对一道立体几何题的多解探析与思考

李大才

[摘  要] 立體几何是高中数学的重要知识，在高考几何客观题中常涉及一些求角度、距离、面积等问题，对于该类问题的求解，需要我们充分结合问题条件，合理转化视角对问题进行拆分、提炼.

[关键词] 几何;平面;图形;推理;模型;多解

考题呈现

（2018年高考理数全国卷Ⅰ第12题）已知正方体的棱长为1，每条棱长所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（    ）

分析：本题以正方体为研究背景，求解平面截正方体所得截面的最大值，关键条件是所有棱长所在直线与该平面所成的二面角均相等，根据该条件可以分析该平面与正方体底面所倾斜的角度，进而研究截面的最值. 虽然问题属于几何最值问题，但从问题背景、条件来看，依然属于空间几何问题，问题的分析可以分解为两个阶段：一是截取平面的确定，二是截面图形面积最大值情形的确定. 对于该问题的求解有多种分析视角，可以从立体几何视角对问题进行剖析;另外考虑到问题是求截面的面积，如若可以确定平面α的空间摆放，从而将几何体展开，则可以将空间几何问题转化为平面几何问题来研究，针对不同的研究视角可以施行不同的方法.

多解探究

1. 经验分析，猜想突破

本题目为高考的一道填空压轴题，考虑到研究背景为特殊的正方体，在考场时间宝贵的情况下，我们可以结合经验进行猜想，而不对猜想进行论证.

知识经验：两条相交线可以确定一个平面，而立方体的所有平面可以细分为三类，对应空间几何的三维平面，可以确定正方体内有三类棱，这三类棱可以划归为由同一顶点出发的三条直线，且互成90°角.

猜想推导：当这三条棱分别与平面α所成的角度相等时就可以确定正方体内所有的棱与其所成角度相等. 根据知识经验，结合直观感受可以确定平面AB1D1或平面BDC1分别与点A1，C衍生出的三条棱所成角度相等，即是符合要求的平面α，如图1.

截面分析：平面AB1D1或平面BDC1均是符合要求的平面，分析可知两平面互相平行，且所截取的截面的形状均为正三角形，且面积相等. 而当平移其中的一个平面，可知截面的形状演化规律为：正三角形→六边形（面积逐渐增大）→正六边形（面积达到最大）→六边形（面积逐渐减小）→正三角形.根据经验可以确定：当所截图形为正六边形时，截面的面积可以达到最大值，此时正六边形的六个顶点均位于所在棱的中点.

2. 模型构建，最值分析

上述解法1仅通过知识经验进行了最大截面面积推导，没有经过严密的理论论证，下面我们对“截面为正六边形时面积最大”的结论进行论证分析. 如图4所示，在法1的立体模型中将截成的一般六边形的各条边延长，并补全为完整的三角形，可以确定△LMN为正三角形，设HI=a，则可以求出六边形的各条边的长度，如图5. 采用面积割补法求六边形的面积，即用△LMN的面积减去三个小的三角形.

从上述论证过程可知，所截的截面为正六边形时，取得的截面面积最大，与我们的经验推断是一致的.

3. 空间投影，模型构建

对于截面面积的分析我们同样可以从空间投影的角度进行，首先从空间角度确定与正方体所有棱长所成角度均相等的平面，然后利用投影来分析面积最大的情形.

4. 空间向量，向量分析

上述主要讲解了四种求解截面最大值的方法，方法1是从经验角度进行的分析推断，该方法以几何直观经验为基础直接确定了截面的形状;而方法2是对截面为正六边形的面积最大情形进行了理论分析，是对方法1经验判断的论证;后续的方法3和方法4则是严格按照几何证明与一般化分析进行的严密推导. 其中方法3采用的是立体几何投影方式，将复杂的空间几何的问题转化为平面几何面积问题，然后结合平面几何知识对截面图形的形状进行了分析;而方法4则是采用严谨的空间向量法，以正方体的为基础构建空间向量坐标系，将问题拆分为截面α所在平面的确定和截面图形面积最大值的求解两个分问题，然后分别从向量的角度进行推理. 总体上来看，求解方法的分析视角无外乎空间几何和平面几何两个视角，多视角的结合分析可使问题更为明朗清晰.

解题反思

1. 合理拆分，敏锐识图

上述考题是典型的空间几何问题，考题将空间分析和平面推理相结合，用以考查学生处理综合问题能力. 从问题的求解过程来看，主要分为两个阶段：一是从空间角度确定符合题意的截面;二是从平面几何角度求解面积最大值. 从综合问题的分析策略角度来看，采用拆分细化的方式可以将复杂问题简单化，从而有效降低了思维难度. 而从几何问题的拆分方式来看，提升敏锐的识图能力，有效提炼特殊图形是问题细化的关键. 增强识图能力可以从两个方面进行：一是牢固掌握常见图形的特征几何，如立方体的棱长性质、正四面体的底面性质等;二是构建立体几何与平面图形之间的联系，如立体几何中的投影特性、空间几何的截面形状等. 通过多维视角的分析完成图形的认知强化，为后续的复杂图形拆分组合打下基础.

2. 严谨推理，科学建模

从高考立体几何题的命制与求解过程来看，试题在考查知识的同时，也在注重对学生核心素养的考查，包括对问题的转化、分析的推理、图形的构造等. 如上述立体几何求值题的求解中，首先是对问题条件的直观化，然后进行推理建模，其中最为关键的学科素养是推理与建模，正是两者的结合使用从而确定了截面、求得了最值.逻辑推理存在于数学解题的全过程，是遵从科学依据开展的探究活动，对于几何问题，在推理时需要结合对应的几何性质，按照图形组合的方式开展问题探究. 需要注意的是推理的过程要充分结合构造思想，利用几何模型协助推理，然后利用推理进一步完善模型，从而实现问题的准确解答.注重推理能力和建模能力的协同发展是提升几何问题解题效率的关键，在平时的学习中应针对性训练.