浅谈三垂线定理及其应用

邹玲

【摘要】 “三垂线定理”是立体几何中的重要定理.运用三垂线定理证明空间线面垂直与线线垂直的思考方法，对于培养学生空间想象力和逻辑思维能力，有着更加重要而独到的作用.本文在解读三垂线定理内涵特征的基础上，列举了三垂线定理的应用.

【关键词】 三垂线定理；应用

三垂线定理因其联系着一系列主要概念，包括平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影等，而且其证明中包含着较为典型的线面垂直与线线垂直证法，而成为立体几何中的一个很重要的定理.同时在解决空间的角和距离及其直线与直线垂直问题时，应用三垂线定理及其逆定理，对于培养学生空间想象力和逻辑思维能力，有着更加重要而独到的作用.因此在立体几何教学中，必须引导学生正确理解和掌握三垂线定理，充分发挥三垂线定理在解决空间图形问题的作用.

一、三垂线定理的解读

三垂线定理是在线面垂直基础上来研究直线间垂直关系的重要定理，不仅阐明了平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影和平面内的一条直线的某种位置关系的内在联系，并有效沟通了线线关系和线面关系.

1.三垂线定理的本质特征

（1）定理描述

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

三垂线定理的逆定理：在平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.

（2）图形模型

图 1 （如图1）设PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在平面α内的射影，aα，且a⊥OA，则a⊥PA.

（3）本质特征

垂线定理及其逆定理描述的是斜线、射影和平面内直线之间的垂直关系，实质是空间两条直线垂直的判定，把空间垂直转化为相交垂直.斜线及其斜线在平面内的射影与这个平面内的直线的垂直关系不变，是三垂线定理及其逆定理的本质特征.

2.构成三垂线定理的元素

从图一可以看出，三垂线定理的图形是由“四线一面”五个元素组成，即垂线PO、斜线PA、射影OA、面内一线直线a和平面α.三垂线定理描述的是三种垂直关系：直线和平面垂直，平面内的一条直线与斜线在该平面的射影垂直，这条直线和斜线垂直，这条直线与斜线可能相交，也可能是异面直线.

二、三垂线定理的应用

作为一种较为典型的证题方法，三垂线定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用.在应用三垂线定理时，既要注意三垂线定理图形的多样性，又要注意竖直或倾斜平面上三垂线定理的应用.按照“一定平面，二定垂线，三找斜线，射影就出现”的原则去确认图形，得出所证的垂直关系，其关键是找平面的垂线和斜线在平面内的射影.

1.空间的角和距离问题中的应用

∴点P到DC，BD的距离分别为4 13 ， 4 13 901 .

题意图形中如果有表示其距离的线段时，只须证明其确为表示距离的线段，再进行计算.如果没有明显表示距离的线段，就要先作出，并用三垂线定理加以证明，再计算.

2.在垂直问题中的应用

三垂线定理及逆定理涉及的是直线与直线的垂直问题，因为直线垂直问题可推出线面垂直问题，进而可导出面面垂直.所以在线面垂直、面面垂直问题中也常用到三垂线定理.因此，在解决垂直问题时，应首先考虑是否能使用三垂线定理.

总之，三垂线定理及逆定理是证明线线垂直，点线距、点面距、线面角的计算及二面角的形成中非常有效的工具，在解决空间图形问题中充分发挥三垂线定理的作用，不仅有助于学生理解掌握定理，而且对于培养发展空间想象能力、推理论证能力有着积极的意义.

【参考文献】

[1] 吕林根，许子道.解析几何（第三版）[M] .北京：高等教育出版社，2001.

[2] 孙秉正，三垂线定理及其逆定理的教学实践与思考[J] .上海中学数学，2006.5.