S-可数仿紧空间

孙文文，何兆容

（1.四川省攀枝花市第三高级中学，四川攀枝花617000；2.汕头大学理学院，广东汕头515063）

紧空间[1]最早由Alexandroff和Urysohn提出以覆盖性质来刻画的一种拓扑空间，它可以看作实直线上的Heine-Borel有限覆盖定理在一般拓扑空间中的推广。随后Dieudonne提出仿紧空间[2]的概念，并用加细覆盖来描述仿紧空间。仿紧空间再进一步推广，可以得到更多用加细覆盖来描述的空间，这为拓扑空间的研究提供了新的方向。Levine在拓扑空间中引入半开集的概念[3]，此后又有了半闭集等概念，随着拓扑空间中概念的不断提出和完善，一部分学者开始对S-类空间进行研究，如Alzoubi的S-paracompact Spaces等[4]。近几年来，国内诸多拓扑学者对S-仿紧空间再作推广，先后定义了S-meso紧空间[5]、S-弱θ-加细空间[6]、S-亚紧空间[7-8]、S-次仿紧空间[9-10]等，并对这些空间的性质进行了相应的研究，得到一些良好的结果。本文结合仿紧空间和S-类空间的定义及其相关性质，引入了S-可数仿紧空间，并研究其覆盖性质、正规性、映射性质和乘积性质。下面先给出相关的基本定义。

定义1[2]X是拓扑空间，若存在X的一个开集U使得U⊆A⊆Uˉ，称X的子集A为半开集。半开集的补集X-A为半闭集。包含A的所有半闭集的交称为A的半闭包，记作sclA。

定义2[4]若任给x∈X，存在x的一个开邻域U使得U⋂A≠∅只对有限个A∈A成立，则称空间X中的集族A为局部有限的。

定义3[5]设A、B是空间X的覆盖。若任给B∈B，存在A∈A使得B⊆A，则称B为A的加细。若B是X开（闭、半开、半闭）覆盖，则称B为A的开（闭、半开、半闭）加细。

定义4[6]若X的任意开覆盖有局部有限的开加细覆盖，则称空间X为仿紧空间。

定义5[4]若任给x∈X，x∈A只对有限个A∈A成立，则称空间X中的集族A为点有限的。

定义6若任给闭集A，B⊆X，存在X中不交的半开集U，V使得A⊆U，B⊆V，则称空间X为半正规空间。

定义7[4]若任给y∈Y，f←()y为X的紧子集，则连续闭映射f:X→Y为完备映射（或称紧映射）。

定义8[4]若任给y∈Y，f←( )y为X的可数紧子集，则闭映射f:X→Y为准完备映射。

定义9[4]若X的每一可数开覆盖具有局部有限的半开加细覆盖，则空间X称为S-可数仿紧空间。

下面是本文的主要结论。

定理1下列结论等价：

（i）X是S-可数仿紧空间；（ii）对X的每一可数开覆盖{ }Unn∈N，存在局部有限的可数半开覆盖{ }Vnn∈N使得Vn⊆Un，n∈N；（iii）对X的每一递增的开覆盖，存在X的半闭集序列{ }Fnn∈N使得Fn⊆ Wn（n ∈ N）且

（iv）对X的每一递减闭集序列{ }Fnn∈N满足存在X的半开集序列{ }Wnn∈N，使得

证明 （i）⇒（ii）设U={ }Unn∈N是 S-可数仿紧空间X的可数开覆盖，由（i）知存在局部有限半开覆盖，存在

令是

[1]ALEXANDROFF P S,URYSHON P.Surles spaces topologies compacts[J].Bull InterAcad Pol Sci,1923(A):5-8.

[2]DIEUDONNE J.One Generalization dense compact spaces[J].Math pureAppl,1944,23:65-76.

[3]LEVINE N.Semi-open sets and semi-continuity in topological spaces[J].Amer Math Monthly,1963,70:36-41.

[4]ALZOUBI K Y.S-paracompact spaces[J].Acta Math Hungar,2006,110:165-174.

[5]杨思鑫,幸华雄.S-meso紧空间[J].山东理工大学学报(自然科学版),2013,27(6):60-62.

[6]吴昭鑫,张焰杰,杨思鑫.S-弱θ-加细空间[J].佳木斯大学学报(自然科学版),2013,31(4):609-611.

[7]张焰杰,吴昭鑫,杨思鑫.S-亚紧空间[J].四川理工学院学报(自然科学版),2014,27(1):98-100.

[8]彭知南,朱培勇.关于S-亚紧空间的一些结果[J].西南民族大学学报(自然科学版),2016,42(6):692-695.

[9]何兆容,石鹏飞,孙文.S-次仿紧空间[J].佳木斯大学学报(自然科学版),2014,32(6):947-949.

[10]高国士.拓扑空间论[M].北京:科学出版社,2000:154-223.

[11]ENGELKING R.General topology[M].Revised and Completed Edition.Berlin：Heldermann Verlag,1989:373-418.