巧添圆 妙解题

汪国银

通过挖掘题目中的隐含条件，恰当地构造辅助圆，我们能够巧妙地解决一些看似复杂的直线型问题.构造辅助圆解题的关键是要善于发现隐含于题中与圆有关的信息，抓住题目的特征，进而拓宽解题思路.

一、依据圆的定义，添加辅助圆

例1 如图1，若AB=OA=OB=OC，则∠ACB的大小是（ ）.

图1

A.40° B.30° C.20° D.35°

【分析】从表象上看，本道题是普通的直线形问题，而事实上图中角与角之间的关系比较复杂，解答的难度很大.如果由条件OA=OB=OC联想到圆的定义，以点O为圆心，以OA长为半径作圆，问题便迎刃而解了.

【解析】如图2，以点O为圆心，以OA长为半径作圆.

图2

∵AB=OA=OB，

∴△ABO是等边三角形，

∴∠AOB=60°，

【点评】当遇有公共端点的等线段长时，我们通常以公共端点为圆心，等线段长为半径，构造辅助圆.

二、从圆的性质入手，构造辅助圆

圆的性质主要集中在圆周（心）角、弧、弦（直径）等对象之间的相互关系上，因此在解决有关角、线之间的问题时，我们可考虑添加辅助圆，运用圆的性质寻找解题的方法.

1.从圆周角“动而不变”的特征入手.

例2 如图3，在△ABC中，AB=2，∠C=30°，则△ABC的面积最大值为______.

图3

【分析】因为△ABC的底AB=2为定值，所以要使△ABC的面积取最大值，需满足AB边上的高最大（即点C到AB的距离最大），而条件“∠C=30°”表明“∠C的顶点位置改变，但大小不变”，根据这一特性，我们可以作△ABC的外接圆，当AB边上的高CD经过圆心O时，高CD最大，因而△ABC的面积最大值.

【解析】如图4，作△ABC的外接圆，当高CD经过圆心O时△ABC的面积最大.

图4

连接OA、OB，

∵∠C=30°，

∴∠AOB=60°，

∵OA=OB，OD⊥AB，

∴OD=AD·tan60°=3，

∴CD=CO+OD=2+3，

故答案为2+ 3.

【点评】挖掘题中隐藏的某个角具有“顶点位置改变而其大小不变，即‘动而不变’”这一特性，据此添加合适的辅助圆来解决问题.

2.从直角与直径之间的关系入手，巧添辅助圆.

例3 如图5，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围为______.

图5

【分析】根据条件可知线段AB是定值且AB所对的张角∠APB是90°，根据直径所对圆周角为直角可知，动点P的运动轨迹在过点A、B、P三点的圆周上（不与A、B重合），设AB中点为O，连接CO并延长，分别交圆O为P1、P2，P的位置在P1处最小，P2处最大，据此求解可得.

【解析】∵PA⊥PB，即∠APB=90°，AB=BC=2，

图6

∴点P在以AB为直径、AB的中点O为圆心的O上，如图6，连接CO交⊙O于点P1，延长CO交⊙O于点P2，CO=，由图可知，P1C≤PC≤P2C.

∴ 5-1≤PC≤ 5+1.

【点评】利用90°的圆周角所对的弦是直径，以斜边为直径，构造辅助圆.

3.从四边形对角都是90°或对角互补入手.

例 4 如图 7，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN=90°，则cos∠DMN为（ ）.

图7

【分析】线段MN所对的∠MAN、∠MDN都等于90°，且∠MAN+∠MDN=180°，联想到“圆的内接四边形的对角互补”，构造以MN为直径的圆，则可证点A、M、D、N四点共圆，连接AD，易证∠DMN=∠DAN=∠C，问题便迎刃而解.

【解析】如图，连接AD，

图8

∵∠A=90°，AB=6，AC=8，

∵点D为边BC的中点，

∴DA=DC=5，

∴∠1=∠C，

∵∠MDN=90°，∠A=90°，

∴点A、D在以MN为直径的圆上，

∴∠1=∠DMN，

∴∠C=∠DMN，

故选A.

【点评】利用构造辅助圆解决问题，有助于我们很快找到符合要求的线段或角，使问题得到巧妙解决.