高中数学“优效教学”的案例研究

谢春娥

[摘 要] 高中数学的优效教学取决于优质的教学设计，优效的数学课堂教学设计建立在三个基本点上：其一，理解数学；其二，理解学生；其三，理解教学. 该课“函数的零点问题”紧扣这三点进行设计，体现了“优效教学”的理念，但由于设计的容量有些过多，使得课堂部分知识在应用时有不深不浅、不痒不痛的感觉，在稍作修改的基础上，达成“优效教学”.

[关键词] 优效教学；理解数学；理解学生；理解教学；函数的零点问题

高中数学“优效教学”的基本观点，是针对高中数学新课程试验中存在的“课业负担过重”“课堂效率不高”“课堂效益偏低”等问题而提出的. 高中数学“优效教学”，即“优效”的高中数学教学，是指促进学生“优效数学学习”的高中数学教学. 既关注学生的基础性发展，也关注学生的可持续发展；既突出课堂教学的有效性，也突出课堂教学的高效性；既注重数学的思维价值，也注重数学的文化价值；既强调理性精神的培育，也强调数学品质的发展.

优效的数学教学取决于优质的教学设计，高中数学“优效教学”的探索性研究，首先从教学设计入手，引领教师关注教学设计的优质高效. 数学教学设计是教师对数学教学活动目标、过程的构思和安排，就是依据《普通高中数学课程标准（试验）》（下称“课程标准”）的要求、数学教学的基本原则和学生身心发展的特点，在充分研究教材编写意图的基础上，确定教学目标，明确教学重点和难点，选择教学方法和手段，设计师生互动交流的活动方式，使教师的主导作用和学生的主体地位得到充分发挥，使学生能有效学习并获得发展的过程.

优效的数学课堂教学设计建立在三个基本点上：其一，理解数学. 主要是对数学的思想、方法及其精神的理解，对数学知识中凝结的数学思维活动方式和价值观资源的理解. 其二，理解学生. 主要是对学生数学学习规律的理解，核心是理解学生的数学思维规律. 其三，理解教学. 主要是对数学教学规律、特点的理解.

下面就高中数学单元复习课的教学设计进行“优效教学”的研究，以“人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》函数的零点问题”的教学设计为例，谈谈我们的实践与反思.

案例呈现：函数的零点问题

课型：单元复习第一课.

教学目标：

通过函数的零点问题，体会函数的零点与方程根之间的联系，会用连续函数在某个区间上存在零点的判定方法，初步形成用函数观点处理问题的意识.

教学重点：

①函数零点的存在性；

②二次函数的零点问题.

教学难点：

二次函数的零点问题.

教学过程设计：

1. 知识回顾（10分钟）

（1）函数y=x2+x-2的零点为（ ）

A. 1或2 B. （1，0）

C. 1或-2 D. （-2，0）

（2）函数f（x）=3x-x-4的零点所在的一个区间是（ ）

A. （-2，0） B. （1，2）

C. （0，1） D. （-1，0）

（3）判断下列函数的零点个数.

①f（x）=log3（x+1）；（1个，方法1：log3（x+1）=0求解；方法2：画图）

②f（x）=2x-x2. （3个，图像法）

设计意图：用几个最简单的题，对基本知识进行复习.

归纳小结：

（1）方程的根与函数的零点的关系：__________.

（2）连续函数在某个区间（a，b）上存在零点的判定：该函数在区间[a，b]必须是__________.

（3）判断函数零点个数的常用方法：

①解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有n个不同解就有__________个零点；

②一元二次方程通常用__________来判断零点个数；

③数形结合法：可直接画出f（x）的图像，则此图像与x轴交点的个数即该函数的零点個数；函数F（x）=f（x）-g（x）的零点个数可转化为函数y=f（x）图像与函数y=g（x）图像的交点个数问题，其中交点的个数，就是函数________的个数.

2. 典例剖析（20分钟）

例1 已知函数f（x）=ex-1+4x-4.

（1）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点？（2）求函数f（x）的零点个数.

设计意图：本题为课本例题的变式题，让学生理解并会用连续函数在某个区间上存在零点的判定定理，认识函数的单调性在确定函数零点中的重要作用.

例2 已知函数f（x）=x2+2mx+2m+1有两个零点，其中一个零点在区间（-1，0）内，另外一个零点在区间（1，2）内，求m的取值范围.

变式1 若函数f（x）=x2+2mx+2m+1有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围.

变式2 若函数f（x）=x2+2mx+2m+1的两个零点均在区间（0，1）内，求m的取值范围.

设计意图：二次函数的零点分布问题很重要，本例及两个变式包括了“已知二次函数的零点分布，求参数取值范围”的主要题型，旨在让学生能区分出在不同条件下如何解决二次函数的零点分布问题. 在讲解例题后会点到当二次项系数有参数时的解决办法，让学生思维更周密. 以此培养学生分析问题、解决问题的能力，发展学生的数学思维能力.

解题反思：

（1）解决此类问题时，若已知条件是方程，则可设出方程对应的函数，当函数解析式二次项系数中含有参数时，要注意分类讨论.

（2）零点在二次函数中的应用应抓住：对称轴、判别式Δ、图像开口方向与区间端点函数值的符号，利用数形结合直观求解.

3. 变式练习（10分钟）

A组题

（1）函数f（x）=2x+x的零点所在的一个区间是（ ）

A. （-2，-1） B. （-1，0）

C. （0，1） D. （1，2）

（2）已知f（x）=3x2-5x+a. ①若函数有两个零点，其中一个零点在区间（-2，0）内，另外一个零点在区间（1，3）内，求a的取值范围；②若函数有两个零点，一个零点大于2，另一个零点小于2，求a的取值范围.

B组题

已知f（x）=ax2+3x+4a，若函数有两个零点，其中一个零点在区间（-2，1）内，另外一个零点在区间（1，2）内，求a的取值范围.

设计意图：B组题让思维好的学生在课堂上做，提高数学解题能力.

C组题

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c. ①若a>b>c，且f（1）=0，证明f（x）有两个零点；②若x1，x2∈R，x1

设计意图：这类题留给尖子生去做，培养优等生的思维能力.

4. 课堂小结

①函数的零点与方程根之间的联系，连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.

②零点在二次函数中的应用应抓住：对称轴、判别式Δ、图像开口方向与区间端点函数值的符号，利用数形结合直观求解，当函数解析式二次项系数中含有参数时，要注意分类讨论.

5. 课后作业

A组题

（1）函数f（x）=ex-的零点所在的区间是（ ）

A. 0， B. ，1

C. 1， D. ，2

（2）函数f（x）=lnx-的零点所在的大致区间是（ ）

A. （1，2） B. （2，3）

C. （3，4） D. （e，3）

（3）若函数f（x）=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g（x）=bx2-ax-1的零点是________.

（4）函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.

B组题

（1）已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x-2，h（x）=log2x+x的零点依次为a，b，c，则（ ）

A. a

C. b

（2）判断函数零点的个数.

①f（x）=lnx-（x-2）2+3；

②f（x）=ex-x2+2；

③f（x）=；

④f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+lnx，x>0.

（3）已知f（x）=x2+3（m-4）x-9（m∈R），试判断函数f（x）的零点的个数.

（4）①关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14=0有两实根，且一根大于4，一根小于4，求实数m的取值范围.

②关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14=0有两实根，且一根在（-1，0），另一根在（0，1），求实数m的取值范围.

C组题

（1）若函数f（x）=mx2-2x+1仅有一个零点，求实数m的取值范围.

（2）已知函数f（x）=，其中c为常数，且函数f（x）的图像过点1，. ①求c的值；②求函数g（x）=x+xf（x）的零点.

课后反思

这节课是高一函数零点的单元复习课，单元复习课的基本教学过程可概括为：梳理结构—典例示范—变式训练—提炼升华—反馈评价. 高中数学复习课的根本任务是促进知识条理化、系统化，进而提高学生分析问题与解决问题的能力，形成良好的数学认知结构. 高中数学复习课的教学模式可分为信息提取、思考重构、综合运用、反思提高四个阶段. 我们的设计是紧扣这四个阶段去做的，实践后达成这四步要求.

第一階段：信息提取. 充分调动学生数学学习的积极性，发挥学生的主体作用，本课通过一些典型数学习题的解决，逐步提取、回忆与之相关的数学概念、定理、解题方法. 笔者在实践过程中感觉这样对所学的零点问题相关知识进行复习的效果很好，学生一复习完，感觉更会运用了. 通过这种方式让学生把握数学问题的本质，能更好地提高概念、公式等使用的效度、灵活度，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，使学生产生解决问题的创新性思路与方法. 以往用提问或者填空的方式复习所学的概念、定理、公式、解题方法等，效果不好，大部分学生在这个环节结束后，还是不会运用，基本知识和方法与实际运用脱节. 本节课教师理解了学生的认知规律，达成优效教学.

第二阶段：思考重建. 各个课时的数学学习中所获得的数学信息需要进行加工、选择、组合. 思考重建的目的就是让学生通过自身的思考，梳理已学的数学概念、公式、定理、规则、方法，使代数、三角、几何、概率、微积分等成为条理化、有序化、网络化、立体化的数学认知结构体系，便于构建各自新的数学图式结构，由此发展为灵活处理数学问题的能力. 这节课让学生重建了判断函数零点个数的方法.

分析1：函数f（x）=log3（x+1）的零点就是方程log3（x+1）=0的根，可以求出来，函数y=x2+x-2的零点同样可以求出来. 这种方法是“求”.

分析2：函数f（x）=log3（x+1）的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标. 所以我们可以画出函数图像，观察函数图像与x轴的交点，有几个交点就有几个零点. 这种方法是“画”.

分析3：根据零点存在性定理，如函数f（x）=ex-1+4x-4，我们可以分别计算f（0），f（1）的值，再通过证明函数是单调的，来判断函数的零点个数.

分析4：既然函数的零点就是函数方程对应的方程的根，我们不妨首先令f（x）=2x-x2=0，转化成2x=x2，这个式子的根就是函数y=2x与y=x2的交点. 分别画出函数y=2x与y=x2的图像，两个函数图像的交点数就是原函数f（x）=2x-x2的零点个数. 这种解法就是转化，简称为“转”. 这种方法需要注意的有两点，一是只能判断零点个数，不能判断零点的准确位置；二是画图一定要准确，突出函数性质，很多学生容易把这两个函数y=2x与y=x2画成只有2个交点，造成错误.

经过以上分析，这节课让学生明白解决函数零点问题主要有两个大的思路：解出来和画出来. 解出来又分为两种，一是直接解，这针对普通的方程或者特殊可解出来的超越方程；二是根据零点存在性定理判断零点的存在，需要特别注意函数的单调性，刚才我们的分析3就讲到这个问题. 而画出来的方法也有两种：一种直接画出函数图像与x轴的交点；另一种通过转化，转化成两个熟悉的、简单的函数交点问题. 经过本课的复习，学生对判断函数零点个数的方法有了一个整体的把握和更透彻的理解. 这里也落实了数学思想方法，主要是函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想等，让学生理解数学思想方法，达成优效教学.

第三阶段：综合运用. 综合运用是学生在数学复习课中重要的任务，这节课通过典型的例题与习题，达成对函数零点问题综合运用重难点的突破. 特别是学生运用函数零点问题的知识解决二次函数的零点问题，我们通过例题和习题对二次函数f（x）=x2+bx+c和f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零点问题都进行了探究、讨论，让学生系统掌握了分析和解决这类问题的方法.

根据数学教学的特点和规律，我们采用的教学方式是变式训练，变式探究是高中数学优效教学的基本方式. 学生在变式探究中能够自主创新，在积极营造变式探究的教学情境中，能够帮助学生改进数学学习方式，获得数学活动经验，形成数学思维方式，培养学生的理性思维，促进学生数学素养和创新意识的发展. 教师做到了理解教学，达成优效教学.

第四阶段：反思提高. 在课堂上每进行一个知识环节的学习后，让学生进行讨论，总结解决该种题型或问题的方法和规律，教师再引导学生进行提升. 该课的设计中，有题后小结和解题反思，目的就是引导学生进行复习的总结与反思. 教师理解了学生的认知规律，设计这个环节，达成优效教学.

这节课上完后感觉较好地达成学习目标，突破了重难点，学生对函数零点问题有了整体把握，并进一步提升和拓展了零点问题. 但在上课过程中，感觉容量有点大，有些赶，特别到例2、变式1、变式2时，没有足够的时间给学生消化吸收，有点不深不透、不痒不痛的感觉. 笔者打算把对函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的讨论放在课后思考，下节课讨论，以便学生更加透彻地掌握零点个数判断“画出来”和“解出来”的方法，以及加深学生对函数f（x）=x2+bx+c零点问题的准确把握. 理解了函数f（x）=x2+bx+c这类零点问题，课后思考函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的零点问题，也就不难了.

修改教学设计，达成更优效教学

基于以上反思，笔者打算对教学设计做如下修改，以达成更优效教学.

1. 知识回顾（10分钟）

（1）函数y=x2+x-2的零点为（ ）

A. 1或2 B. （1，0）

C. 1或-2 D. （-2，0）

（2）函数f（x）=3x-x-4的零点所在的一个区间是（ ）

A. （-2，0） B. （1，2）

C. （0，1） D. （-1，0）

（3）判断下列函数的零点个数.

①f（x）=log3（x+1）；（1个，方法1：log3（x+1）=0求解，方法2：画图）

②f（x）=2x-x2. （3个，图像法）

解题反思：

（1）方程的根与函数的零点的关系：__________.

（2）连续函数在某个区间（a，b）上存在零点的判定：__________.

（3）判断函数零点个数的常用方法.

2. 典例剖析（20分钟）

例1 已知函数f（x）=ex-1+4x-4. （1）函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点？（2）求函数f（x）的零点的个数.

例2 已知函数f（x）=x2+2mx+2m+1有两个零点，其中一个零点在区间（-1，0）内，另外一个零点在区间（1，2）内，求m的取值范围.

变式1 若函数f（x）=x2+2mx+2m+1有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围.

变式2 若函数f（x）=x2+2mx+2m+1的两个零点均在区间（0，1）内，求m的取值范围. （只需列式即可）

解题反思：

（1）解决形如函数f（x）=x2+bx+c的零点问题的方法有哪些？

（2）零点在二次函数中的应用要抓住哪几个关键点？

3. 课堂练习（10分钟）

A组题

（1）函数f（x）=2x+x的零点所在的一个区间是（ ）

A. （-2，-1） B. （-1，0）

C. （0，1） D. （1，2）

（2）判断函数零点的个数.

①f（x）=ex-x2+2；

②f（x）=.

B组题

已知f（x）=3x2-5x+a，（1）若函数有两个零点，其中一个零点在区间（-2，0）内，另外一个零点在区间（1，3）内，求a的取值范围；（2）若函数有两个零点，一个零点大于2，另一个零点小于2，求a的取值范围.

4. 课堂小结

（1）函数的零点与方程根之间的联系，连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.

（2）零点在二次函数中的应用要抓住：对称轴、判别式Δ、图像开口方向与区间端点函数值的符号，利用数形结合直观求解，当函数解析式二次项系数中含有参数时，要注意分类讨论.

5. 课后作业

A组题

（1）函数f（x）=ex-的零点所在的区间是（ ）

A. 0， B. ，1

C. 1， D. ，2

（2）函数f（x）=lnx-的零點所在的大致区间是（ ）

A. （1，2） B. （2，3）

C. （3，4） D. （e，3）

（3）函数f（x）=x2+2（m+3）x+2m+14有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.

B组题

（1）判断函数零点的个数.

①f（x）=lnx-（x-2）2+3.

②f（x）=x2+2x-3，x≤0，-2+lnx，x>0.

（2）已知f（x）=x2+3（m-4）x-9（m∈R），试判断函数f（x）的零点的个数.

C组题（课后思考）

（1）已知函数f（x）=，其中c为常数，且函数f（x）的图像过点1，. ①求c的值；②求函数g（x）=x+xf（x）的零点.

（2）已知f（x）=ax2+3x+4a，若函数有两个零点，其中一个零点在区间（-2，1）内，另外一个零点在区间（1，2）内，求a的取值范围.