追本求“圆” 剖析本质

顾啸敏

“圆”的相关知识覆盖面较大，要求我们不仅能掌握圆的基本知识，而且能综合运用圆与直线型图形的知识来解决相关问题.

一、知识网络

二、要点剖析

1.与圆有关的概念.

（1）圆的概念中圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小.

（2）直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径，判断一条弦是否是直径关键是看弦是否经过圆心；半圆是弧，弧不一定是半圆.

（3）对等弧的认识要注意关键词：能够重合.

例1 （2017·随州）如图1，已知AB是⊙O的弦，半径OC垂直AB，点D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB两侧，连接AD、CD、OB，若∠BOC=70°，则∠ADC=_______°.

图1

2.与圆有关的角.

圆心角与圆周角：顶点在圆心的角叫做圆心角；顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.

例2 （2017·扬州）如图2，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=_______°.

图2

【解析】根据“同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半”，连接OC，便有∠AOC=2∠B=80°，再由OA=OC，根据“等边对等角”及“三角形内角和定理”可以求得∠OAC=50°.

例3 （2017·淮安）如图3，在圆内接四边形ABCD中，若∠A、∠B、∠C的度数之比为4∶3∶5，则∠D的度数是______ °.

图3

【解析】因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠A+∠C=∠B+∠D=180°.因为∠A、∠B、∠C的度数之比为4∶3∶5，所以∠A、∠B、∠C、∠D 的度数之比为 4∶3∶5∶6，所以∠D=120°.

3.与圆的对称性有关的两个定理：圆心角、弧、弦关系定理和垂径定理.

这两个定理分别从圆的旋转不变性和圆的轴对称性中获得.因此，抓住对称是解决问题的关键.

例4 （2017·眉山）如图4，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC=______ cm.

图4

【解析】连接OA，由垂径定理易知AD=4，设⊙O的半径为x，在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，即x2=（x-2）2+42，解得x=5，所以OC=5.

4.与圆有关的位置关系.

判断点或直线与圆的位置关系，往往需要比较数量关系，即通过比较点和圆心的距离与半径的大小关系来判断点与圆的位置关系，通过比较圆心和直线的距离与半径的大小关系来判断直线与圆的位置关系.

例5 （2017·自贡）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C,连接BC，若∠P=40°，则∠B等于_____ °.

图5

【解析】由切线的性质知∠PAO=90°.从而易得∠POA=50°，再由圆周角与圆心角关系得∠B=25°.

5.三角形的外心与内心.

外心是三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等；内心是三角形内切圆的圆心，它是三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等.

例6 （2017·泰州）如图6，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2），若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为________ .

图6

【解析】如图6，以点P为圆心，PA为半径作圆，⊙P在第一象限经过的符合条件的点有3个，分别是（7，4），（6，5），（1，4）.故答案为（7，4），（6，5），（1，4）.

6.正多边形和圆.

正多边形与圆的关系：将圆n（n≥3）等分，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆，其实这种关系也给出了画多边形的作图方法.

【剖析】正多边形的定义包括两个相等，即各边相等，各角也相等，两者缺一不可.

例7 （2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）.

图7

【解析】如图7，由“正方形的外接圆半径为2”可得OB=2，∠OBC=45°，由切线性质可得∠OCB=90°，所以△OBC为等腰直角三角形，所以OC=2.故选A.

7.弧长、扇形面积、圆锥的侧面积.

弧长、扇形面积、圆锥的侧面积以及全面积的计算公式不要求死记硬背，关键是要理解记忆，圆心角是周角的几分之几，则弧长就是圆周的几分之几，扇形面积就是圆面积的几分之几；对于扇形面积公式，相当于把半径是R，弧长是l的扇形近似看成一个底是l，高是R的三角形来记忆.在计算圆锥的侧面积和全面积时要注意圆锥的母线、圆锥的高、圆锥的底面半径构成直角三角形，可以利用勾股定理得出三者的关系.

例8 （2017·自贡）圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是_______；侧面展开扇形的圆心角是______ °.

【解析】圆锥的底面周长为6π，∴底面半径为r=6π÷2π=3，根据勾股定理，得圆锥的母线，侧面展开扇形的弧长l=2πr=6π，∴侧面展开扇形的面积6π×5=15π，底面积S底=πr2=9π，∴该圆锥的全面积S全=15π+9π=24π.

例9 （2017·南充）如图8，在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（ ）.

图8

A.60πcm2B.65πcm2

C.120πcm2D.130πcm2

【解析】由勾股定理可求得AB=13.这个几何体是圆锥，圆锥的底面半径AC=5，母线AB=13，圆锥的侧面积=πAC·AB=π×5×13=65π.故选B.

三、疑难突破

1.巧作辅助线，化难为易.

运用垂径定理时常常需过圆心作弦的垂线段，利用半径、弦心距和弦的一半组成的直角三角形来求解.证明直线和圆相切，一般有两种情形：（1）已知直线与圆有公共点时，连接圆心与公共点的半径，证明该半径与已知直线垂直；（2）当已知直线与圆公共点不明确时，那就过圆心作与已知直线的垂线段，证明垂线段和半径相等.

2.关注圆中的两解问题.

注意弦所对的弧有优劣之分，因此弦所对的圆周角就有两个，这两个圆周角互补.

3.转化思想在圆中的应用.

在圆中转化思想多体现在把圆的问题转化为直线型的问题，把弧的问题转化为角或弦的问题等.