试析几何直观的教学价值

摘 要：几何直观是数学核心素养的重要组成部分，也是重要的数学思想方法。几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。利用几何直观产生直接认识，进行分析和推理，展开想象，从而促进学生思维的发展，提升学生的数学素养。

关键词：几何直观；数学概念；数学模型；计算能力；推理能力

作者简介：董玫玲，江苏省扬州市广陵区汤汪小学教师。（江苏 扬州 225000）

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）10-0011-02

新课标明确指出：“几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”可见，几何直观的实质就是利用图形产生直接认识，或者借助图形进行分析、推理和展开想象，其在小学数学学习中发挥着举足轻重的作用。

一、运用几何直观，帮助学生理解数学概念

数学概念是反映客观世界中数量关系和空间形式的本质属性的思维形式，其本身是精确的、抽象的。而小学生的思维处在由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡阶段，并且抽象思维常常需要直观形象的支撑。因此，在概念教学中，老师可以引导学生借助几何图形，由直观形象逐步理解抽象概念的本质。

教学“苏教版”三年级（上册）“分数的初步认识（一）”时，在学生将长方形纸分别折一折、涂一涂表示出它的之后，教师引导学生通过观察和比较，认识的本质属性。（如图1）

师：三张长方形纸中，涂色部分的形状不同，为什么都能用表示呢？

生：因为三张长方形纸都是被平均分成2份，涂色部分是其中的1份，所以都可以用表示。

分数是抽象的，理解必须是具体的。上述教学环节中，借助图形直观，并通过比较剥离出图形的非本质属性，抽象出“都是平均分成2份，涂色部分是其中的1份，所以都用表示”的本质属性。学生基于自己动手操作的经历和体验，借助对图形的观察和比较，从感性认识中进一步归纳和概括出的内涵。

二、运用几何直观，帮助学生建立数学模型

数学模型是对客观事物的一般关系的反映，也是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。在小学阶段，数学模型的表现形式为一系列的概念系统、算法系统、关系、定律、公理系统等，这些都是学生学习的重要内容。学生学习数学知识的过程，实际上是对一系列数学模型的理解、把握过程。而一些数学模型的建立，如能结合几何直观，学生的理解会更深刻。

如教学乘法结合律时，笔者创设了数小正方体的学习活动。（如图2）

通过交流不同的数法：从上面看，每一层有3×5个，有4层，共有（3×5）×4个；从前面看，一层有5×4个，有3层，共有3×（5×4）个。学生很容易理解（3×5）×4=3×（5×4）。再通过举例验证、类比归纳，从而建立（a×b）×c=a×（b×c），即乘法结合律的计算模型。

乘法分配律的代数模型是（a+b）×c=a×c+b×c，为了能让学生更直观地认识理解它，笔者出示了下面的图，要求学生说一说大长方形的面积可以怎么求。学生想出两种方法，恰好反映了乘法分配律的本质，同时这个长方形也成了乘法分配律的几何模型。（如图3）

三、运用几何直观，帮助学生提高计算能力

在数学运算教学中，提高学生计算能力，不仅是提高学生计算的熟练程度，更重要的是让学生理解算理，将计算的方法融会贯通于数学的其他方面，提高学生的数学素养。算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼和概括，它们是相辅相成的。在加、减、乘、除四则运算教学时我们不妨将几何直观融入其中，发挥几何直观对理解算理的作用。在运算教学中，也可以有效地借助几何图形让学生理解算理。例如，在教学分数乘法中，分数与分数相乘的算理显得比较复杂且抽象，如果简单采取示范告知的方式，不仅不利于学生对算理的理解，也无法促进学生数学思维的发展。因此，在教学中需要借助几何图形表示分数，从而让学生理解分数乘分数的算理。

出示：用长方形表示单位“1”，师生合作涂色表示出长方形的。

师：怎样理解×？

生：×表示把平均分成4份，取其中的1份。

师：你能在图中表示出来吗？

学生独立思考后，教师点名板演，如图4。

师：你能根据图示，写出

×的结果吗？说明理由。

生：× = 。从图上看，画虚线的部分相当于把长方形平均分成8份，取其中1份，所以 的 占长方形的。

上述教学片段中，教师注意引导学生利用几何图形表示分数乘分数的意义，进而直接得出分数乘分数的结果。同时，图形的直观便于学生确认和相乘时，把分子和分子相乘，分母和分母相乘的合理性。在此基础上，借助更多的实例以及几何直观，学生不仅可以顺利地认识分数乘分数的算理，而且能够逐步归纳概括分数乘分数的计算方法。

四、运用几何直观，促进学生推理能力的发展

皮亚杰在认知发展阶段论中指出，具体运算阶段的儿童虽然不能进行抽象的逻辑推理，但可以凭借具体形象的支撑进行直观推理。例如，三年级“分数的初步认识”教学后，在比较和的大小时，有的学生会受到整数大小比较的负迁移，认为>。为此，教师可以充分利用几何直观，让学生在两个同样大小的圆中分一分，涂色表示出这两个分数（如图5）。这样，学生可以根据两幅图中涂色部分的大小进行直接判断，还能够联系分数的含义进行分析和推理。借助几何图形，使学生能够更清晰地解释比较这两个分数大小的方法，发展学生的数学推理能力。

又如，在教学三年级“生活中的推理”时，引导学生通过列表画“√”“×”等方式进行推理，不仅使推理过程更直观、简洁，也促使学生的思维在短时间内得到了有效提高。生活中很多推理问题通过几何直观的方式都能有效解决。如A、B、C、D、E、F六支球队，每两个队伍比赛一场，当A、B、C、D、E分别赛了5、4、3、2、1场时，F赛了几场？学生根据条件，通过画图连线的方法进行推理很容易看出F队赛了3场。（如图所示）

总之，借助几何直观进行教学，可以形象生动地展现问题的本质，有助于促进学生的数学理解，在有机渗透数学思想方法的同时，提高学生的思维能力和解决问题的能力。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中，而且在整個数学学习过程中都发挥着重要作用。我国著名数学家华罗庚用一首七言绝句描述了数学中的一种非常重要的思想方法：“数形本是相依偎，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形缺数时难入微。”用图形说话，用图形描述问题、讨论问题，这是一种基本的数学素养。教师要从小培养学生几何直观的思考能力，使之在以后的数学学习中获得更大的进步和发展。

责任编辑 黄 晶