揭示数学问题的本质 促进深度学习的实现*——以数列单调有界性的微专题教学设计为例

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(当湖高级中学,浙江 平湖 314200)

新一轮高中数学课程改革已经迎面向我们走来，基于核心素养的高中数学教与学策略有了巨大的转变.如何提升新课程改革背景下课堂教学的针对性、有效性，这是每位一线教师都在思考的问题.

1 数学本质的理性认知

数学教师时常感叹：40分钟的一节课不够用！准备充分的一节课，在授课过程中总会受到各种客观因素的制约，从而使课堂效果大打折扣，教学目标无法彻底实现；学生也叫苦连天，抱怨课堂信息量太大，无法消化.笔者所任教的高中把微专题运用到教学中后，这些现象得到了改观，课堂教学的有效性和针对性提升明显.但如何才能从根本上破解这个困局？笔者认为：教学设计中揭示数学问题的本质是解决问题的关键.

本质就是该类事物共有和特有的稳定属性，是事物变化当中保持不变的属性.数学本质是指数学本身所固有的，决定数学学科性质、面貌和发展的根本属性，简言之，数学本质是指具体数学内容的本真意义.而数学的每一个本质属性，又是建立在纷繁复杂的数学现象之基础上的，只有揭开这些现象表面的迷雾，才能将数学由“冰冷的美丽”化为“火热的思考”.

关于数学本质，浙江省金华市教育局教研室高中部主任、高中数学教研员张曜光老师和浙江省高中数学教研员、省特级教师张金良老师有着相似的观点:对数学本质的理解，需要我们对具体内容进行深入挖掘，一层一层地追问——隐藏在客观事物背后的是什么数学知识、数学规律，这个数学知识的本质属性是什么，统摄具体数学知识与技能的数学思想方法是什么.这些观点对笔者的触动极深，为此结合以下这堂微专题教学展示课，来彰显先进理念在具体的课堂教学中的指导意义.

2 数学本质的教学建构

2.1 准备基础知识

2.1.1 数列的单调性

一般地，设数列an=f(n)的定义域为I(其中I为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n})，如果对于定义域I上的任意两个自变量的值n，m,当n

2.1.2 数列的有界性

一般地，设数列an=f(n)的定义域为I(其中I为正整数集N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}).

1)若存在常数M，对任意的n∈I都有an≤M，则称M是它的上界；

2)若存在常数M，对任意的n∈I都有______，则称M是它的下界.

2.1.3 递推函数

设函数f(x)的定义域为I，值域也为I.若an∈I，an+1=f(an)，则称数列{an}为由函数f(x)导出的递推数列，函数f(x)称为数列{an}的递推函数.

2.1.4 函数不动点

1)设函数f(x)的定义域为I，值域也为I，若存在x0∈I，使得______，则称x0为函数f(x)的______.

2)不动点的几何意义：直线y=x与y=f(x)图像交点的______值.

设计意图数列是特殊的函数.用函数的观点来看数列，用函数的思想解决数列问题，这是本堂课立意的核心.本设计针对的是高三一轮复习初期刚学完基本初等函数的普通层次的学生.此时的他们，函数的基本概念记忆深刻，函数知识结构初步建立，类比函数概念给出的数列概念，是符合他们的认知水平的.在概念生成的过程中，通过填空的形式凸显关键点，引导学生做知识的类比迁移，主动建构概念，使学生真正深度参与到教学当中，为下面的深度思考打好基础.

2.2 开展探究教学[1]

2)当a1=-2时，求数列{an}的通项公式，并判断数列的单调性;

3)当a1=10时，研究数列{an}的单调性，并判断数列的单调性.

图1

问题5设一阶线性递推数列{an}满足an=pan-1+q(其中n≥2,p≠0,q≠0)，请归纳当0

问题6请继续观察图1，你能说出不动点x0与数列{an}的单调性之间的关系吗?

设计意图在新课程背景下，以问题为核心的教学探究成为中学数学教学及其研究的一个持续热点.本阶段设计采用了“问题探究”模式:启动点是一道学生熟知的简单例题，切口小，学生进入角色快；关键点是通过观察递推函数图像，找到一阶线性数列的形式化结论；落脚点是通过讨论归纳出此类型问题的一般性结论，从而发现单调性和有界性的内在联系.整个过程中学生深度参与，经历从特殊到一般的数学化过程，体会数形结合的强大抽象能力，最终构建出符合自己认知的数学知识平台，并透过繁杂的数学现象归纳总结出问题的本质.

笔者在设计时一直思考两个问题:1)本节课需要完成的教学任务是什么，是传授结论加以运用为主，还是运用数学概念、理论或方法解决问题？2)“问题链条”是否符合学生的主观认知和感受，是否能引导出学生内心真正的心理困惑？“问题”是反映学生数学思维的一种“指示剂”，它揭示了学生发现和探究数学问题的思维活动.教师的设计要能引起学生的兴趣，使学生感到问题的潜在价值，要能挑战学生的数学思维，这样的“问题探究”才具有学科价值.

2.3 引导思维深化

1)计算a1,a2,a3,a4，你有什么发现？

2)画出数列{an}的递推图，你有什么发现？

4)证明：数列{a2n-1}单调递减，数列{a2n}单调递增.

(2016年浙江省数学高考样卷第20题改编)

图2

思考1)此题的通项公式无法求解，函数是非线性的，递推图像(如图2所示)起到了什么作用?

例2已知数列{xn}满足：x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(其中n∈N*),证明：当n∈N*时，

1) 0

(2017年浙江省数学高考试题第22题)

思考1)你能看出题目中所蕴含的数列通项单调性和有界性吗?

2)能否类比例1中有界性的探究方法，找出xn的边界值?

设计意图两道例题是层层递进的关系.例1让学生明白：非线性的数列也可以研究，它的边界值也被单调性和有界性所影响.例2对单调性和有界性做了深度加工，鼓励学有余力的学生大胆猜想，xn的边界值是如何确定的.本环节的设计，目的在于引导学生透过现象认识本质，针对遇到的问题进行深度思考，通过突破教师设计的种种障碍，由浅入深，由表及里，在知识运用中深化认知，在解决问题中磨炼数学思维和技巧，从而达到举一反三、化繁为简的目的，真正做到融会贯通.笔者想通过这道例题告诉学生:高考题目设计者看问题的大局观和思维深刻性远远超越我们，但是对数学本质的认识与我们是一致的，我们也可以通过解决具体的问题，主动去探究发现其中的规律.

2.4 反思学习成果

教师小结：通过本节课的学习，说一说解决问题的心得体会.

1)单调性与有界性的内在逻辑联系；

2)数列与不等式的外在形式共存.

1)证明：对任意的n∈N*，an≤2an+1；

(2015年浙江省数学高考理科试题第20题)

设计意图经历了数列单调性和有界性的探究过程，学生体会到了函数和数列之间的内在联系，通过归纳概括一般性的结论，主动构建符合自己认知的知识架构.深度参与后教师有意识地引导学生进行深度反思，使学生分辨出本质和非本质属性的不同表象，与自己正在学习的知识之间建立起血肉相连的关系.再通过迁移和应用，巩固并完善所学，真正做到举一反三、融会贯通.本节课的教学就是要培养学生在质疑和探究中把握事物的本质的能力，发展他们深刻而灵活的思维品质，这样才是做到了深度学习，这样才能提高自己的学习智慧.

3 深度学习的反思感悟

张奠宙先生认为：数学成果通常具有3种不同的形态:1)数学家构建数学思想、发现定理时的原始形态；2)公开发表，写在论文里以及教科书里的学术形态；3)数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态.教科书里陈述的数学，往往是“冰冷的知识”.因此，数学教师的责任在于把数学的学术形态转化为教育形态，使学生既能高效率地进行火热的思考，又能比较容易地接受理解隐藏在“冰冷的知识”背后的数学本质.深度学习的实践和理论发展，就是对这一观点最好的诠释.研究深度学习，就是要克服机械学习和浅层学习的桎梏，让学生主动、积极学习，摆脱“教师教”与“学生学”的对立，使二者获得高度的统一，真正体现出数学知识应有的本质属性和教育价值[2].

3.1 深度学习下的学生学习是有意义的

学习数学是学生经历数学化、自己建构数学知识的活动过程.在这个“再创造”的过程中，学生要理解明线的知识，既显性的数学知识、文字形式，它反映知识之间的纵向联系；更要理解教材暗线的知识，即隐形的数学思想方法，它反映了知识横向联系.这种状态下的学习，学生不再是知识的旁观者，而是参与者，是与数学先驱者进行精神上交流的活动.经历了对知识的简单认知、初步了解、深刻理解直到完全认同的完整过程，体会了隐藏在知识背后的情感、态度、价值观，促进了自主发展的意识和能力，这才是深度学习下的有意义学习.

3.2 深度学习下的教师教学是有意义的

深度学习下的数学教学，着眼点在于研究教学法和对数学材料进行加工.教法上要加深对数学和课程基本结构的认识和理解，因为结构是数学本质不变的核心，掌握了学科知识的基本结构，就能把握住知识体系的核心和关键，就可以从宏观上理解学科知识，避免“只见树木不见森林”；教学设计要体现人的发展，分析和研究如何去实现以知识为载体的数学价值和数学自身的教育价值，呈现出一种追求“过程型”、探究“体验型”的模式，为学生的发展提供自由广阔的天地，引导学生探索获得知识、技能的途径和方法，培养他们的创造力和创新能力，如此深度教学才能真正在课堂教学实践中生根发芽，开花结果.

3.3 深度学习下的数学教育是有意义的

深度学习下的数学教育，实现了数学学科应有的价值.一方面，通过学习的过程和结果，学生的学习能力得到锻炼，它培养的学生具有深刻而理性的学科精神.学生通过学习教师精心整理的学科知识，经过自身的消化吸收和深加工后，理解了繁杂表象背后的核心本质，潜移默化中逐步生成数学学科素养.学生学到的不仅是静态的学科知识，更体会到了数学学科动态的不断探索和创新的文化内涵.另一方面，深度学习促进了学生作为具体的、社会历史实践主体的正确价值观的生成.成长和发展是当今社会对社会成员的基本要求，其形成有助于学生未来自主发展的核心素养，强化学生作为社会主体所必须具备的健康的身心、高水平的文化素养、强大的社会实践能力、高尚的精神世界，数学对价值观的形成有目共睹.

深度学习是有意义的学习，不是单纯的知识传递，而是在接受基础上的再创造；深度学习是师生和谐发展的学习，通过教学内容这个桥梁获得高度统一；深度学习是终身制的学习，强调了理性思维，鼓励不断前行；深度学习是科学性的学习，强调批判性的接受，强调深度思考的核心地位，这就是对学科本质和知识意义的最好理解.

参考文献

[1] 沈新权，曹鸿德.一阶递推数列的有界性和单调性[J].数学通报，2013,52(7):60-63.

[2] 郭华.深度学习及其意义[J].课程·教材·教法，2016，36(11):25-32.