896-1982）在他的数学著作《作为文化系统的数学》中最早提出来的，怀尔德从文化生成和发展的理论等方面提出了数学文化的概念及有关理论，他的数学文化观是长时间以来出现的第一个比较成熟的数学哲学观。

国内最早关注数学文化的是北京大学的孙小礼教授。1990年，她与邓东皋、张祖贵合编了《数学与文化》一书，相关人士开始从文化的角度关注数学及其文化价值，开始对数学与文化的关系进行深刻思考，并且有越来越多的人投身于数学文化研究之中，“数学文化”这个词的使用频率近年大大增加，这说明数学文化是有生命力的，许多人因为某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。

目前大家比较认同的是南开大学顾沛教授提出的数学文化的内涵：从狭义上说，数学文化即数学的思想、精神、方法、观点、语言及其形成和发展过程；从广义上说，除了狭义的內容外，数学文化还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分以及数学与各种文化的关系。

为了方便大家理解，笔者将小学数学教学中的数学文化概括成：数学之史、数学之美、数学之趣、数学之用、数学之思。

（一）数学之史

新课标凸显了数学史的地位和作用，在教材编写建议中明确指出：教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。

（二）数学之美

数学的抽象性和广泛性达到了“完美”的和谐与统一，其本身就是一种美。数学之美包含的内容有：数学的简洁与抽象美，即符号美、抽象美、统一美、常数美、守恒美；数学的神奇美，即奇异美、无限美、神秘美、对比美、滑稽美；数与形的和谐之美，即对称美、序列美、节奏美、形式美。

（三）数学之趣

托尔斯泰曾说：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”小学生对数学的喜爱往往是从兴趣开始的。新课标指出：数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣以及产生学好数学的愿望，切实提高小学生学习数学的兴趣。

（四）数学之用

学习数学不只是掌握知识，必须学会应用，实现数学的价值。这就要求小学数学教师在教学中注意培养学生的数学应用意识。应用意识有两个方面的含义，一方面是有意识地利用数学知识，如概念、公式、法则、原理和方法解释现实世界中的现象，解决实际问题；另一方面是认识到现实生活中蕴涵着大量与数和形有关的问题，可以将问题抽象成数学模型并加以解决。因此，数学学习应“生活化”，教师为学生提供应用数学知识的素材，让学生体会数学实际应用的价值，激发学生的创新思维，从而让学生运用数学知识、思想、方法解决生活中的现实问题，提高学生数学学习能力。

（五）数学之思

“数学之思”包括“三思”：数学思想、数学思维、数学思考。

数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。数学思维是对数学对象，如空间形式、数量关系、结构关系等的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。新课标明确指出数学思维能力主要包括四个方面的内容：（1）会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；（2）会用归纳、演绎和类比进行推理；（3）会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；（4）能运用数学知识、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。新课标对数学思考也提出了以下四个方面的要求：（1）建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维；（2）体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象；（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法；（4）学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

笔者站在文化的视角审视数学教学，在课例研究中确定“彰显数学文化”的评价标准是：明鉴数学之史、欣赏数学之美、玩转数学之趣、理解数学之用、感悟数学之思、传播数学文化、领略数学之魅、培养核心素养。

三、数学文化的教育价值

日本的数学家、教育家米山国藏曾说：“学生在初高中学到的数学知识，几乎没有什么机会应用，很快就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，唯有铭刻于脑际的数学精神和数学思想方法，长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”[1]

数学文化的价值主要在于数学对人们观念、精神以及思维方式的养成具有的重要的影响，它具有独特的科学和人文的教育价值。

我们常说“数学是日常生活的工具”“数学是科学技术的基础”，其实这就是数学文化的科学方面的教育价值。学生在数学学习中体会数学实际应用的价值，激发创新思维，运用数学知识、思想、方法解决现实问题和科学问题，提高数学学习能力。

数学文化的人文方面的教育价值体现在“数学是思维的体操”“数学是理性的精神”，这主要是指数学对人的品德的教养、思维的提升、理性的培养和性情的陶冶的意义。

在很多人的意识中，数学教育的功能是为学生提供日常生活的工具、让学生在数学考试中取得好成绩。于是，在数学教育中就存在这样的问题：重“数学生活化”，轻“生活数学化”，造成“数学浅表化”；重数学知识的灌输，轻数学思维的提升、数学思想的感悟，普遍忽视了数学文化的人文方面的教育价值与作用。

四、如何在小学数学课堂中融入数学文化

笔者从理论和实践方面对小学数学教学课例的人文方面的教育价值与作用进行了较深入的研究，率先从狭隘的学科教学目标跳出来，提出了大文化的教学目标：求真、育美、立德、致善。笔者力求引导学生不断地自我加强科学素养、社会文化修养，形成和发展数学核心素养，全面提高学生素质，这也是数学教学改革的重要方向。

（一）求真

数学对人类文明最大的贡献是理性精神。理性精神是一种“推演的精神、逻辑的精神”，是一种求真的精神。发挥数学的文化教育功能，就应积极地培育理性精神、演绎理性力量。

学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终身受益。小学数学课程应注重培养学生的数学思维和数学推理，其中包括逻辑思维和辩证思维、合情推理和演绎推理等，让学生学会运用数学的思维方式进行思考。

涵盖归纳、类比、实验、观察、直觉等的合情推理，是得到新结论的方法和途径，是小学生理解和掌握“找规律”时不可或缺的。但是，学生找到的“规律”可能是正确的也可能是错误的，还需要依靠演绎推理去验证。针对演绎推理，新课标提出：（教师）在第一学段和第二学段，可以逐渐渗透给学生知道（演绎推理），在第三学段则应该明确地告诉学生，让学生对此有清醒的认识。

反思这十多年的小学数学课程改革，小学数学教学淡化了数学中的逻辑推理、理性思维，类似于“三角形内角和等于180°”这样的基本定理，有的教材让学生用测量及计算、拼接实验的方法“归纳猜想，发现规律和结论”，不鼓励学生问为什么，不讲证明、不讲道理，数学课就失去了灵魂，这就很难培养学生分析问题与逻辑推理等方面的能力。教育的效果是滞后的，当这一代中小学生长大成人后理性思维能力不强就悔之晚矣。

笔者认为小学数学课堂理性精神是：理性思辨，不感情用事；实事求是，不盲从权威；尊重数据，不弄虚作假；科学严谨，不随欲而为。

[案例1]实验归纳“不完全”

在一节《圆的认识》的公开课上，教师采用“自主尝试—小组交流—全班反馈”的教学方式，让学生在小组内讨论、向全班交流自己探究得到的“圆的性质”，选一个小组代表汇报。

生：我们小组得出了“圆内所有的线段，直径最长”。

师：你们是怎么知道的？

生：我们量出圆内5条线段的长度，直径AB=7.8cm，半径OA=3.9cm，线段CD=4.6cm，线段EF=2.3cm，线段CG=6.3cm。所以，我们发现了“圆周内所有的线段，直径最长”。

师：你们真聪明，老师也没告诉过你，书上没写来的性质你们也能发现！大家齐声拍手表扬她。

师：她发现的这个结论还需要验证吗？

生：道理明摆着，没有必要验证了。（多数学生认同）

师：前些天的一个早上，老师带着一台测量身高的设备在我们学校门口守候了半个小时，测量了57名进校学生的身高，所测量的学生的身高均没达到170cm，于是我们得出一个结论：我们学校的学生的身高都不超过170cm。刚说完就来了一名六年級2班的学生，他的身高是173cm，老师“被打脸”了。为什么老师会“被打脸”呢？

生：你还没量完我们学校所有的学生的身高，你就下结论了。

学生遇到了问题才会去思考。教师安排了“逻辑推理，孕育理性精神”的教学过程，巧妙设疑让学生学会理性思考、形成理性思维、感悟理性的力量，提升学生综合能力和核心素养。

[案例2]直觉的误导

要探究图1中的问题，可建立如图2所示的模型，设铁丝围成圆的半径为R，地球赤道的圆的半径为r，其周长之差为100cm，2πR-2πr=100cm，π≈3.14，R-r ≈[1006.28]≈15.9cm。铁丝与地球赤道之间的间隙有约15.9cm，所以能放进一粒草莓或一个拳头。

这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习能体会到：我们完全凭借直觉判断数学结论是不行的，还需要通过计算推理来验证。

[案例3]“眼见未必为实”

（1）有一张8cm×8cm的正方形的纸片，面积是64cm2。把这张纸片按图3所示剪开，把剪出的4个小块按图4所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65cm2。这是可能的吗？

（2）这是网上流传甚广的一个问题。将图5中上部的三角形切成四部分，之后再重新拼成图5下部的图形，结果发现少了一个小正方形，这是怎么回事？

这两个题目主要让学生自己通过小组合作探究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受仅凭观察、猜想、操作、实验验证数学结论是不够的，强调在以后的数学学习中要学会说理。

[案例4]“算理”是通向“算法”的桥梁

学生掌握计算法则关键在于理解。学生既要懂得怎样算，更要懂得为什么要这样算。

如图6所示，在教学“12×14”时，教师通过直观的点子图使学生看到12×14就是求每列12个、共14列的点子图中的“点子”个数，也就是求14个12连加的和是多少。我们可以先求出4列的“点子”个数是多少，即4个12是多少，再求10列的“点子”个数是多少，即10个12是多少，然后把两个和加起来，从而让学生知道，计算乘数是两位数的乘法要分两步乘，第三步是相加，这样使学生看得见、摸得着，例题教学使计算的每一步都成为有意义的操作，学生在操作中理解算理、掌握算法。

提炼算法实际上就是：追求简洁表达，合并计算步骤，书写竖式形式，抽象归纳概括，形成运算法则。

因此，在小学数学教学中对学生进行理性精神的启蒙是非常重要的，不仅能够提高学生对数学学习的积极性和兴趣，而且让学生学会理性思考、形成理性思维、感悟理性的力量，提升学生综合能力和核心素养。

（二）育美

数学具有重要的美育功能，数学美往往是数学创新的动力和追求，学生的数学素养在求美过程中得到发展是一个普遍现象。因此，教师应对学生加强数学美的教育，让学生在学习中发现数学之美、欣赏数学之美、受到数学美的熏陶，在对美的追求中，创造数学之美，提高数学核心素养。“育美”成为了发挥数学文化教育功能的重要途径。

[案例5]守恒永远是美丽的

我们可以通过几何画板动态演示变化中的三角形，如改变三角形边长、内角……不管三角形怎么变化，三角形的内角和总是180°。三角形内角和定理是“守恒之美”的表现。

“变化中的不变”就是规律，找到了这样的规律就可能发现公式、法则、性质；寻找不变量不仅是数学研究的任务，还是科学研究和社会研究的任务；“变化中的不变”也是守恒，守恒永远是美丽的。教师应当让学生在发现和欣赏数学之美中学习“三角形内角和定理”。

[案例6]雪花线的奇异之美

将一个等边三角形的每条边三等分后，在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，并去掉中段，接着，再将所得图形的每条边三等分，在中段上作等边三角形，去掉中段……不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线，如图7。

如果学生只感受到“雪花线”外在的“对称之美”，那就错过了令人惊异的奇异美：它的面积是有限的，而它的周长却是无限的。

（三）立德

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》和党的十八大报告都提出把立德树人作为教育的根本任务。小学数学教学要进行德育渗透，对学生进行有效的思想品德教育。

[案例7]在“历史的故事”中获得心灵上的震撼

圆周率的认识过程，是人类对数学的认识与发展的具体表现。圆周率吸引了许许多多的中国古代数学家进行长时间的研究，从《周髀算经》到魏晋时期的刘徽，再到公元460年左右的祖冲之，从π≈3到π≈3.14，接着到π≈3.1415926，最后到π≈3.14159265358979……在文化的视角下，学生经历与回顾对圆周率的认识的历史，再现历史瞬间、重演发现过程，由此，学生真切地品味到数学“悠久历史”带来的自豪感、真切地体会到数学家锲而不舍的探索精神、感受到数学的严谨性，学生“思接千年，情寄数学”。

教师在教学中介绍数学家的故事，让学生感受数学家的科学精神；查找数学符号来源，让学生体会科学发明过程；探访历史数学名题，让学生领略数学思想方法的魅力。

数学教学应当充分利用数学史料来还原、再现数学知识的发现过程，揭示知识产生的背景、展示知识形成的过程、预示知识发展的前景，让学生经历知识产生、形成与发展的全过程，充实他们的数学文化底蕴。

中华民族有着灿烂的数学史，教师挖掘小学数学教材中的德育素材，恰当地运用数学史料、趣事，反映中国古代数学方法的突破，介绍我国古代科学家的杰出成就，激发学生的民族自尊心、自信心、自豪感和爱国热情，弘扬民族精神。

[案例8]挖掘数学品质，进行辩证唯物主义观点启蒙教育

我国古代著名思想家墨子曾说：“大圆之圆与小圆之圆同。”意思是说：不管大圓还是小圆，它们的圆周率是相同的。我们也可以将其理解为：千变万化的圆，它的周长与直径的比是一个固定不变的数。与之相似的还有“三角形千变万化，内角和总是180°”。