陕西 韩红军 张教训
含参数函数单调求参数取值范围的问题涉及知识点多,考查面广,叙述形式多变,解题方法灵活,能充分考查学生的数学思想、计算功底和优化思维能力.本文将此类问题进行归类,探究每一种类型的共同属性,寻找解题策略或方法.
【变式】若函数f(x)=lnx+x2-ax为增函数,求实数a的取值范围.
①若a<0,g(x)min=g(0)=1>0,满足f(x)在(0,+∞)上为增函数;
【评注】注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.
【变式2】(2016·长春质量检测试题改编)若函数f(x)=e1-x(-a+cosx)(a∈R)存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
【例5】已知函数f(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1(k∈R),若函数f(x)在区间(0,3)上不单调,求实数k的取值范围.
【解析】解法一(直接法):f′(x)=3x2+2(k-1)x+k+5,因为函数f(x)在区间(0,3)上不单调,所以导函数f′(x)在区间(0,3)上存在变号零点,即f′(x)=0存在变号实根.
【评注】函数在区间上不单调可以直接从正面考虑,即导函数存在变号零点,转化为f′(x)在区间上有实根的问题.也可以间接考虑,利用补集的思想求解.
【变式1】已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R),若函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,求实数a的取值范围.
解得a≤-5.
解得a≥1.
函数y=f(x)在x∈R上单调递增.
【变式2】若函数f(x)=2x2+(x-2a)|x-a|在区间(-3,1)上不是单调函数,则实数a的取值范围是
( )
A.[-4,1] B.[-3,1]
C.(-6,2) D.(-6,1)
所以0≤a<2;
解得-6