指数与对数函数教学的建模案例设计

贾晨

【摘要】深刻理解和掌握基本初等函数的概念和性质既是高中数学阶段学习的重要要求，也是学生学习和教师讲授的难点之一，将数学建模的思想融入这一部分教学，可有效提高教学习效果。本文针对指数函数、对数函数，介绍了相关数学建模案例设计，有一定的教学意义。

【关键词】数学建模 指数函数 对数函数 模型设计

【中图分类号】G642；O171-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）14-0129-01

一、引言

函数的定义及其性质是高中数学教学内容的重要组成部分，同时也是后续学习的必要基础，但是函数定义的抽象性给学生学习和老师讲授上述概念及性质带来了很大的困难，因此这一部分内容也成为高中数学学习和教学的难点之一。

数学建模将数学理论知识和实际应用紧密联系起来，是数学理论和实际应用之间的桥梁，将数学建模的思想融入函数概念与性质的教学，起到理论联系实际的作用，能提高学生对这些抽象概念与性质的理解和掌握，是十分必要的。

而在两者的结合上，合适的案例的选取与构造，又是决定建模思想辅助函数教学效果好坏的关键。已有文献中提出了一些用以加深學生对函数定义与性质理解的数学建模案例，但这些案例大多属于数学应用题范畴，大多数已经不是直接来自实际，而是经过了一定程度的数学建模加工得到的成品或半成品，问题的提法已经是数学化、理想化，具有条件清楚准确、不多不少、结论确定唯一、结果符合实际、不需要进一步修改和完善等特点，与数学建模有较大差别，因而在上述辅助教学方面起到的作用较为有限。本文将针对指数和对数函数，介绍相关的建模案例的设计。

二、基于数学建模思想的函数教学案例设计

（一）指数函数的模型设计

诺贝尔奖是瑞典化学家诺贝尔设立的。诺贝尔在逝世前立下遗嘱，把遗产的一部分约3100万瑞典克朗作为基金用于证券投资，投资获利平均分成两份，一份用于追加投资以弥补物价上涨带来的影响，另一份用于奖励在物理、化学、医学和生理学、文学、世界和平方面做成巨大贡献的人（1968年增设经济奖）。试建立模型分析诺贝尔奖奖金的变化情况。

模型假设

1.为方便计算，红利从颁发年份（1901）年算起。

2.假设年利率保持不变。

符号约定

y0，yn，xn，r分别表示起始本金、第n年本金、第n年利息和年利率。

模型建立

y1=y0+■=y01+■，x1=■

……

yn=yn-1+■=y01+■■，xn=■=y01+■■■

通过初始年份的奖金数据拟合得到利率r≈0.06640，代入xn即可得到任意年份奖金的数值。例如，2015年奖金值（单位：万瑞典克朗）

. x115=y01+■■■=3100×1+■■×■=710.2

2015年，我国科学家屠呦呦与国外两名科学家共同获得诺贝尔生理学或医学奖，当年诺贝尔奖奖金为800万瑞典克朗。

模型分析与改进的教学延展

基于复利理论，建立了反映奖金变化规律的指数函数模型，数据计算结果表明该模型具有较好的可信度。 此案例可有我国数学家获得诺贝尔奖引入，提出诺贝尔奖奖金确定问题，激发学生的学习兴趣。而在模型建立过程中通过教师引导下的学生自主探索，建立复利情形下投资增长的指数函数模型，这一过程显然能较好地帮助学术理解指数函数的概念与性质。同时，通过更合理的假设，模型可进一步改进，这可以在教师的指导下以学生小组探索的形式在课后完成。

（二）对数函数的模型设计

1981年4月，中国社会科学院考古研究所宣布，在我国新疆罗布泊地区发现楼兰古尸，为了科学研究的需要，必须尽可能准确地估计古尸的年代。

一个可以考虑的年代估计方法是利用古尸中的碳14含量，测量结果表明女尸中碳14的剩余量为初始值的一半。而研究发现碳14经过1000年剩余量为初始值的84%。下面建立碳14挥发的数学模型，对古尸年代进行合理推测。

假设初始时刻碳14含量为1，根据挥发速度与剩余量成正比的规律，剩余量与时间具有如下关系x=e-kt，，其中t表示时间，k为挥发系数。则考虑时间和剩余量的函数关系，则有如下对关系t=-■lnx。这是一个单调递减的对数函数，其中常数k计算如下：

碳14经过1000年剩余量为初始值的84%，计算得k=0.0001744

代入得到碳14挥发时间与剩余量的函数

t=-■

考虑女尸中碳14含量为初始值一半，即x=0.5，代入得

t（0.5）=-■ln0.5≈3974

根据模型计算结果， “楼兰女尸”死亡时距今约4000年。

本节课从学生感兴趣的“楼兰古尸”问题出发，采用“引—导—探—归—用—结”教学方法，内容不是老师罗列式的抛出而是通过学生思考基础上的探索，进而建立变量之间的对数函数模型，让学生在活动过程中掌握相关知识。

三、总结

数学建模思想融入高中函数教学，既可以有效提高函数理论的学习效果，同时也可以激发学生学习兴趣，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。因此，开展相关问题的理论研究与实践研究都有十分重要的意义。

参考文献：

[1]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]杨启帆.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2005.