“说题”在数学习题课教学中的实践性思考

朱捷

[摘 要] 《课标》明确提出了教师在数学学习活动中应倡导自主探索、动手实践、合作交流以及阅读自学等数学学习方式的具体要求，并且应该努力帮助学生养成独立思考与积极探索的良好习惯，使学生在体验数学发现与创造的过程中树立发展创新的意识. “说题”与传统意义上的习题课自然会有本质区别，学生针对课堂活动中的试题展开“说”的练习，发挥学生学习自主性的同时更为重要的是使学生明白了“说题”说什么和怎么说.

[关键词] 高中数学；说题；习题教学

由学生自己去发现或者创造出来要学的东西才是数学学习唯一正确的方法，这一观点是弗赖登塔尔早就提出过的. 引导与帮助学生进行这种学习中的再创造也就成为数学教师首要的任务.

习题课一直是数学教学中必不可少的贯穿整个数学教学的重要课型之一，学生对概念的深入理解、對基础知识的深化、对存在问题的纠正、对知识系统的完善、对自身思维能力的培养都能在有效的习题课教学中得到有意义的锻炼和提高. 另外，学生对问题的分析与解决并由此实现的知识的飞跃也都能在有效习题课中达成. 选取典型例题给学生锻炼是传统数学习题课的典型做法，教师在这样的习题课中一般仅局限于问题的分析、解决以及教师的总结. 这与新课标所倡导的教学要求与理念是不能完全吻合的，习题课教学中一样应该有新课程理念的渗透与融合，“说题”正是新课标理念下对习题课教学改革的一种创新尝试.

说思维过程

“说题”最能体现出不同的便是学生这一学习的主体，说题不是要求教师说，而是让学生说，说一说审题、分析、解答以及回顾的思维方向与方法.

案例1：高三模拟考试中的一个题目如下：已知有{an}与{bn}这两个等差数列，前n项的和分别是An，Bn，且=，若使为整数，则正整数n有（ ）个.

A. 2？摇？摇？摇？摇？摇？摇B. 3？摇？摇？摇？摇？摇？摇C. 4？摇？摇？摇？摇？摇？摇D. 5

这道题目考查的主要是等差数列的前n项和与第n项之间的联系这一知识点，选项D是对的. 考试后的说题练习中发现很多学生的思路不一定正确，但答案倒是对的. 比如：

生1：===7+，当n=1，3，5，9，21时，为整数，所以选D.

这样的思路显然是不正确的，如果不能及时发现学生在解法上的错误的话，学生对于该知识点本质上的认知有可能永远混淆，因此，借助学生的错误思维将正确做法说出来才是最为可靠的.

生2：===7+，当n=1，3，5，11时，为整数，所以选D. （此种解法获得掌声一片）

教师在学生说题的过程中往往能够更好地注意到学生的思维过程，很多解题产生错误的根源也能更快地暴露在大家面前，教师在后续教学中才能及时做好调整并有的放矢地进行后期教学安排. “纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”这句话告诉我们的不也正是这个道理吗？事实上，学生做错了确实并不要紧，关键在于学生是否能在犯错后知道错在了哪里以及纠错的方法.

说试题条件

学生在教师合理的预设与引导之下对试题条件进行适当的改编，不仅是对问题的拓展与延伸，更主要的是对自身创造想象能力的不断刺激与锻炼.

案例2：已知一直线l，点M（2，1）是该直线上一点，且其斜率为-2，试求该直线l的方程.

生1：直线点斜式方程y-1=-2（x-2）.

师：很好！斜率为-2的这一条件不可少，那么，可以将其改为其他条件吗？

生1：将斜率为-2这一条件改成直线l与直线y=2x+1平行.

生2：将斜率为-2这一条件改成直线l与直线y=2x+1垂直.

生3：将斜率为-2这一条件改成与原点O（0，0）相距最远.

生4：将斜率为-2这一条件改成其横截距与纵截距相等.

此时，教师已经能看到预设的结果并赶紧引导学生针对生4所提出的问题进行求解，果然有学生对于此题求解出现了能做到一部分但不能完全正确解答的结果.

生：所求方程为x+y-3=0.

师：大家结果都一样吗？

生：还有x-y-1=0.

（有学生觉得惊讶）

教师适时引导学生另一条直线存在的理由，加深学生的理解.

生5：将斜率为-2这一条件改成直线l与坐标轴围成三角形的面积是8.

学生得出这一结论时教师一定要适时干预，引导学生对面积小于4的这一问题进行探寻，也为后续预设学习打下伏笔.

师：直线l与坐标轴围成的三角形面积有最小值吗？

学生经过思考与讨论很快得出：

生6：已知一直线l，点M（2，1）是l上一点，试求l与坐标轴正半轴所围三角形面积最小的方程.

师：请同学们尝试不同解法并交流.

生7：设k为l的斜率，用点斜式表示为y-1=k（x-1）……

生8：设l的横截距为a，纵截距为b，用截距式表示为+=1……

下课铃声响起，同学们的讨论兴致不减，这足以证明学生已经在一系列的讨论中萌发了学习的兴趣，学生在合作探究学习平台建立的同时还体验到了探索的乐趣.

“说题”使得“一言堂”变成了“群言堂”，教师的主导性与学生的主体性都得到了很好的体现.

说试题结论

试题结论的说一说与试题条件的说一说都能促进学生对试题的不断讨论和尝试，学生在命题逻辑关系梳理的同时不断增强自身的实践与探究能力.

案例3：已知抛物线如图1所示，焦点为F，直线AB经过F，直线AC与抛物线的准线相交，求证：直线BC与该抛物线的对称轴平行.

首先引导学生进行坐标系的建立，如图1所示，解题完成后，教师再引导学生“说一说”：

师：本题中有哪些条件与结论？

生：条件：直线AB过F，直线AC过原点. 结论：BC∥x轴.

师：很好！

命题1：已知抛物线y2=2px（p>0），焦点为F，一直线经过其焦点并与其相交于点A，B，C是抛物线准线上的一点，且BC∥x轴，求证：直线AC经过原点.

师：这两题的联系与区别在哪里？

生2：原题中的结论变成了条件.

师：很好，总结到位. 你们会做吗？

因为有前面试题作为铺垫，学生面对此题的解答显得信心满满.

师：我们同学面对高考题目不用太过紧张，好些题都是将条件或者結论进行改变而得到的，经过上述两题的改变与编写，你学会一定的编题了吗？

生3：会. 经过条件与结论之间的改变或者变换就可以编出新题.

命题2：已知抛物线y2=2px（p>0），设其焦点为F，现抛物线上有两个点分别为A，B，其准线上有一点C，AC过原点，BC∥x轴，求证：直线AB经过点F.

师：很好，请尝试证明.

学生得到教师的肯定后满脸都是成就感，后续的证明解题热情满满.

说试题变式

试题的变式延伸也是说题的一个重要组成部分. 把一些看似不同但本质相关的题目进行关联并说出它们之间的区别与联系能够对学生思维的变通起到很好的促进作用，学生“一题多解”的思维灵活性与能力也能得到最为有价值的锻炼.

案例4：原题：已知A（-1，1），B（1，2）两点，动点P点在x轴上，PA+PB最小值为多少？

生1：点A关于x轴的对称点是A1（-1，-1），PA+PB=PA1+PB≥A1B=，当且仅当A1，B，P这三点在一条直线上才能取到最小值.

变式1：已知A（-1，1），B（1，2）两点，动点P点在x轴上，试求PA-PB的最大值.

生2：利用三角不等式，PA-PB≤AB=.

师：好，请再看下题：

变式2：已知x∈R，求函数f（x）=+的最小值.

学生经过教师的引导很快找到解题突破口.

师：与原题有联系吗？

生3：有. 配方f（x）=+=PA+PB≥.

引申1：设a，b，c，d∈R，求证：对任意p，q∈R，+≥.

生4：解法相差无几，由A（a，b），B（c，d），C（p，q）及两点间距离公式可得AC+BC≥AB，A，B，C三点在一条直线上时取等号.

引申2：已知0

生：数形结合，由P（x，y），O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），得左边=PO+PB+PA+PC. 因为PO+PB≥OB=，PA+PC≥AC=，故，左边≥2.

师：什么时候可以得到等号？

生：正方形OABC对角线的交点与点P重合.

引申3：设xk，yk（k=1，2，3）为非负实数，求证：+++≥2010.

同学们看到引申3都陷入了沉思，教室里一片安静，此时教师适时启发：能找到与上题的区别与联系吗？

生：结构完全相同，因此两点间的距离公式应该可以用，不过合适的点不能确定.

学生经过教师的引导首先找出了比较容易的点A（0，2010），B（x1+x2+x3，y1），D（x3，y1+y2+y3），O（0，0），然后由中间式子的结构特征将另外的点C（x2+x3，y1+y2）找到，联系图形得出三角不等式：左边=AD+CD+BC+OB≥AC+BC+OB≥AB+OB≥OA=2010.

随着此题的完全解决，教师与学生在相互合作的探究中都感受到了解题的精彩过程与情感上的收获，感叹声忍不住从学生的嘴里发出来，同学们禁不住鼓起掌来，学生攻破此题的自豪与喜悦从掌声与感叹声中展现无余.

波利亚在数学教学的诸多理论中曾经这样明确表示过：有责任心的教师应该尽量选择或者设计有意义的题目来帮助学生发掘题目的内涵与思维的深度，不经筛选就大量布置作业题的做法是不负责任的，而且，教师在指导学生解题的过程中应该尤其注重学生才智与推理能力的锻炼与提高.

因此，教师在习题课“说课”的准备环节中首先一定要将练习题进行精心的筛选或者设计，所选练习题一定是覆盖重要知识点的典型题；然后，教师还应考虑学生的能力是否适合说自己已经备下的习题，是否能够展开对习题的讨论；需要教师考虑的第三点是所选习题是否能够对学生能力的拓展与提高起到积极的意义，而且，教师在习题课“说题”活动的开展中还应做好引导与铺垫工作，使得“说题”活动能够顺利开展并对学生的思维拓展、能力提高以及知识内化产生积极的作用.