广义非线性Schrödinger扰动耦合系统的泛函渐近解

张海涛 ，汪维刚*，汪桂莲，汪方圆，陈方杰，李 欢

（1.合肥幼儿师范高等专科学校基础部，安徽合肥230011；2.安徽省桐城市龙河中学，安徽桐城 231400；3.云南大学软件学院，云南昆明650091；4.桐城师范高等专科学校理工系，安徽桐城231402）

非线性薛定谔方程已经被广泛应用于现代光通信技术中[1]。如何求解非线性薛定谔方程是一个重要课题，近来许多学者在非线性问题方面做了大量工作[2-10]，求解一类非线性问题的方法不断改进，包括平均法、边界层校正法、匹配法和多重尺度法等等，经过改进的广义变分迭代方法也是其中一种有效的新方法。本课题组利用微分不等式等方法研究了一类非线性问题[11-16]。本文中讨论与近代物理有关的一个非线性扰动薛定谔方程，利用非线性理论和改进的广义泛函变分迭代方法以及用求精确解和近似解相结合的技巧，得到相应方程的耦合解的渐近解。

一类广义非线性薛定谔扰动耦合模型：

其中u(x,t)、v(x,t)为对应系统的物理场函数，ai、bj(i=1,2,3;j=1,2)为对应物理量的加权参数，f、g为物理场函数的扰动项，hi(i=1,2,3)为场函数的初始函数，它们是在相应的变化范围内的充分光滑的函数。

为求得广义非线性薛定谔扰动耦合模型(1)～(3)的近似解，首先考虑如下对应的无扰动情形下的最简单的耦合系统

并满足初始条件(3)的解。显然，(4)式、(5)式的解为

其中Ci(i=1,2,3)为任意函数。再由条件(3)，可决定Ci(i=1,2,3)为

于是问题(3)～(5)的解为

其次，因非线性耦合模型(1)～(3)一般不能得到有限项初等函数形式的精确解，所以，用广义变分迭代方法来求得非线性扰动薛定谔扰动耦合模型(1)～(3)解的近似表示式。

在行波变换z=x+ct下引入泛函：

式中 uˉ、vˉ分别为 u、v的限制变量，λ 为待定函数。将(8)式进行变分运算

在(9)式中，令δ F=0，可得到λ应满足

由(10)式，不难得到：

由(8)、(11)式构造如下渐近解的广义迭代表达式：

（12）、（13）式中 n=1,2,…，选取初始迭代u0(z)为非扰动方程(1)的一个孤子精确解，即并由迭代关系(12)式可得到序列{un(z)}。由f的假设条件，可以证明级数致地成立。 设u(z)=nli→m∞un(z)，再对(12)式两边取极限n→∞，即可证明u=u(z)就是扰动非线性方程(1)的解。亦可发现解连续地依赖于F，故解具有稳定性。

又考虑到小参数的扰动影响，对原先模型作了一个较简单的修正：

又因为广义非线性薛定谔扰动耦合模型的ε为正的小参数，所以可以用摄动理论以及不动点定理证明。非线性薛定谔扰动耦合模型的第n次摄动渐近解有如下的估计式：

ε微小的变化所带来的变化是可求的。

从以上稳定解求解过程可知，渐近解是可求的，参变数的微小变化所带来的变化也是可求的，因而本系统是在稳定中渐近变化的，也是可控的。本文中的精确解和渐近解相结合的处理方法也可应用于理论物理、生化问题等方面相关的研究。

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