广义α-双链对角占优矩阵线性互补问题误差界的最优值

李艳艳

(文山学院 数学学院,云南 文山 663099)

线性互补问题(Lcp(A,q))在最优停步、期权定价等众多领域有广泛应用，详见文献[1-3].它的模型是指求x∈Rn，满足x≥0,Ax+q≥0,(Ax+q)Tx=0,其中A是实矩阵，q是实向量.

1 预备知识

引理1[9]

设A=(aij)∈Rn,n为广义α-双链对角占优矩阵，则存在正对角矩阵X=diag(x1,x2,…,xn)，xi>0，使得AX是严格对角占优矩阵，并且A为H矩阵.

引理2[10]

设A=(aij)∈Rn,n是H矩阵且主对角元素全为正，即存在正对角矩阵X=diag(x1,x2,…,xn)(xi>0，i∈N)，使得AX是严格对角占优矩阵，则

2 主要结果

定理1设A是广义α-双链对角占优矩阵，且aii>0，对∀i∈N，令Δ-(A)≠φ，则存在正对角矩阵X=diag(x1,x2,…,xn)，其中

使得AX是严格对角占优矩阵.

证明：设

由定义知，vj>ui，则一定存在一个正数η，使得

取正对角矩阵X=diag(x1,x2,…,xn)，当i∈Δ+(A)时，xi=η，当j∈Δ-(A)时，xj=1，

令Q=AX=(qij)，易证qii-ri(Q)>0，i∈N，所以AX是严格对角占优矩阵.

定理2设矩阵A=(aij)∈Rn,n是广义α-双链对角占优矩阵，则存在正对角矩阵X=diag(x1,x2,…,xn)，使AX是严格对角占优矩阵，其中

且当ε>1，则

若ε<1，则

证明：由引理1知，AX是主对角元素为正的严格对角占优矩阵，对∀d∈[0,1]n，(I-D+DA)X也是主对角元素为正的严格对角占优矩阵，于是

xi=1，当i∈Δ-(A)，xi=ε，所以

当ε>1时，

当ε<1时，

定理证毕.

下面通过定理3和定理4对定理2做进一步详细的最优值分析.

定理3设矩阵A,D,X为定理2所定义，

因为f′(ε)<0，则f(ε)在区间上是单调递减函数，故

因为f′(ε)>0，f(ε)在区间上是单调递增函数，故

定理证毕.

定理4设矩阵A,D,X为定理2所定义，

因为f′(ε)<0，则f(ε)在区间上是单调递减函数，故

因为f′(ε)>0，f(ε)在区间上是单调递增函数，故

定理证毕.

本文得到了没有文献研究的广义α-双链对角占优矩阵A线性互补问题带有参数的误差界，而且进一步还得到了该误差界的最优值.这些最优值弥补了该方面研究的空白.