浅谈高中数学教学中分类讨论思想的渗透

摘 要：很多高中学生存在分类讨论意识不强，不能自觉运用分类讨论思想解决问题，教师在教学中要重视向学生渗透分类讨论思想。实践证明，如果教师在平时的课堂教学中能利用一切机会向学生渗透分类讨论思想，循序渐进地让学生了解几种常见的需要进行分类讨论的数学问题，利用例题、习题的教学引导学生分类讨论，能不断提高学生运用分类讨论思想解决数学问题的能力，能培养学生思维的条理性、严谨性、完整性。

关键词：分类讨论思想；渗透；常见的分类；解题教学

应用分类讨论思想有利于数学知识的系统化、整体化，能促使学生全面、深入地研究问题，有利于培养学生思维的条理性、严谨性、完整性。高考数学试题中经常出现应用分类讨论思想解决的数学问题，小到填空题、选择题，大到解答题都经常见到它的身影，但是学生经常因为分类意识不强，考虑不够全面而遗漏可能的答案，从而导致失分较多。究其原因，笔者认为有两方面：一是因为分类讨论思想是难点问题；第二是因为教师在平时的课堂教学中，没有利用一切机会经常向学生渗透数学的分类讨论思想。因此教师在高中数学课堂教学中如何向学生渗透分类讨论思想，显得尤为重要。下面结合自己的教学实践，谈谈如何在数学教学中渗透分类讨论思想。

一、 在教学过程中结合教材有意识地向学生渗透分类讨论思想

分类讨论思想贯穿于高中数学教材的许多部分，教师要充分挖掘高中数学教材，在教学中进行数学分类讨论思想的渗透。如利用学习指数函数和对数函数的单调性、直线的方程、任意角的三角函数、等比数列的前n项和、圆锥曲线的标准方程、直线和圆锥曲线的位置关系、计数原理等机会，逐步向学生渗透分类讨论思想，使学生形成分类意识。现在以“指数函数的单调性”学习和“两个计数原理”学习为例，来看看如何在数学教学中渗透分类讨论思想。在进行“指数函数的单调性”教学时，可先让学生举出几个不同底数的指数函数，然后让学生分组画出它们的图象，观察所画的图象得出相应的指数函数的单调性，最后引导全体学生根据各组所得的结果归纳为两种情况：1. 当01时，函数y=ax在（-∞，+∞）上递增。通过分类讨论使学生对指数函数的单调性有了清晰、完整的认识，同时强化了学生分类讨论的意识。“分类加法计数原理”学习过程就是分类讨论思想运用的过程，例：把5种不同的颜色的花种在图中5块区域，每块只能种一种颜色且相邻的两块不能种同样颜色的花，有多少种不同的种法？先让学生自己解决，很多学生还不会意识到需要分类，直接按分步计数原理按12345的顺序种花，通过引导，学生逐步意识到要对24是否同色进行分类，分成同色和不同色两类，有些同学还提出不同的分类方法：按种几种颜色的花进行分类分成3类；教师适时进行引导总结让学生体会到分类讨论应按一定标准分类，分类要做到不重不漏。

二、 在教学过程中让学生逐步了解几种常见的需要进行分类讨论的数学问题

（一） 數学问题中涉及的有关数学概念、定理、公式、性质是分类给出的，常需要进行分类讨论

如绝对值的概念是分类给出的，解答此类问题时经常要根据绝对值的概念进行分类讨论。再比如等比数列的求和公式分两种情况q≠1和q=1，解决此类问题时当公比q不确定时常常进行分类讨论。

（二） 数学题目中出现的字母取值不同会使得结果不同，需要进行分类讨论

例如：已知f（x）=x2-2ax，x∈[1，3]，求f（x）的最小值g（a）。

本题中a的取值范围不同就会导致f（x）的最小值发生改变，因此需要对a的取值情况进行分类讨论。

（三） 数学题目中出现的图形的位置或形状不能唯一确定时，需要进行分类讨论

例如：已知F1，F2分别为圆锥曲线C的两个焦点，且曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2，则曲线C的离心率等于（ ）

A. 12或32B. 23或2C. 12或2D. 23或32

（四） 有些题目包含多种可能或多种情况的条件或结论，需要进行分类讨论

有些数学题目的条件包含多种可能，解题时需要考虑所有情况，运用分类讨论思想加以解决。有些数学问题的结论有多种情况，解答时要全面罗列出来。

三、 在教学过程中利用例题、习题引导学生分类讨论，提高解题能力

在高中数学教学中，教师不仅要结合教材向学生不断渗透分类讨论思想，让学生树立分类讨论意识，更重要的是教师应利用数学解题教学来引导学生合理、准确地进行分类讨论，使学生较全面了解分类讨论的原则、步骤，并且能自觉、灵活地运用分类讨论思想解决有关问题，提高解题能力。在以下四部分知识中分类讨论思想应用较为广泛：

（一） 在函数和导数中的应用

例如：已知函数f（x）=lnx-c2x2+cx（c∈R），求f（x）的单调区间。

由求单调区间的步骤可知需对f′（x）=0的点是否在定义域内进行分类。

（二） 在数列中的应用

例如：设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，3…），则q的取值范围为 。

（三） 在排列、组合与概率中的应用

例如：方程ay=b2x2+c中a，b，c∈{-3，-2，0，1，2，3}，且a，b，c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）

A. 60条B. 62条C. 71条D. 80条

（四） 在解析几何中的应用

在考查直线与圆锥曲线位置关系时，当直线的斜率不确定时，常分斜率是否存在进行讨论。

在解题教学时教师可引导学生总结运用分类讨论思想解决问题的基本步骤：（1）确定分类对象；（2）按照标准进行合理分类；（3）通过计算逐类分别讨论；（4）归纳分类结果，得出答案。

高中学生分类讨论的意识还不强，教师在数学教学中要采取各种切实有效的措施逐步向学生渗透分类讨论思想，使学生在潜移默化中掌握分类讨论思想，从而培养学生思维的条理性、严谨性、完整性。

参考文献：

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[4]孙慧玲.在数学教学中渗透分类讨论思想[J].读写算（教育教学研究），2011（65）.

[5]王勇.2012年高考数学客观题中的综合探究题赏析[J].考试（高考数学），2012（11）.

作者简介：

林国本，福建省福州市，福建省福州市福清第二中学。