对一节失败的高三专题复习课的反思*

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(广州市第四中学,广东 广州 510170)

1 教学背景

不久前，笔者上了一节失败的高三专题复习课．为什么说这节课是失败的呢？这是怎样的一节课呢？从选题，到备课，到上课，有哪些经验教训呢？针对这节课，笔者进行了反思，以供大家探讨，希望对高三的复习备考有借鉴价值．

当时教学进程已进入了高考第二轮专题复习，在几次周测中，笔者发现学生在遇到复合函数零点问题的选择题时，正确率特别低.而复合函数零点问题又是一个热门考点，在各地的模拟考中出现的频率较高，因此，有必要教会学生复合函数零点问题的一般解题方法．

复合函数零点问题的一般解题方法是：换元法、图像法．虽然这类题目综合程度较高，解题方法步骤繁琐，容易出错，但是解题原理并不难，解题方法步骤也比较固定.笔者所任教班级是重点班，学生思维活跃，具备通过学习掌握这种方法的基础．

复合函数零点问题，涉及到函数、方程、导数、极限、零点、不等式等知识点，蕴含了函数与方程、化归与转换、数形结合等数学思想，具有较高的教学价值．

基于上述原因，笔者确定了以“复合函数零点问题”作为公开课的主题．

2 设计思路

本节课是一节解题课，教学基本程序有3个阶段：解题方法的习得、解题方法的转化、解题方法的迁移与应用[1]．具体的教学环节如下：

环节1解题方法的习得.

1)尝试做题、展示交流.

师生活动学生尝试做例题．几名学生展示自己的思路，师生进行交流．

设计说明让学生思考，形成初步的解题思路，并进行展示交流，暴露问题，分析各种解题思路的可行性．

2)方法讲解.

师生活动教师分析例题，讲解解题方法与步骤．

设计说明教师讲解的关键：揭示问题的本质，将原问题进行等价转化；画出函数图像，数形结合，进行求解．

环节2解题方法的转化——模仿例题、运用方法.

师生活动学生做练习，教师巡视，发现学生存在的问题，作针对性讲解．

设计说明教师针对讲解时，要注意两个问题：1)题目的等价转化；2)换元法、图像法的细节．

环节3解题方法的迁移与应用.

1)变式训练、形成技能.

师生活动学生做余下的练习，教师巡视，针对学生的做题情况进行讲解．

设计说明通过变式练习，最终达到学生深刻理解解题原理、熟练运用方法、形成解题技能的目的．

2)方法总结.

师生活动教师总结复合函数零点问题的一般解题方法与步骤．

设计说明总结方法，点出此类题涉及到的数学思想．

3 学案选题

这节课笔者选取了6个题目：1个例题，5个练习题．打算先通过一个例题讲解解题方法，再通过练习巩固解题方法．为了方便说明问题，下面给出例题的详解．

( )

表1 f ′(x)和f(x)的取值情况

易知当x→-∞时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→0+．

图1

图2

即

t2-λt+2=0．

图3

4 教学情况

在展示交流环节，原来设想的激烈的思维碰撞场面并未出现．有思路的几个学生频频发言，但解题方向不明，而余下的学生成了沉默的大多数．笔者首先针对学生现有的解题思路，进行分析点评，指出其错误或不当之处，这已经花费了好些时间，然后再对题目进行详细分析、讲解．

本题的解题思路分析如下：

第1步，换元，原问题等价于

有4个实根x1,x2,x3,x4．

第3步，关于t的方程t2-λt+2=0可能有多少个根？(由图2可知：可能有0,1,2个根.)

第5步，画图、列式、解决问题．

完成例题的讲解后，笔者让学生做练习，发现仍有相当多的学生不能将问题等价转化而陷入困境．笔者只能逐题讲解，整节课成了教师的独角戏，学生思维参与度较低，原来设计的练习题也没有做完，教学任务没有完成．

5 教学反思

一节课的失败是由多个因素造成的，本节课失败的原因主要有以下两个方面：

1)例题选取不当[2]．例题难度过大，前面缺少必要的容易题作铺垫，学生入手困难．

②原问题的等价转化，是学生难以理解和接受的．学生习惯于从字面上理解题目，考虑的是“方程的解”的问题，不能将题目转化为“函数的零点”“两个函数的交点”问题，缺乏数形结合思想．而且，本题要将原问题转化为两组函数的对应交点问题，这是本题最难的地方．

即

图4

从上述解法可以看出，本题综合程度较高，存在多种解法，且每一种解法都不容易理解．对于多数学生来说，几种解题思路在头脑中纠缠，学生陷入困境，不知所措．

2)对教学重点、难点理解不到位．讲解例题时，侧重于解题技巧，忽视了数学思想．

①本题涉及到较多的概念，应当进行概念的二次教学，提炼概念蕴含的数学思想[3]．例如，复合函数的相关概念与换元法，涉及到“函数(对应)思想”．笔者在讲授时，缺乏对复合函数必要的复习回顾，也没有提炼其中蕴含的数学思想．

②复合函数零点问题，本质上是在考查数形结合思想．方程的根、函数的零点、两个函数的交点，这三者之间的对应关系需要进行梳理．笔者在讲授时，未明确指出这三者之间的对应关系，对数形结合思想强调不够．

6 改进后的教学设计

根据上述反思剖析，笔者将教学设计进行了改进，改进后的教学设计如下：

6.1 复习引入

1)什么叫复合函数？

2)f(x)=e2x-2ex-3可以看成哪几个函数复合而成？

设计说明复习复合函数的有关概念，帮助学生回忆解题要用到的有关知识．在点评引入3)时，注意两点：第一，要强调“对应”：t2-2t-3=0有两个解t1=3，t2=-1,一个t对应一个x，另一个t找不到对应的x(即ex1=3有解x1=ln 3，ex2=-1无解)．第二，要有意识地用图像来进行说明，强调方程的根、函数的零点、两个函数的交点这三者之间的对应关系，强调“数形结合”(如图5和图6).

图5 图6

6.2 例题讲解

例2关于x的方程t=-x3+3x+2恰有3个根，求实数t的取值范围．

例3关于x的方程t=|-x3+3x+2|恰有4个根，求实数t的取值范围．

例5同例1.

设计说明1)在例5的前面设置3个例题，每个例题有各自的目的：例2是学生熟悉的三次函数，图像简单，题型常规，起点低，入手快；例3在三次函数的基础上，加一个绝对值，继续强化数形结合思想，承上启下；例4需要画两组函数的图像，分析交点情况，为例5的解决作准备．这样，4个例题层层深入，难度递进，前一题为后一题作铺垫，容易激发学生的学习积极性．

2)例5(原例1)的讲解，可以进一步优化如下：

⑧如图3，由零点定理有

6.3 课堂练习

( )

答案：C.

2)已知函数f(x)=|x·ex|，g(x)=f2(x)+λf(x)，若方程g(x)=-1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是______．

( )

答案:C.

( )

答案:C.

5)已知函数f(x)=|sinx|(其中x∈[-π,π])，g(x)=x-2sinx(其中x∈[-π,π])，设方程f(f(x))=0，f(g(x))=0，g(g(x))=0的实根的个数为分别为m,n,t，则m+n+t=

( )

A．9 B．13 C．17 D．21

答案:B.

专题复习，不是随随便便选几个题组合在一起就构成一个复习专题，而要进行精心设计，内容不能过难或过易，要有梯度，层层递进．专题复习的讲解，不是就题论题，不是讲解题技巧，而要侧重于渗透数学思想方法．波利亚曾说过，完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路．数学思想方法是解题的指导思想和基本策略，在教学中要注意渗透数学思想方法，这对于学生在学习过程中理解数学本质、激发学习兴趣、发展创造能力大有裨益．

参考文献

[1] 谭国华．高中数学解题课型及其教学设计[J]．中学数学研究，2013(8)：12-16.

[2] 金明，吴润文．让探究成为高三微专题复习课的主旋律——以一节高三专题复习课为例[J]．中学数学:高中版，2017(5)：5-8.

[3] 吴新建．高三微专题复习课的实践与思考——以复合函数的零点问题的教学为例[J]．数学通报，2016(5)：43-45.