一题多解，魅力无限

汪春桥

摘 要：《义务教育数学课程标准》提到：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验。按此理念去设计教学，采用探究式教学法为主、启发式设疑诱导为辅的教学方法，体会其中蕴含的数学思想，加强数学知识的应用，领悟学习的实用价值。

关键词：一题多解；思想方法；思维品质

在平时的几何教学中，我们都会与几何图形打交道。其中会遇到求相关图形面积的问题，很多学生可能对这些问题感到棘手，甚至无从下手。实际上只要认真观察分析、整合分解，利用适当的数学思想方法，很多问题便可迎刃而解。在此，我从平时的教学当中，提取一个书本习题进行探析。

【例题】如下图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所圍成的图形（阴影部分）的面积为 .

【分析一】整体和差法

图中阴影部分面积可以看作4个半圆的面积之和与正方形面积之差（重叠部分）。

在此引导学生观察图形，整体思考，考虑到图中阴影部分面积是几个规则图形的重叠，利用面积和差法，使问题得解。其中渗透整体思想、数形结合思想与化归思想，可训练、考查学生分析图形、掌控全局、解决问题的能力与思维品质。

【分析二】局部对称法

观察图形，因为正方形与圆都具有轴对称和中心对称性质，可以证明出图中阴影的四个部分也具有对称性与全等性。如果连接正方形的中心与其四个顶点，即可得到八个全等的小弓形。观察每个半圆弧顶的两个小弓形，其面积之和可看作一个半圆面积减去一个四分之一正方形（一个等腰三角形）面积的差。这样，阴影部分面积为两个小弓形面积的四倍，从而得出答案。

在此引导学生观察图形，整体思考，化整为零。考虑到图中阴影部分面积是几个局部图形面积的倍数，利用局部对称法，使问题得解。其中渗透整体思想、数形结合思想、对称思想与化归思想，可训练、考查学生分析图形、统观全局、化整为零的解题能力与思维方式。

【分析三】代数求解法

观察图形，因为正方形与圆都具有轴对称和中心对称性质，故图中阴影部分可视为四个全等的纺锤形，另外四块空白部分也是全等的。可设每个纺锤形面积为x，每个空白部分面积为y，由图形可知，四个纺锤形面积与四个空白部分面积之和为整个正方形的面积，两个纺锤形面积与一个空白部分面积之和为一个半圆的面积，从而可列方程组4x+4y=a22x+y=π（）2，求出x、y的值，得到阴影部分的面积。

在此引导学生观察图形，整体思考，利用设未知数，列方程组的方法，使问题得解，其中渗透整体思想、数形结合思想、方程思想与化归思想。运用代数知识解决几何问题，往往会收到意想不到的效果，能够解决很多感到棘手的数学问题，可以训练学生的代数思维与发散思维能力。

【分析四】减白求黑法

观察图形，图中上下两个白色部分面积可看成正方形面积减去左右两个半圆面积的差。这样整个阴影部分面积可看成正方形减去四个白色部分面积的差。

很多数学问题可另辟蹊径，从目标的反向出发，发展学生的逆向思维，训练学生多向思维能力。

【分析五】全等割补法

全等割补是几何证明与计算当中常用的方法，本题亦不例外。观察图形，可将图中右侧半圆割补到正方形左侧，顺次连接割补后左侧圆与正方形交汇的四个顶点，得到一个新的正方形。新正方形内阴影部分面积可看作圆的面积减去正方形面积之差。则整个阴影面积就为其两倍，从而得解。

在此解法中，主要引导学生怎样将不规则图形转化为规则图形，运用化归思想、迁移思想，通过全等割补，巧妙地达成解题

目标。

当然，本题的解决不止这几种方法，例如局部对称法就有另外的思考方式。

百川归海，殊途同归。在平时的学习当中，对于具体的问题，经历观察，操作探究，在掌握基本知识、基本技能、基本方法的基础上，运用不同的数学思想方法，引导学生整体思考，多向思维，开拓创新，培养一题多解的能力与思维方式，必会进一步体现数学的魅力及价值，激发学生的学习兴趣，提升学生的数学素养，开创数学学习的一番新天地。

编辑 郭小琴