透析零点问题,提升数学觉悟——求参数范围的函数零点问题为例

张心安

(安徽省黄山市黄山旅游管理学校　245799)

求参数范围的函数零点问题综合性强,始终是高中学生数学学习中的难点问题.这类问题的解决一般是首先运用构造函数或分离参数方法对问题进行转化,再以导数为工具,数形结合去解决问题.

问题1(2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟试卷)已知函数f(x)=ex+lnx—ax在(1，3)有零点，求a的取值范围.

方法一构造函数,数形结合

分析:观察函数f(x)特点，构造函数时注意指对分离，f(x)=0⟺lnx=ax—ex，则易于作出两函数图像，并对交点情况进行讨论.

解令h(x)=ax—ex,g(x)=lnx,则h′(x)=a-ex

(1)当00且 单调递增，h(x)与g(x)在(1，3)无交点.

(2)当e

当x∈(1,lna),h′(x)<0,h(x)单调递减；

(3)当a≥e3,x∈(1，3),∴h′(x)>0,h(x)>h(1)>0,又h(3)=3a-e3>2e3>ln3 ,h(x)与g(x)无交点.

方法二分离参数,数形结合

方法一构造函数,数形结合

分析观察函数f(x)特点，构造函数时注意将对数型分离，f(x)=0⟺k(x+2)=x2-xlnx+2,则易于作出两函数图像，并对交点情况进行讨论.

方法二分离参数,数形结合

当x∈(1,+∞),h′(x)>0,∴h(1)=1=h(x)min,

高中学生在数学学习中,还会遇到更多类似问题,问题呈现不尽相同,因而学生解题的关键应是不断提高自我的数学觉悟,体会并能应用转化思想,正确利用导数知识,数形结合,透析问题,充分领悟数学的真谛.