从2017年高考试题谈近似与估算思想的应用

许冬保　朱文惠

(江西省九江市第一中学　332000；江西省九江市濂溪区第一中学　332000)

一、近似与估算思想概述

在研究近似计算的时候，常常会联想起“估算”(或“估测”)．虽然估算确实也是一种近似，但严格说来，估算与近似计算并不完全相同．近似计算是一种数学方法，侧重数的处理；而估算往往对应某物理量的估算，其中涉及到相关的物理原理或物理模型，是基于物理原理或物理模型视角下的一种数学近似运算，侧重对所求物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致推算的一种近似方法，其特点是在“理”不在“数”．灵活应用物理知识对具体问题进行合理的估算，是学生科学素养和学习潜能的重要体现．在高考命题中，近年来对有关物理量的估算试题呈上升趋势．

对于物理量的估算，如果从估算所经历的过程及最后结果的意义上进行考量，它与数学上的近似计算紧密关联．基于此，本文以2017年高考试题为例，从数学与物理相互渗透、融合的角度探讨近似与估算思想在物理学上的应用．

二、近似与估算思想在物理解题中的应用

1．均匀介质模型与传播距离的估算

例1(浙江选考题)4月的江南，草长莺飞，桃红柳绿，雨水连绵．伴随温柔的雨势时常出现瓢泼大雨，雷电交加的景象，在某次闪电过后约2秒小明听到雷声，则雷电生成处离小明的距离约为 ().

A. 6×102m B. 6×104m C. 6×106m D. 6×108m

解析雷声按机械波速率传播，假定声波在均匀介质中匀速率传播，取声波的波速为340m/s．小明在某次闪电过后约2秒听到雷声，则雷电生成处离小明的距离约为x=vt=340×2m=680m．选项A正确．

点评实际上雷声在空气中的传播速率是变化的，并非匀速率传播．在常温下，取空气中的声速为340 m/s，该声速的值是一个常数，应该记住，上述估算是按理想情形考虑的．由于雷电往往交织在一起，容易误判雷声的速率等于光速，而错选答案D．

2．分子模型与密度的估算

例2(江苏物理题)科学家可以运用无规则运动的规律来研究生物蛋白分子．资料显示，某种蛋白的摩尔质量为66 kg/mol，其分子可视为半径为3×10-9m的球，已知阿伏伽德罗常数为6.0×1023mol-1．请估算该蛋白的密度．(计算结果保留一位有效数字)

3．匀变速运动模型与平抛位移的估算

例3(海南物理卷)已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s月和s地，则s月:s地约为().

A．9:4B．6:1 C．3:2D．1:1

点评该题涉及2个理想化物理模型，即忽略天体自转因素的影响；地球上的平抛运动不计阻力因素的影响，且认为重力加速度保持不变．因此，无论在地球上还是月球上，水平抛出的物体均做匀变速运动．

4．质能方程与核能的估算

A．3.7MeVB．3.3MeV C．2.7MeVD．0.93MeV

解析由核反应方程，知反应前后的质量亏Δm=2.0136u+2.0136u-3.0150u-1.0087u，Δm=0.0035u．由爱因斯坦质能方程知，在氘核聚变反应中释放的核能为ΔE=Δmc2=0.035×931MeV．即ΔE=3.2585MeV≈3.3MeV．选项B正确．

点评爱因斯坦质能方程是核能估算的依据，最后结果保留2位有效数字，是一种数学近似．

5．光子论与分子电离能的估算

例5(北京理综卷)2017年年初，我国研制的“大连光源”——极紫外自由电子激光装置，发出了波长在100 nm(1 nm=10-9m)附近连续可调的世界上最强的极紫外激光脉冲．大连光源因其光子的能量大、密度高，可在能源利用、光刻技术、雾霾治理等领域的研究中发挥重要作用．

一个处于极紫外波段的光子所具有的能量可以电离一个分子，但又不会把分子打碎．据此判断，能够电离一个分子的能量约为(取普朗克常量h=6.6×10-34J·s，真空光速c=3×108m/s)().

A．10-21J B．10-18JC．10-15JD．10-12J

点评根据题意可知光子的能量足以电离一个分子，因此该光子的能量应比该分子的电离能大，同时又不能把分子打碎，因此两者能量具有相同的数量级．该题分子电离能的估算，实际上是在能量守恒条件下的一种数量级的估算．

6．电子束能量与物体动能的估算

(上海市学业水平等级性考试)从大型加速器射出的电子束总能量约为500GeV(1GeV=1.6×10-10J)，此能量最接近().

A.一只爬行的蜗牛的动能B．一个奔跑的孩子的动能

C．一辆行驶的轿车的动能D．一架飞行的客机的动能

解析电子束总能量约为500GeV，相当于8.0×10-8J的能量．一只爬行的蜗牛的质量约为15～25g，速度约为1.5～5mm/s，则其动能约为 2×10-8～3×10-7J；孩子的质量取20kg，速度取1m/s，则动能为10J；轿车的质量取1500kg，速度取15m/s，则其动能约为2×105J；飞行的客机的质量取50t，速度取300m/s，则其动能为2×109J．比较可知，正确选项是A．

点评关于蜗牛的质量及速度在初中物理学习中学生已经接触了，因此，一只爬行的蜗牛的动能的估算并不困难．而对于一个奔跑的孩子的动能的估算，涉及2个数据，即孩子的质量20～40kg及运动速率1～3m/s，则动能范围约为10～180J，这与电子束总能量相差较大，选项C、D远超出孩子的动能，显然参考答案不正确．由此可推理知，选项A是最佳选择．对于蜗牛、孩子、轿车、客机动能的估算，只要能够判定其动能与电子束总能量相差较大就可以通过剔除法予以选择．解决本题的关键是能够确定孩子动能的大致范围．