一种结合Rosenbrock算法的混合MIMIC算法及其应用

夏桂梅，张 丹，赵晋彬

(太原科技大学应用科学学院，太原 030024)

MIMIC算法是一种依赖于解空间分布，具有较强全局搜索能力的分布估计算法， Rosenbrock算法是一种局部求精能力强的的优化算法。本文将MIMIC算法与Rosenbrock算法相结合，提出一种结合Rosenbrock算法的混合MIMIC算法——Rb-MIMIC算法，并将其应用在蜗杆传动优化设计中。

蜗杆传动是一种具有传动比大，结构紧凑，传动平稳，可实现自锁等优点的空间啮合传动，用于在空间交错的两轴间传递运动和动力。蜗杆传动在机床，汽车，起重机械等很多领域中发挥着重要的作用。通常采用碳钢或合金钢制蜗杆，采用青铜铸造蜗轮，这样可以使传动副具有良好的耐磨性，但是在制造过程中往往因为设计问题造成有色贵重金属的浪费。为了减少浪费，降低成本，将蜗轮齿圈体积最小作为优化设计目标[1-4]。本文采用结合了Rosenbrock算法的MIMIC算法对蜗杆金属圈体积进行参数优化，取得了良好的优化结果。

1 结合Rosenbrock法的混合MIMIC算法

1.1 MIMIC算法

MIMIC(Mutual Information Maximization for Input Clustering)算法，是在1997年由美国MIT人工智能实验室的De Bonet等人提出的一种基于双变量相关模型的分布估计算法[5]。算法通过在初始群体中建立一个概率模型，使得该模型可以描述解的分布，然后对概率模型进行随机采样来产生新的种群，如此反复进行，实现种群的进化，直至得到满意解6]。

在MIMIC算法中定义解空间概率分布模型：

其中，h(X)=-∑xP(X=x)logp(X=x)，

h(X|Y)=-∑yh(X|Y=y)p(Y=y)

h(X|Y=y)=

-∑x(p(X=x|Y=y)logp(X=x|Y=y))

MIMIC算法的过程是一个不断更新概率模型，从而使概率模型越来越能反映优秀个体的分布的过程，所以算法在进化过程中，过于依靠解空间分布，导致算法在后期的进化过程中速度变慢，种群的多样性减少，这说明MIMIC算法具有比较强的全局搜索能力，但是局部求精能力较弱且易早熟。为了有效提高MIMIC算法的寻优能力，本文是在种群的进化过程中加入了局部求精能力强，收敛速度快的旋转方向法(Rosenbrock)，提出一种结合Rosenbrock法的分布估计算法(Rb-MIMIC).

1.2 Rb-MIMIC算法

旋转方向法又称转轴法，是Rosenbrock于1960年提出的，Rosenbrock法是在当前点构造n个正交方向，然后在构造的每个方向进行探测移动，找到函数值减小最快的方向，移动某个步长，然后利用轴向的旋转产生一组新的方向作为下一次迭代的轴向，如此循环[7]。Rosenbrock法是一种局部搜索算法，具有较强的局部求精能力，而MIMIC算法的全局寻优能力强，但局部搜索能力较弱，易早熟，所以在MIMIC算法进化过程中可以加入Rosenbrock法来提高算法的寻优能力和效率。在MIMIC算法中，由于新个体的产生规则单一，导致新群体个性差异较小，为了增加种群的个性差异，同时又不背离群体的分布模型，在生成新的群体时，从当前群体中随机选择出部分个体利用Rosenbrock法进行搜索，将得到的新个体作为新群体中的一部分。具体步骤如下

步1 初始化群体。随机产生N个个体作为初始群体pop.

步2 将约束优化问题转化为无约束优化问题[8-9]，这里利用罚函数法。

步3 评价适应值。计算种群中每个个体的适应值，如果满足算法的终止条件，则算法结束，否则转至下一步。算法的终止条件为达到规定的进化代数(200代)，或者连续若干代(25代)最优值没有变化，或者误差在某个范围内(10-10).

步4 选择优势群体。算法采用截断法和轮盘赌法选择S(N/2)个个体作为优势群体，并保留p个最优个体。

步5 Rosenbrock法搜索。从当前群体中随机选择T个个体作为初始点进行Rosenbrock搜索，将得到的新个体作为新一代群体的一部分，增加种群的多样性。

步6 根据贪婪算法寻找最优排列构建概率模型。

1)使用in=argminjhl(Xj)，找出排列θ=(i1,i2,…in)中的in；

2)对任意k=n-1,…,1，由式ik=argminjhl(Xj|Xk+1)，其中k≠ik+1,…,in，计算出排列θ=(i1,i2,…in)；

3)计算出概率分布

步7 采样得到新个体。按逆序的方法依据概率模型采样N-T-p次，与步3保留的p个最优个体及Rosenbrock法得到的T个个体组成新一代群体，转步2.

图1 算法流程图
Fig.1 Basic flow chart of algorithm

2 应用实例

以某单级普通圆柱蜗杆齿轮减速器为例3]，它的输入功率P1=6 kW，转速n1=1 450 r/min，传动比i=20，载荷系数K=1.1，蜗轮齿圈许用接触应力[σH]=220 MPa.

2.1 构建数学模型

图2所示的是蜗轮齿圈尺寸结构示意图，包括：

图2 蜗轮齿圈结构示意图
Fig.2 Worm gear ring structure diagram

齿顶圆直径da、齿根圆直径df、齿圈内径d0、齿圈的外径de、齿宽b.蜗轮的齿圈体积为:

(1)

(2)

式(2)中，z2是蜗轮齿数；z1是蜗杆齿数；i是传动比，通常情况下是已知的；m是蜗轮模数；ψb是齿宽系数，按照蜗杆齿数不同，取0.75或0.67，通常情况下当z1=1～2时，ψb=0.75，当z1=3～6时，ψb=0.67；da1是蜗杆齿顶圆直径；q是直径系数；ψe是蜗轮齿圈外径系数；按照蜗杆齿数的不同，取2、1.5、1.

将式(2)代入(1)中，可以将体积公式转化为:

[(iz1+ψe+2)2-(iz1-4.4)2]

(3)

由式(3)可以看出，蜗轮齿圈体积与蜗杆头数z1，模数m，直径系数q有关，因此，选取蜗杆头数z1，模数m，直径系数q作为设计变量，即X=(x1,x2,x3)=(z1,m,q)，所以式(3)可以改写为:

V=f(x)=

(ix1-4.4)2]

(4)

2.2 确定约束条件

(5)

2)蜗杆刚度的限制[4]。蜗杆工作时最大挠度不大于0.001d=0.001mq，即:

(6)

(3)蜗杆头数的限制。一般要求2≤z1≤3，因此有:

g3(x)=x1-3≤0

(7)

g4(x)=2-x1≤0

(8)

(4)模数的限制。对于中小功率得蜗杆传动，一般要求3≤m≤5，因此有

g5(x)=x2-5≤0

(9)

g6(x)=3-x2≤0

(10)

(5)蜗杆直径系数的限制。对于上述的模数范围，要求5≤q≤16，因此有:

g7(x)=x3-16≤0

(11)

g8(x)=5-x3≤0

(12)

由上述可以得到蜗杆传动的数学模型，式(4)是目标函数，式(5)到式(12)为约束条件，可见这是一个非线性约束优化问题，将本文提出的改进后的MIMIC算法应用在该模型中，进行求解。

3 优化结果分析

3.1 实验参数设置

在实验中，MIMIC算法的参数设置如下，群体规模N=200，截断选择S=N/2，保留的最优个体数p=20，最大迭代次数200，精度10-9，进行Rosenbrock法的初始点个数T=20，Rosenbrock法的初始步长δ=[1 1 1]，增大系数α=3，收缩系数β=0.5，分别进行15次实验。

3.2 实验结果分析

表1 是经过MIMIC算法和Rb-MIMIC算法对模型进行优化后得到的结果，由表1可以看出，改进后的MIMIC算法，最优值和平均最优值明显都要小于MIMIC算法，而我们的实验结果希望金属圈体积尽可能的小，所以改进后的MIMIC算法要优于MIMIC算法，Rb-MIMIC算法在求精能力上有了显著的提高。而且Rb-MIMIC算法相比MIMIC算法进化代数也少了许多，说明Rb-MIMIC算法是一个可行的，求精能力强，收敛速度快的优化算法。

将MIMIC算法和Rb-MIMIC算法得到的优化结果进行圆整，经检验，圆整后的结果满足性能约束条件，将圆整后的结果与文献[3]中的结果进行比较，对比结果见表2.经过对比可以发现，MIMIC算法和Rb-MIMIC算法相对于常规优化设计，虽然蜗杆头数增加了，但是齿圈体积却大幅度减小，MIMIC算法和Rb-MIMIC算法优化后的齿圈体积减少了31%，但是Rb-MIMIC算法的进化代数明显小于MIMIC算法，充分显示了Rb-MIMIC算法的价值。

表1 MIMIC算法与Rb-MIMIC算法的比较
Tab.1 The comparison of MIMIC algorithm and Rb-MIMIC algorithm

算法最优值平均最优值蜗杆头数z1模数m直径系数q进化代数MIMIC602066．91604401．3833．923585231650Rb⁃MIMIC601777．35602949．63433．9229782915．999694827

表2 优化算法与常规设计对比结果
Tab.2 The results of optimization algorithm compared with conventional design

对比项蜗杆头数z1模数m直径系数q齿圈体积常规设计2518920226．4844MIMIC3416637934．1162Rb⁃MIMIC3416637934．1162

4 结 论

为了提高MIMIC算法的局部求精能力，收敛速度，本文在MIMIC算法的进化过程中加入局部求精能力强的Rosenbrock算法，利用Rosenbrock法随机搜索若干个体，将得到的新个体作为新群体的一部分，增加种群的多样性，从而使算法避免陷入早熟，使算法得到改进。

蜗杆传动是机械优化中一个广泛的应用，具有传动比大，传动平稳等优点，但是在设计中往往把蜗轮体积设计的比较大，造成有色贵重金属的浪费。如何在确保传动性能稳健可靠的前提下，使得蜗轮齿圈体积尽可能减小成为蜗杆传动的设计目标。本文将结合Rosenbrock算法的MIMIC算法应用在蜗杆蜗轮传动优化中。优化结果相比MIMIC算法和常规优化设计，体积显著减少，降低了制造成本，且改进后的MIMIC算法在收敛速度上也优于传统的MIMIC算法。优化结果表明改进后的MIMIC算法是一个有效的算法，求精能力强，收敛速度快，为蜗杆传动优化等约束优化问题提供了一种新的思路和方法。

参考文献：

[1] 孙全颖,王艺霖,杜须韦.遗传算法在机械优化设计中的应用[J].哈尔滨理工大学学报,2015,20(4):46-50.

[2] 苗君明.Matlab优化工具箱在蜗杆传动优化设计中的应用[J].沈阳航空航天大学学报,2011,28(4):60-62.

[3] 武洪恩,王宜宁,称玉玲,等.基于遗传算法的蜗杆蜗轮优化设计[J].制造业信息化,2015(3):20-23.

[4] 王远东.圆柱蜗杆传动的优化设计[J].机械传动,2016,40(2):162-164.

[5] DE BONET J S, ISBELL C L, VOILA P.MIMIC: Finding Optima by Estimating Probability Densities [J].Advances in Neural Information Processing Systems, 1997(9):424-430..

[6] 王圣尧,王凌,方晨,等.分布估计算法研究进展[J].控制与决策,2012,27(7):961-966.

[7] 龚纯,王正林.精通Matlab最优化计算[M].北京：电子工业出版社,2012.

[8] 张文林,夏桂梅.一种结合微粒群算法的混合MIMIC算法[J].太原科技大学学报,2015,36(5):406-410.

[9] 张金凤,夏桂梅,王泰.一种基于罚函数的混合分布估计算法[J].西南民族大学学报:自然科学版,2015,41(1):120-123.

[10] 顾灿春.普通圆柱蜗杆减速器的可靠性优化设计[J].电子机械工程,2003,19(3):44-47.

[11] 唐锦茹.蜗杆传动的优化设计[J].起重运输机械,1994(9):25-27.