重温高考经典，品读向量考题

郭新河

[摘  要] 向量是高中数学较为特殊的内容，具有双重特性，近几年的高考试题常将向量作为纽带来串联几何与代数知识，用以考查学生处理综合问题的能力，也出现了一些优秀的经典考题.

[关键词] 向量;几何;代数;思想方法;模型

经典再现

向量作为高考最具代表性的内容，常常将几何知识和代数知识相串联，构建出一类经典的高考题——几何与代数综合题，其作为把关题时常出现在历年的高考命题中，下面笔者探究2018年江苏省高考数学卷的一道向量考题.

分析：本题目构思巧妙，题设简单，以平面向量为载体串联起函数、曲线方程和几何关系等内容，是典型的一类点在曲线上的综合问题. 对于该问题有多种求解思路，从向量性质来概括可划分为两类：一是根据向量的几何定义，构建研究位置关系的几何模型，利用几何性质求解;二是基于向量的代数性质，通过向量的坐标运算，构建研究问题的代数方程，通过解方程或解不等式的方式来求解. 两种思路是对几何与代数领域的知识运用，充分体现出向量所具有的特性，该题的策略分析具有启示价值，下面进行解法探析.

细品解法

向量的构建离不开平面直角坐标系，而坐标系内的几何关系计算离不开代数运算，对上述考题可以从几何和代数两个方向进行解法探究.

1. 几何之思

2. 代数之思

本题的求解可以参考解析几何向代数方程转化的方式，提取题干中的关键条件，根据条件的定义和性质分别转化为对应的代数运算、列方程，然后通过解方程求解.

3. 数形之思

从解析几何的常规求解思路来看，还可以采用更为简洁的数形结合的分析方式，即首先根据题干条件构建几何关系，然后结合几何模型分析圖形的特征，最后根据几何的特征关系建立研究几何模型的代数方程.

4. 向量方程

上述从几何建模、代数分析、数形结合和向量定义四个角度呈现了以向量为背景的解析几何问题，无外乎根据向量的几何与代数的双重特性构建分析思路，除了几何建模分析只需要单纯地利用几何性质求解外，其他三种解法存在一个共性：设点，借助向量的桥梁作用寻求关于点坐标参数的关系. 掌握向量问题的构建思路和理解解法共性是问题求解的关键，也是该类问题思维层面考查的重点，学习解题时应多加注意.

联想拓题

以向量为载体考查几何与代数综合知识成为近几年高考的命题趋向，上述考题最为关键的一点是对于向量积为零的理解，代数上表示的仅是一种运算，但在几何中却是两线垂直的关系，合理利用可以巧妙建模.

（2018年高考全国卷Ⅲ第16题）已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C相交于A，B两点. 若∠AMB=90°，则k=__________.

上述解法与常规的对于条件“∠AMB=90°”的处理不同，而是利用向量积为零的几何性质进行转化，该种思路也是大多数解析几何问题向代数运算转化的策略之一，关键是要深刻理解向量的几何定义.

思考感悟

上述呈现了向量为背景的解析几何问题的求解思路，基于向量积的性质展示了“向量转化”到“向量利用”的拓展过程，其思维过程具有一定的学习价值，下面将结合实践思考该类考题的解题启示.

1. 考题突破之源——定理定义

综合问题的求解过程实际上就是对条件的转化与变形过程，即根据题干条件的定理和定义对其进行拆解、变形，使其转化为具有某种关联的条件链，进而构建一个完整的研究模型.如上述考题在处理向量积条件时，分别基于向量积的几何与代数定义，转化为两条直线的垂直关系和关于点坐标参数的方程，进而建立了对应的分析模型.因此对于综合问题的突破之源应是对数学基本的概念、定理和定义的理解，不仅需要理解基本知识的表层含义，还需要从知识联系性角度出发掌握该知识的转化策略，如勾股定理，需要掌握其几何性质，同样需要理解其方程意义. 以条件的定义作为考题的突破口才是对考题本质解法的挖掘，才能真正切中考题要害，以“点”铺“面”形成解题思路.

2. 考题突破之法——数学思想

思想方法是指导考题求解的思想指南，也是考题学习的重点所在，“解一题，通一类”题背后隐含的实质就是掌握问题求解的策略，明晰问题研究的思想方法. 在中学阶段学习思想与知识同等重要，学生解题能力的提升离不开解题思想的学习. 分析上述考题，其中解法三的数形结合方法最为简单，解题时首先根据条件建立了研究问题的几何模型，然后根据几何性质建立了问题研究的代数方程，将抽象的数学语言与直观的几何图形向联系，然后利用方程思想突破考题. 其中所涉及的数形结合思想、方程思想、建模思想是解析几何问题常用的思想方法，是实现综合问题简单化和具体化的思想工具. 我们在学习思想方法时要注意两点：一是具体性，即结合具体问题来学习思想方法;二是灵活性，即解题时要灵活变通，可以多种方法融合使用，用方法为解题服务.