中学数学教学中换元法思想的培养

杨建奇 朱雯婷

摘要：论文针对如何在教学中培养换元法思维进行研究。为更好的让学生认知和接受换元法，教师在数学教学中应当以简单明了的方式去引入换元法。要通过启发性、典型性、和创造性的范例教学引导学生掌握换元法的基本步骤和规律，要始终把换元法与化归思想的作为一个整体进行教学。

关键词：换元法;范例教学;化归思想

新课标明确了数学教学的总目标是通过数学学习，学生应能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识、基本的思想方法以及一些必要的数学应用技能。在众多重要的数学方法中，换元法是其中重要的一种换元法是其中重要的一种，它在中学数学解题中应用普遍，不易掌握。在中高考中，考察换元法的考题也层出不穷。在中学数学教学中采取何种教学方法和收到来达到这个目标，教会学生熟练掌握换元法？换元法从本质上讲就是转化思想在解决问题中的一种具体表现。通过换元将未知问题转化为熟知问题，将复杂问题简单化，从而使问题得到解决。

换元法在中学数学中无处不在，是一种非常实用的解题方法。因此，在中学数学教学中应该很好地加以培养转化和化归思想，让学生熟练地加以掌握换元法，进而提高学生的学习兴趣和综合思维能力。笔者认为，应该从以下几个方面注意培养学生换元法的理解与运用。

1 明确基本要求，渗透“层次”培养，以简单明了的方式引入换元法

《数学大纲》将中学数学中渗透的数学思想、方法划分为 “了解”、“理解”和“会应用”三个层次。换元法所体现的化归思想，没有明确提出，却渗透在学习新知问题解决的过程中，应归属于“了解”这一层次。但对其要求却是“理解”和“会应用”。因此，在教学中，要认真把握好这三个层次的不同要求，不能随意提高思想与方法的所处层次。否则，由于数学思想和方法的抽象性和理论性，过高的要求会导致学生失去学习信心，从而丧失学习兴趣。在教学中，教师应牢牢地把握住 “度”，不能随意提高知识学习要求。否则，学生的效果将是事倍工半、得不偿失。教学中教师的作用往往是通过简单易懂的例题教学来体现数学思想和数学方法，让学生在不知不觉中体味数学方法，领会数学思想。如分式方程是学习整式方程后的一个后继学习内容，是整式方程解法的运用和延伸，学生容易理解这些类型的方程，作为教师一定要抓住这一契机，训练学生的换元思维，以培养学生的数学兴趣。

例1 解方程 x2=6x2-x+x-1。

本题如直接去分母，将出现四次方程，由学生现有知识显铁饭碗无法解答，如果引导学生变形成x2-x+1=6x2-x，发现x2-x是整体出现的，可用换元法设x2-x=y，则这个方程化为整式方程y2+y+1=0，学生很容易解出结果，也就容易掌握这种换元的方法。尽管题目简单，但却使学生发现还原法的重要作用，掌握了换元的基本思路，领会了换元的思想。

从这一例子还可以看出，对于较复杂的式子，需要学生冷静思考、认真分析抓住问题的特征，而换元有时能使问题的关系明朗化、简单化，很容易让学生体会到解题的乐趣。因此，只要明确教学的基本要求，从“了解”、“理解”到“会应用”这三个层次逐渐渗透，就会让学生慢慢体会到这一方法的重要作用，进而注意学习和应用。下面列举两例，以说明掌握换元法的重要性。

例2设x=5-12，求1+x1+x+1-x+1-x1+x2-1+x的值。

本题直接化简求值十分繁琐，如果注意于1-x，1+x，1-x2，1-x这些式子间的关系，换元后化简求值就简便得多。

解：设1+x=A，1-x=B，则

原式AA+B+B2AB-B2=AA+B+BA-B=A2+B2A2-B2=1x。故，原式=-1-52。

2 通过范例和解题教学，引导学生掌握换元法步骤和规律

在教学中要通过例题讲解和练习及其反思活动，从解题教学和习题写作中总结归纳解题方法;从换元法教学角度上讲，教学中应充分发挥换元方法在发现解题方向和方法选择、联想和转化功能，触类旁通，举一反三，以灵活运用各种数学知识和方法去分析解决问题。范例教学中所选择的例题和练习要具有一定的启发性、典型性和创造性。同时范例的设计和选择要注意探索性要求，要能够体现一般规律和特殊规律。在分析和思考的过程中展示问题转化思想和换元方法，提高学生的发散思维能力。例如，对某些问题，要寻求一题多解，要引导学生尽可能运用多种换元方法，从各条途径寻求答案，找出最优方法，培养学生的换元变通性;对某些问题可以进行由简到繁、由特殊到一般的推论，让学生大胆联系和猜想，培养其思维的广阔性;对某些特殊问题可以分析其条件和结论的特殊性，跳出惯性思维的影响和束缚，培养学生思维的灵活性;对一些条件、因素较多的问题，要从总体上把握问题和结论，要引导学生全面、系统的综合各个条件，培养其横向思维，拓展思路解决问题等等。此外，还要引导学生通过例题学习、自主练习后进行反思，优化解题过程，总结换元规律和经验，养成问题转化思想。

例3解方程（x2+1）2=x2+3

应该先从基本的方法的入手，把方程展开成标准的双二次方程，再对x2进行换元。

然后可以引入思路2：以x2+1为一个整体进行换元，因此要对方程右边进行变形使其含有x2+1。然后对x2+1进行整体换元。

由此，可以从易到难，采用多种换元方法，拓展学生的换元思路。换元法的解题关键是根据题目结构形式及相关数学性质恰当选择新变量，发现或构造新元，在“等量代换”的转换中把复杂的问题应刃而解。

3 通过“换元方法”去了解“化归思想”，利用“化归思想”来指导利用“换元方法”

中学数学中的数学思想和方法的内涵与外延，目前尚无明确的界定。其实，在中学数学中，许多数学思想和方法相辅相成，又相互蕴涵，他们是一致的，两者之间很难分割。思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象，而数学方法较具体，是实施有关思想的技术手段。在中学数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法有效融合的一种有效方法。换元法所体现的化归思想，贯穿于整个中学数学的学习之中，具体表现为从未知到已知、一般到特殊、局部与整体的转化等。在教学中，通过对换元法的学习和应用，使学生逐步领略内含于这一方法之中的化归思想，同时，在相互转换的化归思想指导下，又可以进一步深化学生对换元方法的理解和运用。这种“方法”与“思想”的珠联璧合，互联互通，将创新思维和创新精神融合于日常的教学之中，一定能取得较好的教学效果。如简单高次方程是在学习一元二次方程后的一个后续内容，既是一元二次方程解法的运用，也是培养学生转化与化归思想的重要教学内容，而其中换元法是转化与化归的重要手段。通过换元、降次将高次方程化归为一元二次方程，从而总是问题易解。

例4 解方程（x2+5x+4）（x2+5x+6）8=0

解：设x2+5x+4=y， 则原方程可化为y（y+2）-8=0。从而可以简单求解。

4 总结

综合以上思考，笔者认为，在教学中教师应该更全面地重视换元法这一基本知识和基本技能，它不应该仅限于现成的公式和知识的直接套用。公式和知识的套用是最低的、普通的层次。在很长一段时间以来，我们的数学解题实际上是流于形式的演算和形式推理，基本上形成让学生记住知识点，然后单纯运用知识点训练解各种类型习題的模式。而从换元法的熟练运用中，可以看出，这种具体的数学操作方法是将问题转化后，得以快速解决的，这个化归和转换的过程，就是思维创新的过程，是培养学生创新意识和创新能力的一种有效途径。因此要根据课程教学大纲和课程教学计划，以数学知识为载体，按照启发—吸收—消化—发展的认知发展规律有步骤地培养学生对于换元法的熟练运用，并在内容组织和设计上不断丰富和完善数学思想的理念和观点，在知识、技能与数学思想方法之间建立一个有机的结合，形成一个完整的学习认知和应用系统。换元法不仅存在于数学学习中，它在其他学科和解决实际问题时也处处可见。换元转化的思想就是辩证唯物主义“事物在一定条件下可以相互转化”的思想的一种具体体现。将转化、换元的思想方法的教育渗透到解题教学中，培养学生分析解决问题的能力及学生的核心素养中，是达到素质教育的重要手段之一。

参考文献：

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[4]张力琼.初中数学教学中渗透数学思想方法的教学策略研究[D].西北师范大学，2007.

项目资助：湖南科技学院教改项目（XKYJ2017002）;湖南省教育厅重点研究项目（17A080）;2016年湖南科技学院转型发展试点专业——数学与应用数学专业（XKYJ2016005）

作者简介：杨建奇（1971），邵阳人，博士，副教授，现从事概率统计的教学与研究工作。