“三角形的高”教学研究报告

一、问题

“三角形的高”是人教版小学数学教材四年级下册“三角形的特性”中的内容。三角形的高是这节课的教学重点，同时也是这节课的教学难点。实际教学中，老师们一直找不到一个理想的教学方法，导致教学效果不佳，部分学生甚至到了五、六年级还不能准确地画出三角形指定底边上的高。这个问题学生如果不能在小学阶段解决，势必影响后续初中阶段的几何学习。为了研究这个问题，我们数学组对本校200名五、六年级学生做了一次画高的单项检测，情况不容乐观（图1为本次测试题）。其中，3号三角形画高的准确率只有59.4%，5号三角形画高的准确率只有76.1%。

从检测结果中我们发现，学生的错误主要集中在以下两种情况：一是不会用三角尺作已知底边的垂线（如图2），二是画错了位置（如图3）。

学生为什么掌握不好画高的方法？问题出在哪里？我们通过分析、研究已有的关于三角形的高的教学案例，发现老师在教学时只注重教如何画高，而忽视了什么是三角形的高。众所周知，三角形的高的画法是本节课的教学难点，因此，老师们一般都会将教学重心放在如何画高上。有的老师还总结了一套口诀：“要画高，用直角；直角边，重合底，过顶点，到底止；垂直底，作虚线。”学生们尽管记住了定义，也背熟了口诀，不会画高的还是不会画。原因就是学生没有真正理解什么是三角形的高，难以形成关于三角形的高的清晰表象，自然也就画不好高了。

为了解决这一问题，我们在进行教学设计时，特意弱化了三角形的定义以及各部分的名称，而把教学重心放在对三角形的高的理解上，在学生充分理解的基础上再优化三角形的高的画法。相应地，我们将课题名称也改为“三角形的高”。

二、实践

基于以上思考，我们进行了教学实践，主要教学过程如下。

（一）导入，初步认识三角形

师：同学们认识三角形吗？（生：认识）今天老师把三角形藏在卡片下面了，我们一起去找找看。

教师带领学生从4张卡片中找到了三角形，指出由三条线段围成的封闭图形是三角形。

师：通过观察，我们发现所有的三角形都有三个顶点、三个角和三条边。如果我们把三角形比作是一个人的话，那么三角形的顶点就是它的头，顶点相对的那条边就是它的脚底，所以三角形的三条边都可以作为三角形的三条底（如图4所示）。

设计意图：通过找三角形这个游戏环节，学生在轻松愉悦的氛围中认识三角形的特征。

（二）创设情境，初步感知三角形的高

师：接下来我要为大家隆重介绍三角形家族的三兄弟———老大、老二和老三。今天它们约好一起去游乐场玩，这是它们第一次去游乐场玩。当它们走到游乐场门口时，问题来了，（课件出示图5）谁能告诉我它们遇到什么问题了？

生：游乐场的门限高4m。

师：限高4m是什么意思？

生：也就是它们如果比4m高就进不去，如果比4m矮或者等于4m就可以进去。

师：哦，原来如此。老大说“我每条边都小于4m肯定过得去”，老二说“我有的边大于4m，有的边小于4m，我能过去嗎”，老三说“我每条边都大于4m，我肯定过不去”，它还急哭了！同学们，你们怎么看？

学生讨论，认为可以试一试。教师用课件演示三个三角形过限高门的情形，分别是老大直接通过限高门（如图6），老二逆时针旋转一次通过限高门（如图7），老三逆时针旋转两次通过限高门（如图8）。

设计意图：通过三角形三兄弟过限高门这一情境，学生体会到能不能过限高门，关注的不是三角形三条边的长度，而是三角形的高。

（三）自主探究，认识三角形的高

师：在大家的共同努力下，三兄弟顺利地通过了限高门。这里也有3个三角形，它们能通过4cm的限高门吗？请你在作业纸上画一画、量一量，写下你的想法。

学生动手操作，教师巡视，选取有代表性的作品展示。

师：同学们都有答案了，我们一起看看这些同学的结果。对第一个三角形，这个同学量了它的三条边都是4.5cm，认为它过不去。你们同意吗？（生：不同意）4.5大于4，是过不去啊！谁来说说？

生3：我不同意，因为能不能通过限高门不是看它的边长，而是看它的高。

师：是看哪里？请你比划一下。（学生比划，课件演示三角形过限高门，如图9）三条边都是4.5cm，这条线段长3.9cm。确实是看这里。

师：前面那个同学说看边，能过去吗？（课件演示，如图10）看来我们还是把脚放下来，脚踏实地地走过去。

师：那第二个三角形能通过限高门吗？

生4：不能！因为那条边长5cm，不能通过。

师：你是说现在这个三角形能不能通过限高门是看5cm这条边？我们试试看（课件演示，如图11），是过不去。

生5：我不同意，可以像刚才那样旋转一下。师：好！你来说怎么旋转。（生说，师演示，如图12）看来第二个也能过去。

师：那第三个三角形呢？

生6：我认为能过去，因为我们也可以把它旋转一下，以最长的那条边作为它的底。

师：是这样吗？（展示学生作品，如图13）这里的长度量出来是2.3cm，我们看一下这个三角形这样能过去吗？确实能过去，而且能不能过去确实是看这里吧？（生：是的）生7也认为可以过去，但他画的和你的不一样，他是看这里（指图14钝角三角形右边的这根虚线）。生7你是怎么想的？

生7：他画的那里和我画的这里是一样高的。

师：其他同学的意思是看哪里都行吗？好的，我们一起来看看。（课件演示）过去了吗？确实能通过限高门。那我们到底看哪里更好？虽然它们是一样高的，但是看这里应该比看那里更好一点。（课件演示，如图15）

师：原来这些三角形这样站着的时候，能不能过限高门是看这三条线段的长度。（课件演示）这三条线段就叫做三角形的高。（板书）谁来说说什么是三角形的高？

生8：从顶点向底作一条直线。（板书：顶点→底）

师：从顶点到底作直线就行了吗？

生9：不是，还要垂直。

师：哦，必须垂直，（指图16）我们看看这个三角形（指着第一个锐角三角形）是从顶点向底作了一条垂线，这个三角形（指着第二个直角三角形）也是从顶点向底作了一条垂线，只不过这里本来就垂直了。所以这条直角边就是三角形的高。这个三角形（指着第三个钝角三角形）也是从顶点开始作了一条垂线，它是和谁垂直呢？（生：也是垂直了底啊）可是底在这里啊？（生：是垂直了地面）地面在哪里？请同学们用手一起比划，对了，就是把这条底延长。

师：现在黑板上有一个三角形，如果我们以AC边为底，它的高怎么画呢？

生10：以B为顶点向AC作一条垂线。（师在黑板上示范画高）

师：（指图17）是这样吗？真棒！

设计意图：在自主探究这个环节，教师通过演示和反复强调“能不能过去应该看哪里”，让学生直观感受什么是三角形的高，进而从本质上认识三角形的高。

（四）拓展训练

师：（课件播放小孩争吵的声音：我最高，我最高）这三兄弟怎么吵起来了？原来他们在比谁最高呢（如图18所示）。我们一起来给它们评评理吧！

我们谁最高？

学生通过转换方向，给三兄弟找到了最长的那条高，最后给出平行于它们底边的一条直线，发现三兄弟一样高（如图19）。

设计意图：学生进一步认识三角形的高，知道相对于不同的底，三角形的高也不同，同时蕴含着平行线之间距离处处相等。

三、讨论

我们这次实践，旨在用学生熟悉的方式教学三角形的高。

1.创设情境，实现生活中物体的高度向数学中三角形的高的迁移。

三角形的高是公认的教学难点。其实，关于高，学生并不陌生，生活中就有许多熟悉的例子。比如，人的身高，房子、树、山的高度等，学生都非常熟悉，而且知道它们的具体含义。三角形的高虽然是一个抽象的几何概念，但是，从本质上说，它和生活中各种物体的高度有很多相通的地方。通俗地说，三角形的高就是三角形的高度（不同的是，房子、树、山一般只能竖直站立，而三角形除了竖直摆放外，还可以斜着或“躺”着摆放）。为了充分利用学生生活中关于高度的已有经验，我们设计了“三角形三兄弟过限高门”的情境，紧紧抓住三角形的高和一般物体的高度之间的联系，把一般物体的高度作为理解三角形的高的生活经验支撑，成功地帮助学生实现了从生活中物体的高度到数学中三角形的高的迁移。

2.从具体到抽象，以概念形成的方式帮助学生逐步建构三角形的高的概念。

我们知道，概念教学有两种常见方式：一种是概念的形成，另一种是概念的同化。教学三角形的高这个几何概念，小学数学教材中采取概念同化的方式：过三角形的一个顶点作对边的垂线，顶点到垂足之间的垂线段叫做三角形的高。用这种方式教学，既清晰定义了什么是三角形的高，又给出了三角形高的画法，一举两得。可是实际教学的效果并不理想，突出表现在，学生不会画高，不是找不到顶点，就是画错垂直关系。如前文所述，根本原因在于，虽然老师用概念同化的方式给出了三角形的高的定义，但是学生并没有理解什么是三角形的高，画三角形高的时候自然就会出现错误。

本节课，我们是采取概念形成的方式教学三角形的高。教学伊始，学生反复观察三角形通过限高门的动画，获得关于三角形的高的感性认识。然后学生探究“三角形能不能过限高门应该看哪里”，要求学生画出这条线段。学生把一个个形态各异的锐角、直角、钝角三角形的高画出来后，再归纳、概括什么是三角形的高。这就是用概念形成的方式教学三角形的高。在归纳、概括什么是三角形的高时，还有意淡化了教材中关于三角形的高的文字描述，强调用学生自己的话来描述。

本节课中有一个教学环节是要求学生判断如图20的钝角三角形能否通过限高门时要看哪里，如何判断。每次试教总有学生画出了图中的虚线段。这条虚线段清晰地表明这个三角形的高真的已经从学生心中生长出来了，只是学生此时还不知道这条线段就叫三角形的高。在学生看来，三角形能不能通过限高门，就要看这条线段。没有人会这样教学生画高，老师不会，家长不会，教材也不会，这一定是学生本节课临时发现的。这进一步说明，用学生熟悉的方式———概念形成来教学三角形的高是可行的。

（执筆：董建军、周璟、张志红、胡展、易丽红、陈雨微、郑志刚、徐旺、李闯）